1、课后提升作业 十六平面与平面垂直的性质(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.已知平面平面，=l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A.ABmB.ACmC.ABD.AC【解析】选D.因为m，m，=l，所以ml.因为ABl，所以ABm.故A一定正确.因为ACl，ml，所以ACm.从而B一定正确.因为A，ABl，l，所以B.所以AB，l.所以AB.故C也正确.因为ACl，当点C在平面内时，AC成立，当点C不在平面内时，AC不成立.故D不一定成立.2.(2015安徽高考)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是
2、()A.若，垂直于同一平面，则与平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若，不平行，则在内不存在与平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【解析】选D.选项具体分析结论A平面，垂直于同一个平面，则，相交或平行错误B直线m，n平行于同一个平面，则m与n平行、相交、异面错误C若，不平行，则在内存在与平行的直线，如中平行于与交线的直线，则此直线也平行于平面错误D若m，n垂直于同一个平面，则mn，其逆否命题即为选项D正确3.(2016杭州高二检测)设，是三个互不重合的平面，m，n是直线，给出下列命题：，则；若，m，m，则m；若m，n在内的射影互相垂直，则mn；若m，n，则mn
3、，其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.：根据面面垂直的判定可知：错误；：根据线面平行的判定可知，正确；：如正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB1与AD1在底面A1B1C1D1的射影互相垂直，而AB1与AD1的夹角为，错误；：m，n可能斜交，可能平行，可能异面，可能垂直，错误，所以正确命题的个数为1个.4.如图所示，平面平面，A，B，AB与两平面，所成的角分别为和，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A，B，则ABAB等于()A.21B.31C.32D.43【解题指南】利用面面垂直的性质定理找AB与两平面，所成的角，再利用直角三角形的知识表示出AB的值与AB的
4、值，进而求出ABAB的值.【解析】选A.如图，由已知得AA平面，ABA=，BB平面，BAB=，设AB=a，则BA=a，BB=a，在RtBAB中，AB=a，所以=.【补偿训练】在三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，PCA=90，ABC是边长为4的正三角形，PC=4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为()A.2B.2C.4D.4【解析】选B.连接CM，则由题意PC平面ABC，可得PCCM，所以PM=，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在ABC中，当CMAB时CM有最小值，此时有CM=4=2，所以PM的最小值为2.5.线段AB的两端在直二面角-l-的两个面内，并与这两个面都成30角
5、，则异面直线AB与l所成的角是()A.30B.45C.60D.75【解题指南】过B作l的平行线BC，将直线l与AB所成角转化为AB与BC所成角.【解析】选B.设AB=a，在平面内，作AAl于A，则AA，连AB，则ABA=30.在RtAAB中，AB=a，所以AA=a.同理作BBl于B，连AB，则BAB=30，所以BB=a，AB=a，所以AB=a，过B作BCAB.连接AC，则ACBB，连接AC，在RtAAC中，AC=a.由BC平面AAC，所以ABC为直角三角形，且AC=BC，所以ABC=45，为l与AB所成角.6.(2016菏泽高一检测)已知两条不重合的直线m，n和两个不重合的平面，有下列命题：若
6、mn，m，则n；若m，n，mn，则；若m，n是两条异面直线，m，n，m，n，则；若，=m，n，nm，则n.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.若mn，m，则n或n，故错误；因为m，mn，所以n，又n，则，故正确；过直线m作平面交平面于直线c，因为m，n是两条异面直线，所以设nc=O；因为m，m，=c，所以mc；因为m，c，所以c，因为n，c，nc=O，c，n，所以，故正确；由面面垂直的性质定理：因为，=m，n，nm，所以n，故正确.7.如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面内，且ACPC，平面PAC平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()A.一条线段B.一
7、条直线C.一个圆D.一个圆，但要去掉两个点【解析】选D.因为平面PAC平面PBC，ACPC，平面PAC平面PBC=PC，AC平面PAC，所以AC平面PBC.又因为BC平面PBC，所以ACBC.所以ACB=90.所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.8.(2015浙江高考)设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m()A.若l，则B.若，则lmC.若l，则D.若，则lm【解析】选A.选项A中，由平面与平面垂直的判定，故正确；选项B中，当时，l，m可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C中，l时，可以相交；选项D中，时，l，m也可以异面.【补偿训练】设，为平面，l，m，n
8、为直线，则能得到m的一个条件为()A.，=l，mlB.n，n，mC.=m，D.，m【解析】选B.如图知A错；如图知C错；如图，在正方体中，两侧面与相交于l，都与底面垂直，内的直线m，但m与不垂直，故D错；由n，n知，又m，故m，因此B正确.二、填空题(每小题5分，共10分)9.(2016桂林高二检测)如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BDCD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A-BCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是_.(1)ACBD.(2)BAC=90.(3)CA与平面ABD所成的角为30.(4)四面体A-BCD的体积为.【解析】若ACBD，又BD
9、CD，则BD平面ACD，则BDAD，显然不可能，故(1)错误.因为BAAD，BACD，故BA平面ACD，所以BAAC，所以BAC=90，故(2)正确.因为平面ABD平面BCD，BDCD，所以CD平面ABD，CA与平面ABD所成的角为CAD，因为AD=CD，所以CAD=，故(3)错误.四面体A-BCD的体积为V=SBDAh=1=，因为AB=AD=1，DB=，所以ACBD，综上(2)(4)成立.答案：(2)(4)10.斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC=BC=2，A1AC=C1CB=60，且平面ACC1A1平面BCC1B1，则A1B=_.【解析】取CC1中点M，连A1M与BM，因为AA1
10、=AC=BC=2，A1AC=C1CB=60，所以A1CC1是等边三角形，四边形ACC1A1四边形CBB1C1，所以A1MCC1，BMCC1，所以A1M=BM=.又平面ACC1A1平面BCC1B1，所以A1MB为二面角的平面角，且A1MB=90.所以A1B=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)11.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C平面ABCD，且AB=BC=CA=，AD=CD=1.(1)求证：BDAA1.(2)在棱BC上取一点E，使得AE平面DCC1D1，求的值.【解题指南】(1)利用面面垂直的性质，证明BD平面AA1C1C，可得BDAA1.(2)点E为B
11、C的中点，即=1，再证明AEDC，利用线面平行的判定，可得AE平面DCC1D1.【解析】(1)在四边形ABCD中，因为BA=BC，DA=DC，所以BDAC，平面AA1C1C平面ABCD，且平面ACC1A1平面ABCD=AC，BD平面ABCD，所以BD平面ACC1A1，又AA1平面ACC1A1，所以BDAA1.(2)点E为BC的中点，即=1，下面给予证明：在三角形ABC中，因为AB=AC，且E为BC的中点，所以AEBC，又在四边形ABCD中，AB=BC=CA=，DA=DC=1，所以ACB=60，ACD=30，所以DCBC，即平面ABCD中有AEDC.因为DC平面DCC1D1，AE平面DCC1D1
12、，所以AE平面DCC1D1.12.(2016重庆高二检测)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点.(1)证明：平面BDC1平面BDC.(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.【解析】(1)设AC=1，因为D为AA1的中点，AC=BC=AA1，所以AC=AD=A1D=A1C1=1，所以DC=DC1=，又CC1=2，所以DC2+D=C，所以C1DDC，因为BCAC，BCC1C，ACC1C=C，所以BC平面A1ACC1，C1D平面A1ACC1，所以C1DBC，因为DCBC=C，所以C1D平面BDC，又C1D平面BDC1，
13、所以平面BDC1平面BDC.(2)过C1作C1HA1B1于H点，因为平面A1B1C1平面ABB1A1，平面A1B1C1平面ABB1A1=A1B1，所以C1H平面ABB1A1，由(1)知，在等腰RtA1B1C1中，C1H=，所以=(A1D+BB1)A1B1C1H=，=ACBCCC1=1，所以这两部分体积的比为11.【能力挑战题】如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD，(1)证明：平面AEC平面BED.(2)若ABC=120，AEEC，三棱锥E-ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积.【解析】(1)因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE，又BDBE=B，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设AB=x，在菱形ABCD中，由ABC=120，可得AG=GC=x，GB=GD=.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EG=x.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BE=x.由已知得，三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=ACGDBE=x3=.故x=2.从而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2.
