1、2021年天津市河北区高考数学质量调查试卷（一）（一模）一、选择题（共9小题）.1已知集合U1，2，3，4，5，6，A2，3，5，B1，2，4，6，则集合A（UB）（）A2B3，5C1，4，6D2，3，52设xR，则“|x|1”是“x2x”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知圆C：（x1）2+y26，在所有过点P（2，1）的弦中，最短的弦的长度为（）A2B4C2D24某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人，则图
2、中的n，p的值分别为（）A200，0.015B100，0.010C100，0.015D1000，0.0105函数f（x）e|x|2x21的图象大致是（）ABCD6已知双曲线的左，右焦点分别为F1（3，0），F2（3，0），P为双曲线上一点且|PF1|PF2|4，则双曲线的标准方程为（）A1B1C1D17已知函数f（x）x2，设alog54，blog，c2，则f（a），f（b），f（c）的大小关系为（）Af（a）f（b）f（c）Bf（b）f（c）f（a）Cf（c）f（b）f（a）Df（c）f（a）f（b）8已知函数f（x）2cos2x+sin2x1（0）的最小正周期为，则下列说法正确的是（）A2
3、B函数f（x）的最大值为1C函数f（x）在0，上单调递增D将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，可得到函数g（x）2sin2x的图象9已知函数f（x），若关于x的方程（f（x）1）（f（x）m）0恰有5个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）A（1，2）B（1，5）C（2，3）D（2，5）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分请将答案写在答题纸上10已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为 11二项式（x）6的展开式中的常数项为 12袋子中有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个红球，2个黄球，从袋中一次性随机取出3个小球后，再将小球放回则“取出的3个小球中有2个红球，1
4、个黄球”的概率为 ，记“取出的3个小球中有2个红球，1个黄球”发生的次数为X，若重复5次这样的实验，则X的数学期望为 13在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB，BC，AA12，则三棱锥D1ACD的体积为 ，长方体的外接球的表面积为 14已知a0，b0，且2a+bab，则a+2b的最小值为 15在直角梯形ABCD中，（0），B60，AD，E为CD中点，若1，则|的值为 ，的值为 三、解答题：本大共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（2ab）sinA+（2ba）sinB2csinC（）求角C的大小；（）若cosA
5、，求sin（2AC）的值17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PDDA，PDDC，M是棱AD的中点，N是棱PD上一点，PD2AB4（）若N是棱PD的中点，求证：PA平面MNC；（）若N是棱PD的中点，求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；（）若二面角CMND的余弦值为，求DN的长18已知数列an是等差数列，设Sn（nN*）为数列an的前n项和，数列bn是等比数列，bn0，若a13，b11，b3+S212，a52b2a3（）求数列an和bn的通项公式；（）求数列anbn的前n项和；（）若cn，求数列cn的前2n项和19已知椭圆C：+1（ab0）的长轴长为4，离心率为（）求椭圆C的
6、方程；（）设椭圆C的左焦点为F，右顶点为G，过点G的直线与y轴正半轴交于点S，与椭圆交于点H，且HFx轴，过点S的另一直线与椭圆交于M，N两点，若SSMG6SSHN，求直线MN的方程20（16分）已知函数f（x）1（）求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求函数f（x）的单调区间；（）已如函数g（x）3x3+2ax2+1，若x1，x21，e，不等式f（x1）g（x2）恒成立，求实数a的取值范围参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合U1，2，3，4，5，6，A2，3，5，B1，2，4，6，则集合A（UB）（）A2B3，5C1，4，6D2，3
7、，5解：集合U1，2，3，4，5，6，A2，3，5，B1，2，4，6，UB3，5，集合A（UB）2，3，5故选：D2设xR，则“|x|1”是“x2x”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：由|x|1，解得x1或x1，由x2x，解得x0或x1，故由|x|1能够推出x2x，由x2x不能够推出|x|1，故“|x|1”是“x2x”的充分不必要条件，故选：A3已知圆C：（x1）2+y26，在所有过点P（2，1）的弦中，最短的弦的长度为（）A2B4C2D2解：由条件可知圆心M（1，0），半径为：，P（2，1）在圆的内部，所以|MP|，圆C：（x1）2+y26，在所有过点
8、P（2，1）的弦中，最短的弦的长度为24故选：B4某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人，则图中的n，p的值分别为（）A200，0.015B100，0.010C100，0.015D1000，0.010解：利用频率之和为1可得，p101（0.018+0.022+0.025+0.020+0.005）100.1，解得p0.01，根据频率、频数、样本容量之间关系可得，解得n100故选：B5函数f（x）e|x|2x21的图象大致是（）ABCD解：f（x）e|x
9、|2（x）21e|x|2x21f（x），则f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，当x0且x+，f（x）+，排除A，当x0时，f（x）ex2x21，则f（x）ex4x，f（0）10，f（1）e40，f（10）0，则f（x）0有两个不同的零点，即当x0时，函数至少有三个单调区间，排除B，故选：D6已知双曲线的左，右焦点分别为F1（3，0），F2（3，0），P为双曲线上一点且|PF1|PF2|4，则双曲线的标准方程为（）A1B1C1D1解：由双曲线的定义可得c3，2a4，即a2，b2c2a2945，且焦点在x轴上，所以双曲线的方程为：1故选：A7已知函数f（x）x2，设alog54，blog，
10、c2，则f（a），f（b），f（c）的大小关系为（）Af（a）f（b）f（c）Bf（b）f（c）f（a）Cf（c）f（b）f（a）Df（c）f（a）f（b）解：函数f（x）x2在0，+）上是增函数，bloglog53alog541，c2201，cab，f（c）f（a）f（b）故选：D8已知函数f（x）2cos2x+sin2x1（0）的最小正周期为，则下列说法正确的是（）A2B函数f（x）的最大值为1C函数f（x）在0，上单调递增D将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，可得到函数g（x）2sin2x的图象解：因为f（x）2cos2x+sin2x1cos2x+sin2x2cos（2x）的最小正周
11、期为，所以，解得1，故A错误；由于f（x）2cos（2x），可得f（x）的最大值为2，故B错误；在0，上，2x，0，故f（x）2cos（2x）单调递增，故C正确；将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，可得到函数g（x）2cos2（x）2cos（2x），故D错误故选：C9已知函数f（x），若关于x的方程（f（x）1）（f（x）m）0恰有5个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）A（1，2）B（1，5）C（2，3）D（2，5）解：方程（f（x）1）（f（x）m）0得方程f（x）1或f（x）m，作出函数yf（x）的图象，如图所示，由图可知，f（x）1有两个根，故f（x）m有三个根，故m（1，2）故
12、选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分请将答案写在答题纸上10已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为（5，3）解：+553i，对应点的坐标为（5，3），故答案为：（5，3）11二项式（x）6的展开式中的常数项为解：展开式的通项公式为TC，令3r120，解得r4，所以展开式的常数项为C，故答案为：12袋子中有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个红球，2个黄球，从袋中一次性随机取出3个小球后，再将小球放回则“取出的3个小球中有2个红球，1个黄球”的概率为，记“取出的3个小球中有2个红球，1个黄球”发生的次数为X，若重复5次这样的实验，则X的数学期望为3解：设事件A为“
13、取出3个球中有2个红球，1个黄球”，则；由题意可得，重复5次这样的实验，事件A发生的次数X服从二项分布，XB（5，），则E（X）53故答案为：；313在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB，BC，AA12，则三棱锥D1ACD的体积为，长方体的外接球的表面积为16解：如图：三棱锥D1ACD的体积为：外接球的半径为：2，所以外接球的表面积为：42216故答案为：；1614已知a0，b0，且2a+bab，则a+2b的最小值为9解：正数a，b满足2a+bab，1则a+2b（a+2b）5+9，当且仅当ab3时取等号，因此a+2b的最小值为915在直角梯形ABCD中，（0），B60，AD，E为CD中
14、点，若1，则|的值为2，的值为解：根据题意作出图形如图所示：因为B60，AD，所以BC2，设|x，则（+）（+）+2+（）0+2（）x+1（）x3xx21，解得x2，即|2，所以故答案为：2；三、解答题：本大共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（2ab）sinA+（2ba）sinB2csinC（）求角C的大小；（）若cosA，求sin（2AC）的值解：（）（2ab）sinA+（2ba）sinB2csinC，（2ab）a+（2ba）b2c2，即a2+b2c2ab，cosC，0C，C（）由cosA，可得sinA，sin2
15、A2sinAcosA，cos2A2cos2A1，sin（2AC）sin2AcosCcos2AsinC17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PDDA，PDDC，M是棱AD的中点，N是棱PD上一点，PD2AB4（）若N是棱PD的中点，求证：PA平面MNC；（）若N是棱PD的中点，求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；（）若二面角CMND的余弦值为，求DN的长解：（）证明：M是棱AD的中点，N是棱PD的中点，MNPA，MN平面MNC，PA平面MNC，PA平面MNC（）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，4），B（2，2，0），M（1，0，
16、0），N（0，0，2），C（0，2，0），（2，2，4），（1，0，2），（1，2，0），设平面MNC的法向量（x，y，z），则，取x2，得（2，1，1），设直线PB与平面MNC所成角为，则直线PB与平面MNC所成角的正弦值为：sin（）设DNt，0t4，则N（0，0，t），（1，0，t），（1，0，0），（1，2，0），设平面MNC的法向量（a，b，c），则，取a2，得（2，1，），平面MND的法向量（0，1，0），二面角CMND的余弦值为，由0t4，解得tDN的长为18已知数列an是等差数列，设Sn（nN*）为数列an的前n项和，数列bn是等比数列，bn0，若a13，b11，b3+S212
17、，a52b2a3（）求数列an和bn的通项公式；（）求数列anbn的前n项和；（）若cn，求数列cn的前2n项和解：（）由题意，设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q（q0），则，化简，得，整理，得q2+q60，解得q3（舍去），或q2，dq2，an3+2（n1）2n+1，nN*，bn12n12n1，nN*（）由（）得，anbn（2n+1）2n1，令数列anbn的前n项和为Tn，则Tna1b1+a2b2+anbn31+521+722+（2n+1）2n1，2Tn321+522+（2n1）2n1+（2n+1）2n，两式相减，可得Tn3+221+222+22n1（2n+1）2n3+2（21
18、+22+2n1）（2n+1）2n3+2（2n+1）2n（2n1）2n1，Tn（2n1）2n+1，nN*（）由（）得，Sn3n+2n（n+2），cn，数列cn的前2n项和为：c1+c2+c3+c4+c2n1+c2n（c1+c3+c2n1）+（c2+c4+c2n）（1+）+（21+23+22n1）1+19已知椭圆C：+1（ab0）的长轴长为4，离心率为（）求椭圆C的方程；（）设椭圆C的左焦点为F，右顶点为G，过点G的直线与y轴正半轴交于点S，与椭圆交于点H，且HFx轴，过点S的另一直线与椭圆交于M，N两点，若SSMG6SSHN，求直线MN的方程解：（）根据题意可得，解得a2，c1，b，所以椭圆C的
19、方程为+1（）由（）知F（1，0），G（0，2），因为HFx轴，所以xH1，因为S在y轴的正半轴，所以H在x轴上方，因为点H在椭圆上，所以+1，解得yH，所以H（1，），即HF，因为，即，解得OS1，所以S（0，1），所以，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为ykx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，（3+4k2）x2+8kx80，所以x1+x2，x1x2，因为SSMG6SSHN，所以|SM|SG|sinMSG6|HS|SN|sinHSN，所以|SM|SG|6|HS|SN|，所以|SM|3|SN|，所以3，所以（x1，1y1）3（x2，y21），即x13x2，由，解得k，所
20、以直线MN的方程为yx+1，yx+1，当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x0，此时2+，不合题意综上可得，直线MN的方程为yx+1，yx+120（16分）已知函数f（x）1（）求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求函数f（x）的单调区间；（）已如函数g（x）3x3+2ax2+1，若x1，x21，e，不等式f（x1）g（x2）恒成立，求实数a的取值范围解：（）f（x）1，定义域是（0，+），f（1）1，f（x），f（1），故切线方程为y+1（x1），即2xeye20；（）由（）f（x），令f（x）0，解得0xe，令f（x）0，解得xe，故f（x）在（0，e）递增，在（e，
21、+）递减；（）由（）得f（x）的极大值是f（e）11，即f（x）的最大值是f（e）1，g（x）3x3+2ax2+1，g（x）9x2+4ax，令g（x）0，解得x0或x，若x1，x21，e，不等式f（x1）g（x2）恒成立，则x1，e时，f（x）maxg（x）min恒成立，当1即a时，g（x）在1，e上单调递增，此时g（x）ming（1）4+2a，令4+2a1，得a；当1e时，即a时，g（x）在1，）递减，在（，e递增，此时g（x）ming（）+1，令+11，解得a0，不符合题意；当e即a时，g（x）在1，e递减，故g（x）ming（e）3e3+2ae+1，令3e3+2ae+11，解得ae2，故e2a；综上，实数a的取值范围是e2，），+）
