1、2一元二次不等式2.1一元二次不等式的解法学习目标1.通过实例了解一元二次不等式的含义.(数学抽象)2.掌握一元二次不等式的解法,弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的内在联系.(数学运算)3.能用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来.(逻辑推理)4.能够利用分类讨论方法,求解简单的含字母的一元二次不等式.(数学抽象、数学运算)【必备知识自主学习】导思1.一元二次不等式的形式是怎样的?2.如何求解一元二次不等式?1.一元二次不等式及其解集(1)形如ax2+bx+c0(0)或ax2+bx+c0=00)的示意图方程f(x)=0的解有两相异实根x=x1或x=x2有两相同实根x=x
2、1=x2无实根不等式的解集f(x)0(-,x1)(x2,+)(-,x1)(x1,+)Rf(x)0(a0)时,若ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),还需要判断的符号吗?提示:不需要,因为此时方程ax2+bx+c=0一定有解,即0一定成立.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)不等式x2y是一元二次不等式.()(2)不等式x20的解集是R.()(3)存在实数x,满足x-1x2.()提示:(1).不等式x2y是二元二次不等式.(2).对于任意实数x,不等式x20恒成立, 所以不等式x20的解集是R.(3).不等式x-1x2即x2-x+1x2.2.若一元二次不等式ax2+b
3、x+c0的解集为(1,2),则下列说法不正确的是()A.函数y=ax2+bx+c的零点为1,2B.关于x的方程ax2+bx+c=0的两根为1,2 C.函数y=ax2+bx+c的图像开口向上D.ax2+bx+c0的解集为(1,2),所以函数y=ax2+bx+c的零点为1,2,即关于x的方程ax2+bx+c=0的两根为1,2,函数y=ax2+bx+c的图像开口向下,不等式ax2+bx+c0的解集为(-,1)(2,+).3.(教材二次开发:例题改编)不等式-x2-x+20的解集是()A.x|x-2或x1 B.x|-2x0的解集为()A.B.C.D.3.(2020邯郸高一检测)不等式-2x2+3x+1
4、40的解集为()A.(-,-2B.2,+)C.D.【解析】1.选C.得2-1,故x2+2x-4-1,所以x2+2x-30,解得-3x1.2.选B.由2x2-x-30,可得(2x-3)(x+1)0,解得x或x0(0)(a0)或ax2+bx+c0);(2)计算出相应的一元二次不等式的判别式;(3)求出一元二次方程ax2+bx+c=0的实根(或判断相应方程有没有实根);(4)结合函数图像写出不等式的解集.简记为:一看、二判、三求、四写.提醒:(解集记忆口诀,a0)大于零取两边,小于零取中间.【补偿训练】在R上定义运算:ab=ab+2a+b,则满足x(x-2)0的实数x的取值范围为 ()A.(0,2)
5、 B.(-2,1)C.(-,-2)(1,+) D.(-1,2)【解析】选B.由ab=ab+2a+b,得x(x-2)=x(x-2)+2x+x-2=x2+x-20,所以-2x1.类型二解含参数的一元二次不等式(逻辑推理)【典例】(2020焦作高一检测)已知ax2+2ax+10恒成立,解关于x的不等式x2-x-a2+a0.四步内容理解题意恒成立指的是无论x为何值,此不等式始终成立思路探求先根据恒成立分析出a的范围,然后根据a的范围分类讨论求解不等式的解集.书写表达当a=0时,10,不等式恒成立;当a0时,则解得0a1.综上0a1.由x2-x-a2+a0得(x-a)x-(1-a)a即0a时ax1-a;
6、当1-a=a,即a=时0,不等式无解;当1-aa,即a1时1-axa.综上,当0a时,原不等式的解集为x|ax1-a;当a=时,原不等式的解集为;题后反思本题考查根据分类讨论的方法求解不等式解集,难度一般.对于所解不等式中含有字母的情况,首先要思考是否需要对字母分类讨论,然后再考虑求不等式解集.【解题策略】含参数的一元二次不等式的解法策略(1)当二次项系数不确定时,要分二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行讨论.(2)判别式大于零时,只需讨论两根大小.(3)判别式不确定时,要分判别式大于零、等于零、小于零三种情况进行讨论.【跟踪训练】解关于x的不等式:ax2-2(a+1)x+40).【解
7、析】因为a0,所以原不等式化为:a(x-2)0,当0a1时,21时,0的解集为,则a、c的值为()A.6,1B.-6,-1C.1,1D.-1,-6【思路导引】根据不等式的解集,即为不等式对应方程的两个根,由根与系数的关系即可求得.【解析】选D.因为不等式cx2+5x+a0的解集为,故方程cx2+5x+a=0对应的两根为和.故可得c0,-=+,=解得c=-6,a=-1.【变式探究】关于x的不等式ax2+2x-10的解集为空集,则实数a的取值范围为()A.a|a1B.a|a-1C.a|a=0或a1D.a|a=0或a-1【解析】选B.当a=0时,2x-10,即x,不符合题意;当a0时,因为关于x的不
8、等式ax2+2x-10的解集为空集,即所对应方程ax2+2x-1=0无实根,且a0,所以=4+4a0,解得a-1,故实数a的取值范围是a|a0;当x(-,-3)(2,+)时,f(x)0的解集为x(-3,2).所以-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的两根.所以且a0,可得所以f(x)=-3x2-3x+18.(2)由a0和ax2+bx+c0)的解集分别为x|xx2,x|x1xx2(x10恒成立若f(x)0的解集为,则实数a,b的值分别是()A.a=-4,b=9B.a=4,b=9C.a=-4,b=-9D.a=-1,b=2【解析】选C.由题意得,-2、-为方程ax2+bx-2=0的两个根
9、,由根与系数的关系可得解得2.(2020北京高一检测)若不等式mx2+2mx-42x2+4x对任意xR恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-2,2B.(-2,2)C.(-,-2)2,+)D.(-,2【解析】选A.由题意可知不等式(m-2)x2+(2m-4)x-40对任意xR恒成立.当m-2=0时,即当m=2时则有-40,合乎题意;当m-20时,则,解得-2m0的解集.(2)若不等式f(x)+10的解集为,求m的值.【解析】(1)当m=1时,不等式f(x)0为2x2-x0,因此所求解集为(-,0).(2)不等式f(x)+10,即(m+1)x2-mx+m0,由题意知,3是方程(m+1)x2-mx
10、+m=0的两根,因此m=-.【补偿训练】不等式ax2+bx+120的解集为x|-3x0的解集为R,则实数a的取值范围是()A.(-,0)(1,+)B.(0,1)C.(-,0(1,+)D.0,1【解析】选B.因为一元二次不等式ax2+2ax+10的解集为R,所以解得0a1,即a的取值范围是.3.(教材二次开发:习题改编)已知集合A=x|x(x-2)0,B=x|-1x1,则AB=()A.x|-1x2B.x|x2C.x|0x1D.x|x1【解析】选C.由题意可得A=x|0x2,B=x|-1x1,所以AB=x|0x0;x2+6x+100;2x2-3x+40,解集不为R;中=(-2)2-40,解集不为R;中=62-4100.满足条件;中不等式可化为2x2-3x+30的解集.【解析】因为=(-4)2-441=0,所以方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=,所以原不等式的解集为x|x.
