1、1.4.2充要条件学 习 任 务核 心 素 养1结合具体实例，理解充要条件的意义(重点、难点)2会求(判断)某些问题成立的充要条件(重点)3能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明(难点)1通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养2借助充要条件的应用，培养数学运算素养.老张邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老张说：“该来的没有来”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了老张愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了”李四听了大怒，拂袖而去问题：(1)张三为什么走了？(2)李四为什么走了？知识点充要条件(1)定义：如果“若p，则q”和它的逆命题“
2、若q，则p”均是真命题，即既有pq，又有qp，就记作pq，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件概括地说，如果pq，那么p与q互为充要条件命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类：充分必要条件(充要条件)，即pq且qp；充分不必要条件，即pq且qp.必要不充分条件，即pq且qp.既不充分也不必要条件，即pq且qp.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论从“充分不必要条件
3、”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空(1)“x210”是“|x|10”的_(2)“x5”是“x3”的_(1)充要条件(2)必要不充分条件(1)设Ax|x2101,1，Bx|x|101,1，所以AB, 即“x210”是“|x|10”的充要条件(2)设Ax|x5，Bx|x3，因为AB，所以“x5”是“x0，q：x0；(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；(3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；(4)p：ABA，q：UBUA.解(1)p：x20，则x0或x0，故p是q的必要不充分条件(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q
4、的充分不必要条件(3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要不充分条件(4)ABAABUBUA，p是q的充要条件 类型2充要条件的证明【例2】求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.解必要性：因为方程ax2bxc0有一正根和一负根，所以b24ac0，x1x20(x1，x2为方程的两根)，所以ac0.充分性：由ac0可推得b24ac0及x1x20(x1，x2为方程的两根)所以方程ax2bxc0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2bxc0有一正根和一负根综上所述，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的
5、充要条件是ac0.充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向2求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根是1的充要条件是abc0.证明假设p：方程ax2bxc0有一个根是1，q：abc0.证明pq，即证明必要性x1是方程ax2bxc0的根，a12b1c0，即abc0.证明qp，即证明充分性由abc0，得c
6、ab.ax2bxc0，ax2bxab0，即a(x21)b(x1)0.故(x1)(axab)0.x1是方程的一个根故方程ax2bxc0有一个根是1的充要条件是abc0. 类型3充要条件的应用【例3】已知p：2x10，q：1mx1m(m0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围联想必要不充分条件的概念，由此思考命题p与命题q对应集合间存在怎样的包含关系解p：2x10，q：1mx1m(m0)因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即x|1mx1mx|2x10，故有或解得m3.又m0，所以实数m的取值范围为m|00)因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为
7、B，所以AB.所以或解不等式组得m9或m9，所以m9，即实数m的取值范围是m9.应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解1“x0”是“x0”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件A由“x0”“x0”，反之不一定成立因此“x0”是“x0”的充分不必要条件2“x24x50”是“x5”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B由x24x50得x5或x1，则当x5时，x24x5
8、0成立，但当x24x50时，x5不一定成立，故选B.3若“xa”是“x3或x1”的充分不必要条件，则a的取值范围是()Aa3Ba1C1a3Da3B因为“xa”是“x3或x1”的充分不必要条件，故a1.4函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是_m2函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称，则1，即m2；反之，若m2，则f(x)x22x1的图象关于直线x1对称5写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件：充要条件_；充要条件_.答案两组对边分别平行一组对边平行且相等回顾本节知识，自我完成以下问题：1命题“若p，则q”及其逆命题的真假与充分必要条件间存在怎样的关系？提示条件p与结论q的关系结论pq，且qpp是q的充分不必要条件qp，且pqp是q的必要不充分条件pq，且qp，即pqp是q的充要条件pq，且qpp是q的既不充分也不必要条件2.要证明一个命题的充要条件需要证明几个方面？提示需要证明充分性和必要性两个方面
