1、第1节导数的概念及运算考试要求1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数yc，yx，yx2，yx3，y，y的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(axb)的导数；6.会使用导数公式表.知 识 梳 理1.导数的概念设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，且x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可
2、导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0).若函数yf(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f(x).2.导数的几何意义导数f(x0)的几何意义就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，在点P的切线方程为yy0f(x0)(xx0).3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0且a1)f(
3、x)axln_af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，且a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有：(1)Cf(x)Cf(x)(C为常数)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(4)(g(x)0).5.复合函数求导的运算法则若yf(u)，uaxb，则yxyuux，即yxyua.常用结论与微点提醒1.f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，且(f(x0)0.2.(f(x)0).3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4、4.函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.诊 断 自 测1.判断下列结论的正误.(在括号内打“”或“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率.()(2)函数f(x)sin(x)的导数f(x)cos x.()(3)求f(x0)时，可先求f(x0)，再求f(x0).()(4)曲线yf(x)在某点处的切线与曲线yf(x)过某点的切线意义是相同的.()解析(1)f(x0)表示yf(x)在xx0处的瞬时变化率，(1)错.(2)f(x)sin(x)sin
5、x，则f(x)cos x，(2)错.(3)求f(x0)时，应先求f(x)，再代入求值，(3)错.(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.答案(1)(2)(3)(4)2.(教材选修22P20T3改编)已知函数f(x)，则函数在x1处的切线方程是()A.2xy10 B.x2y20C.2xy10 D.x2y20解析由f(x)，得f(x)，又f(1)1，f(1)2.因此函数在x1处的切线方程为y12(x1)，即2xy
6、10.答案A3.(多填题)(教材选修22P17T13改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)4.9t26.5t10，则运动员的速度v_ m/s，加速度a_ m/s2.解析vh(t)9.8t6.5，av(t)9.8.答案9.8t6.59.84.(2019全国卷)曲线y2sin xcos x在点(，1)处的切线方程为()A.xy10 B.2xy210C.2xy210 D.xy10解析设yf(x)2sin xcos x，则f(x)2cos xsin x，曲线在点(，1)处的切线斜率kf()2，故切线方程为y12(x)，即2xy210.答案C5.(2019济宁模拟)
7、设f(x)ln(32x)cos 2x，则f(0)_.解析f(x)2sin 2x，所以f(0).答案6.(2019全国卷)曲线y3(x2x)ex在点(0，0)处的切线方程为_.解析y3(2x1)ex3(x2x)ex3ex(x23x1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率ke033，所以所求切线方程为y3x.答案y3x考点一导数的运算多维探究角度1根据求导法则求函数的导数【例11】 求下列函数的导数：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)yxsincos.解(1)f(x).(2)由已知f(x)xln x.f(x)1.(3)yxsin cos xsin(4x)xsin 4x，ysin 4xx4co
8、s 4xsin 4x2xcos 4x.角度2抽象函数的导数【例12】 已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)ln x，则f(1)_.解析因为f(x)x23xf(2)ln x，f(x)2x3f(2).令x2，得f(2)43f(2)，则f(2).f(1)1310.答案规律方法1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.【训练1】 (1)(角度1)已知f(x)ln ，则f(x)_.(2)(角度2)(2020雅礼中学
9、月考)已知函数f(x)的导函数是f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln ，则f(1)()A.e B.2 C.2 D.e(3)(角度1)(2020苏南四市联考)已知函数f(x)(x2a)ln x，f(x)是函数f(x)的导函数，若f(1)2，则a_.解析(1)f(x).(2)由已知得f(x)2f(1)，令x1得f(1)2f(1)1，解得f(1)1，则f(1)2f(1)2.(3)由f(x)(x2a)ln x，得f(x)2xln x.f(1)1a2，解得a3.答案(1)(2)B(3)3考点二导数的几何意义【例2】 (1)(2020安徽江南十校联考)曲线f(x)在点P(1，f(1)处的切线l的方程为
10、()A.xy20 B.2xy30C.3xy20 D.3xy40(2)(2019江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线yln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_.解析(1)因为f(x)，所以f(x).又f(1)1，且f(1)3.故所求切线方程为y13(x1)，即3xy40.(2)设A(m，n)，则曲线yln x在点A处的切线方程为yn(xm).又切线过点(e，1)，所以有n1(me).再由nln m，解得me，n1.故点A的坐标为(e，1).答案(1)D(2)(e，1)规律方法1.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求
11、出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为xx0.2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点不知道，要设出切点，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.【训练2】 (1)(多填题)(2020潍坊调研)已知函数yf(x)对任意的xR都有f(1x)2f(x)x21，则f(1)_，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为_.(2)设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_.解析(1)由题可得解得f(x)x2x.所以f(1)1，f(x)2x，所以f(
12、1)，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即8x3y50.(2)函数yex的导函数为yex，曲线yex在点(0，1)处的切线的斜率k1e01.设P(x0，y0)(x00)，函数y的导函数为y，曲线y(x0)在点P处的切线的斜率k2，由题意知k1k21，即11，解得x1，又x00，x01.又点P在曲线y(x0)上，y01，故点P的坐标为(1，1).答案(1)18x3y50(2)(1，1)考点三导数几何意义的应用【例3】 (1)(2019全国卷)已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()A.ae，b1 B.ae，b1C.ae1，b1 D.a
13、e1，b1(2)(2019南通调研)若曲线yx2与yaln x(a0)存在公共切线，则实数a的取值范围是()A.(0，2e B.(0，eC.(，0)(0，2e D.(，0)(0，e解析(1)yaexln x1，ky|x1ae1，切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1.又已知切线方程为y2xb，即(2)设切线在曲线yx2上的切点坐标为(x0，x)，则切线方程为y2x0xx，切线在yaln x上的切点为(x1，aln x1)，该切线方程为yxaaln x1由于两曲线有相同的公切线，因此2x0，xaln x1a，消去x0，得a4x4xln x1，设g(x)4x24x2ln x，g(x
14、)4x8xln x，得到g(x)在(0，e)递增，在(e，)递减，故g(x)最大值为2e.又x时，g(x)；当x0时，g(x)0.所以a的取值范围为(，0)(0，2e.答案(1)D(2)C规律方法1.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上.2.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用.【训练3】 (1)(2020重庆调研)已知直线y是曲线yxex的一条切线，则实数m的值为()A. B.e C. D.e(2)(2020淄博联考)若函数f(x)ln x2x2ax的图
15、象上存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是()A.(，6 B.(，62，)C.2，) D.(，6)(2，)解析(1)设切点坐标为，由yxex，得y(xex)exxex.若直线y是曲线yxex的一条切线，y|xnennen0，解得n1，因此nen，故me.(2)直线2xy0的斜率k2，又曲线f(x)上存在与直线2xy0平行的切线，f(x)4xa2在(0，)内有解，则a4x2，x0.又4x24，当仅当x时取“”.a422.答案(1)B(2)CA级基础巩固一、选择题1.(多选题)下列求导数的运算中正确的是()A.(3x)3xln 3 B.(x2ln x)2xln xxC. D.(sin
16、xcos x)cos 2x解析因为，C项错误，其余都正确.答案ABD2.(2020唐山模拟)已知函数f(x)为奇函数，则曲线f(x)在x2处的切线斜率等于()A.6 B.2 C.6 D.8解析f(x)为奇函数，则f(x)f(x).取x0，得x22x(x2ax)，则a2.当x0时，f(x)2x2.f(2)2.答案B3.函数yexx1在点(0，2)处的切线方程是()A.y2x2 B.y2x2C.yx2 D.yx2解析函数yexx1的导数为yex1，可得在点(0，2)处的切线的斜率为k2，所求切线方程为y2x2.答案B4.(2020济南调研)若函数f(x)在R上可导，且f(x)x22f(1)x3，则
17、()A.f(0)f(4) D.以上都不对解析函数f(x)的导数f(x)2x2f(1)，令x1，得f(1)22f(1)，即f(1)2，故f(x)x24x3(x2)21，所以f(0)f(4)3.答案B5.(2020南师大附中模拟)若曲线yaln xx2(a0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a()A. B. C. D.解析因为yaln xx2(a0，x0)，所以y2x2，当且仅当x时取等号.因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，则斜率k，因此2，所以a.答案B6.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设a，则下列不等式正确的是()A.af(2)f(4) B.f(2)af(4)C.f(4)f(
18、2)a D.f(2)f(4)a解析由函数f(x)的图象可知，在0，)上，函数值的增长越来越快，故该函数图象在0，)上的切线斜率也越来越大.因为a，所以f(2)a0)处的切线与直线xy20平行，则y|xx0|xx02x01.x01，y01，则P(1，1)，则曲线yx2ln x上的点到直线xy20的最短距离d.答案C级创新猜想17.(多选题)已知函数f(x)及其导函数f(x)，若存在x0使得f(x0)f(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是()A.f(x)x2 B.f(x)exC.f(x)ln x D.f(x)tan x解析若f(x)x2，则f(x)2x，令x
19、22x，得x0或x2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)ex，则f(x)ex，令exex，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)ln x，则f(x)，令ln x，在同一直角坐标系内作出函数yln x与y的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)f(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)tan x，则f (x)，令tan x，化简得sin xcos x1，变形可得sin 2x2，无解，故D不符合要求.故选AC.答案AC18.(多填题)已知函数f(x)x2bxc(b，cR)，F(x)，若F(x)的图象在x0处的切线方程为y2xc，则b_，函数f(x)的最小值是_.解析f(x)2xb，F(x)，F(x).又F(x)的图象在x0处的切线方程为y2xc.解之得bc4.故f(x)x24x4(x2)20，则f(x)min0.答案40
