1、第26练完美破解立体几何证明题题型分析高考展望立体几何证明题,是高考必考题,证明平行、垂直关系是主要题型,特别是垂直关系尤为重要.掌握判定定理、性质定理并能灵活运用是解题的根本.学会分析推理的方法和证明技巧是提升推理能力的关键,在二轮复习中,通过专题训练,使解立体几何证明的能力更上一层楼,确保该类题型不失分.常考题型精析题型一空间中的平行问题例1如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E、F、G分别是BC、DC、SC的中点,求证:(1)直线EG平面BDD1B1;(2)平面EFG平面BDD1B1.点评证明平行关系的方法(1)证明线线平行的常用方法:利用平行公理,即证明两直线
2、同时和第三条直线平行;利用平行四边形进行转换;利用三角形中位线定理证明;利用线面平行、面面平行的性质定理证明.(2)证明线面平行的常用方法:利用线面平行的判定定理,把证明线面平行转化为证明线线平行;利用面面平行的性质定理,把证明线面平行转化为证明面面平行.(3)证明面面平行的方法:证明面面平行,依据判定定理,只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可,从而将证明面面平行转化为证明线面平行,再转化为证明线线平行.变式训练1(2015广东)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PDPC4,AB6,BC3.(1)证明:BC平面PDA;(2)证明:BCPD;(3)求点C到平
3、面PDA的距离.题型二空间中的垂直问题例2如图所示,已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD为等边三角形,ADDE2AB,F为CD的中点.求证:(1)AF平面BCE;(2)平面BCE平面CDE.点评(1)证明线面垂直的常用方法:利用线面垂直的判定定理,把线面垂直的判定转化为证明线线垂直;利用面面垂直的性质定理,把证明线面垂直转化为证明面面垂直;利用常见结论,如两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(2)证明面面垂直的方法:证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证明一个面过另一个面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线
4、,则借助中点、高线或添加辅助线来解决.变式训练2(2014广东)如图(1),四边形ABCD为矩形,PD平面ABCD,AB1,BCPC2,作如图(2)折叠,折痕EFDC.其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M,并且MFCF.(1)证明:CF平面MDF;(2)求三棱锥MCDE的体积.题型三空间中的平行、垂直综合问题例3(2015山东)如图,三棱台DEFABC中,AB2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD平面FGH;(2)若CFBC,ABBC,求证:平面BCD平面EGH. 点评(1)立体几何中,要证线垂直于线,常常先证线垂直于面,再用线垂直于面的
5、性质易得线垂直于线.要证线平行于面,只需先证线平行于线,再用线平行于面的判定定理易得.(2)证明立体几何问题,要紧密结合图形,有时要利用平面几何的相关知识,因此需要多画出一些图形辅助使用.(3)平行关系往往用到三角形的中位线,垂直关系往往用到三角形高线、中线.变式训练3在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA平面ABCD,PDMA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且ADPD2MA.(1)求证:平面EFG平面PMA;(2)求证:平面EFG平面PDC;(3)求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比.高考题型精练1.(2015广东)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2
6、在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交2.(2015玉溪质检)已知直线l平面,直线m平面,则“”是“lm”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件3.如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,ACEFG.现在沿AE、EF、FA把这个正方形折成一个四面体,使B、C、D三点重合,重合后的点记为P,则在四面体PAEF中必有()A.APPEF所在平面 B.AGPEF所在平面C.EPAEF所在平面 D.PGAEF所在
7、平面4.(2015烟台模拟)已知、是两个不同的平面,给出下列四个条件:存在一条直线a,a,a;存在一个平面,;存在两条平行直线a、b,a,b,a,b;存在两条异面直线a、b,a,b,a,b,可以推出的是()A. B.C. D.5.(2014浙江)设m、n是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则()A.若mn,n,则mB.若m,则mC.若m,n,n,则mD.若mn,n,则m6.设l,m,n表示不同的直线,表示不同的平面,给出下列四个命题:若ml,且m,则l;若ml,且m,则l;若l,m,n,则lmn;若m,l,n,且n,则lm.其中正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.47.如图,已知六棱
8、锥PABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC,PA2AB,则下列结论中:PBAE;平面ABC平面PBC;直线BC平面PAE;PDA45.其中正确的有_(把所有正确的序号都填上).8.如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO平面BB1C1C.则B1C与AB的位置关系为_.9.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足_时,平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)10.(2014山东)如图,四棱锥PABCD中,AP平面PCD,ADBC,ABBCAD,E,F分别为线段AD,PC的
9、中点.(1)求证:AP平面BEF;(2)求证:BE平面PAC.11.如图,在四棱锥PABCD中,ABCD,ABAD,CD2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD.E和F分别是CD、PC的中点.求证:(1)PA底面ABCD;(2)BE平面PAD;(3)平面BEF平面PCD.12.(2014四川)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.(1)若ACBC,证明:直线BC平面ACC1A1;(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE平面A1MC?请证明你的结论.答案精析第26练完美破解立体几何证明题常考题型精析例1证明(1)如图,连接SB,
10、E、G分别是BC、SC的中点,EGSB.又SB平面BDD1B1,EG平面BDD1B1,直线EG平面BDD1B1.(2)连接SD,F、G分别是DC、SC的中点,FGSD.又SD平面BDD1B1,FG平面BDD1B1,FG平面BDD1B1,由(1)知,EG平面BDD1B1,且EG平面EFG,FG平面EFG,EGFGG,平面EFG平面BDD1B1.变式训练1(1)证明因为四边形ABCD是长方形,所以BCAD,因为BC平面PDA,AD平面PDA,所以BC平面PDA.(2)证明因为四边形ABCD是长方形,所以BCCD,因为平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCDCD,BC平面ABCD,所以BC平面
11、PDC,因为PD平面PDC,所以BCPD.(3)解如图,取CD的中点E,连接AC和PE.因为PDPC,所以PECD,在RtPED中,PE.因为平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCDCD,PE平面PDC,所以PE平面ABCD,由(2)知:BC平面PDC,由(1)知:BCAD,所以AD平面PDC,因为PD平面PDC,所以ADPD.设点C到平面PDA的距离为h,因为V三棱锥CPDAV三棱锥PACD,所以SPDAhSACDPE,即h,所以点C到平面PDA的距离是.例2证明(1)如图,取CE的中点G,连接FG,BG.F为CD的中点,GFDE且GFDE.AB平面ACD,DE平面ACD,ABDE,G
12、FAB.又ABDE,GFAB.四边形GFAB为平行四边形,AFBG.AF平面BCE,BG平面BCE,AF平面BCE.(2)ACD为等边三角形,F为CD的中点,AFCD.DE平面ACD,AF平面ACD,DEAF.又CDDED,故AF平面CDE.BGAF,BG平面CDE.BG平面BCE,平面BCE平面CDE.变式训练2(1)证明因为PD平面ABCD,AD平面ABCD,所以PDAD.又因为ABCD是矩形,CDAD,PD与CD交于点D,所以AD平面PCD.又CF平面PCD,所以ADCF,即MDCF.又MFCF,MDMFM,所以CF平面MDF.(2)解因为PDDC,BC2,CD1,PCD60,所以PD,
13、由(1)知FDCF,在RtDCF中,CFCD.过点F作FGCD交CD于点G,得FGFCsin 60,所以DEFG,故MEPE,所以MD .SCDEDEDC1.故VMCDEMDSCDE.例3证明(1)方法一如图,连接DG,设CDGFM,连接MH.在三棱台DEFABC中,AB2DE,G为AC的中点,可得DFGC,DFGC,所以四边形DFCG为平行四边形.则M为CD的中点,又H为BC的中点,所以HMBD,又HM平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.方法二在三棱台DEFABC中,由BC2EF,H为BC的中点,可得BHEF,BHEF,所以四边形HBEF为平行四边形,可得BEHF.在ABC中,G
14、为AC的中点,H为BC的中点,所以GHAB.又GHHFH,ABBEB,所以平面FGH平面ABED.又因为BD平面ABED,所以BD平面FGH.(2)连接HE,因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GHAB.由ABBC,得GHBC.又H为BC的中点,所以EFHC,EFHC,因此四边形EFCH是平行四边形,所以CFHE.又CFBC,所以HEBC.又HE,GH平面EGH,HEGHH,所以BC平面EGH.又BC平面BCD,所以平面BCD平面EGH.变式训练3(1)证明E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,EGPM,GFBC.又四边形ABCD是正方形,BCAD,GFAD.EG、GF在平面PMA外,PM
15、、AD在平面PMA内,EG平面PMA,GF平面PMA.又EG、GF都在平面EFG内且相交,平面EFG平面PMA.(2)证明由已知MA平面ABCD,PDMA,PD平面ABCD.又BC平面ABCD,PDBC.四边形ABCD为正方形,BCDC.又PDDCD,BC平面PDC.由(1)知GFBC,GF平面PDC.又GF平面EFG,平面EFG平面PDC.(3)解PD平面ABCD,四边形ABCD为正方形,不妨设MA1,则PDAD2.DA平面MAB,且PDMA,DA即为点P到平面MAB的距离,VPMABVPABCDSMABDAS正方形ABCDPDSMABS正方形ABCD(22)14.即三棱锥PMAB与四棱锥P
16、ABCD的体积之比为14.高考题型精练1.D 若l与l1,l2都不相交则ll1,ll2,l1l2,这与l1和l2异面矛盾,l至少与l1,l2中的一条相交.2.A 直线l平面,直线l平面,又直线m平面,lm;但直线l平面,直线m平面,且lm时,与可以相交,故“”是“lm”的充分不必要条件,选A.3.A 在折叠过程中,ABBE,ADDF保持不变.AP面PEF.4.C 对于,平面与还可以相交;对于,当ab时,不一定能推出,所以是错误的,易知正确,故选C.5.C A中,由mn, n,可得m或m或m与相交,错误;B中,由m,可得m或m或m与相交,错误;C中,由m,n,可得mn,又n,则m,正确;D中,由
17、mn,n,可得m与相交或m或m,错误.6.B 对于,两条平行线中有一条与一平面垂直,则另一条也与这个平面垂直,故正确;对于,直线l可能在平面内,故错误;对于,三条交线除了平行,还可能相交于同一点,故错误;对于,结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确.综上正确.7.解析由PA平面ABC,AE平面ABC,得PAAE,又由正六边形的性质得AEAB,PAABA,得AE平面PAB,又PB平面PAB,AEPB,正确;平面PAD平面ABC,平面ABC平面PBC不成立,错;由正六边形的性质得BCAD,又AD平面PAD,BC平面PAD,BC平面PAD,直线BC平面PAE也不成立,错;在RtPAD中,PAA
18、D2AB,PDA45,正确.8.异面垂直解析AO平面BB1C1C,AOB1C,又平面BB1C1C为菱形,B1CBO,B1C平面ABO,AB平面ABO,B1CAB.9.DMPC(或BMPC,答案不唯一)解析四边形ABCD是菱形,ACBD,又PA平面ABCD,PABD,又ACPAA,BD平面PAC,BDPC.当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD,而PC平面PCD,平面MBD平面PCD.10.证明(1)设ACBEO,连接OF,EC,如图.由于E为AD的中点,ABBCAD,ADBC,所以AEBC,AEABBC,因此四边形ABCE为菱形,所以O为AC的中点.又F为PC的中点,因此在PAC中,可
19、得APOF,又OF平面BEF,AP平面BEF,所以AP平面BEF.(2)由题意知EDBC,EDBC,所以四边形BCDE为平行四边形,因此BECD.又AP平面PCD,所以APCD,因此APBE,因为四边形ABCE为菱形,所以BEAC.又APACA,AP,AC平面PAC,所以BE平面PAC.11.证明(1)平面PAD平面ABCDAD.又平面PAD平面ABCD,且PAAD.PA底面ABCD.(2)ABCD,CD2AB,E为CD的中点,ABDE,且ABDE.四边形ABED为平行四边形.BEAD.又BE平面PAD,AD平面PAD,BE平面PAD.(3)ABAD,且四边形ABED为平行四边形.BECD,A
20、DCD.由(1)知PA底面ABCD,则PACD,又PAADA,CD平面PAD,从而CDPD,又E、F分别为CD、CP的中点,EFPD,故CDEF.由EF,BE在平面BEF内,且EFBEE,CD平面BEF.又CD平面PCD,平面BEF底面PCD.12.(1)证明因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形,所以AA1AB,AA1AC.因为AB,AC为平面ABC内两条相交的直线,所以AA1平面ABC.因为直线BC平面ABC,所以AA1BC.又由已知,ACBC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交的直线,所以BC平面ACC1A1.(2)解如图,取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点.由已知,O为AC1的中点.连接MD,OE,则MD,OE分别为ABC,ACC1的中位线,所以MD綊AC,OE綊AC,因此MD綊OE.连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形,则DEMO.因为直线DE平面A1MC,MO平面A1MC,所以直线DE平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE平面A1MC.