1、热点透视专题突破热点一空间向量的概念及其运算 例 1 已知向量 a(0，1,1)，b(4,1,0)，|ab|29，且 0，则 的值为_分析：利用向量的模的计算公式和数量积运算，化简|ab|29，得出关于 的方程，求 的值解析：方法一：由|ab|29得，2|a|2|b|22ab29，又|a|021212 2，|b|421202 17，ab(0，1,1)(4,1,0)04(1)1101，代入上式得 2221729，即 260，解得 3 或 2，又 0，3.方法二：由于 a(0，1,1)，b(4,1,0)，所以 ab(0，1,1)(4,1,0)(4,1，)，|ab|29，42(1)2229，整理得
2、260，解得 3 或 2，又0，3.答案：3热点二 空间向量与线面位置关系例 2 如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC90，BC2，CC14，EB11，D，F，G 分别为 CC1，B1C1，A1C1 的中点，EF 与 B1D 相交于点 H.(1)求证：B1D平面 ABD；(2)求证：平面 EGF平面 ABD.分析：建系 写出各点的坐标 写出B1D、AB、BD 的坐标 证明垂直 写出CF、EF 坐标 证明平行证明：(1)如图所示，建立空间直角坐标系，设 A1(a,0,0)，则 B1(0,0,0)，C1(0,2,0)，F(0,1,0)，E(0,0,1)，A(a,0,4)，B(0,0
3、,4)，D(0,2,2)，Ga2，1，0.B1D(0,2,2)，AB(a,0,0)，BD(0,2，2)B1D AB 0000，B1D BD 0440.B1DAB，B1DBD.又 ABBDB，B1D平面 ABD.(2)AB(a,0,0)，BD(0,2，2)GF a2，0，0，EF(0,1，1)，GF 12AB，EF 12BD.GFAB，EFBD，又 GFEFF，ABBDB，平面 EGF平面 ABD.热点三 空间向量与空间角例 3 如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AB2，AA14，E 为 BC 的中点，F 为 CC1 的中点(1)求 EF 与平面 ABCD 所成的角的余弦值；(2)
4、求二面角 FDEC 的余弦值分析：建立空间直角坐标系(1)求平面 ABCD 的法向量 n由 cosEF n EF n|EF|n|再由平方关系求得所成角的余弦值；(2)求平面 DEF 的法向量 m.由 cosm，n mn|m|n|求得解析：以 D 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系(1)EF(0,2,2)(1,2,0)(1,0,2)，显然 n1(0,0,1)为面 ABCD 的一个法向量cosEF，n11，0，20，0，151 252 55.设 EF 与平面 ABCD 的夹角为，则 sin2 55.cos 55，即 EF 与平面 ABCD 的夹角的余弦值为 55.(2)设 n2(a，b，c)为平面
5、 FDE 的法向量DF(0,2,2)，DE(1,2,0)，又 n2DF 2b2c0，n2DE a2b0，令 a2，则 b1，c1.即 n2(2，1,1)为平面 FDE 的一个法向量cosn1，n20，0，12，1，11 6 16 66.所以，二面角 FDEC 的余弦值为 66.【专题突破】1已知 A(1,5，2)，B(2,4,1)，C(x,3，y2)，且 A、B、C 三点共线，则实数 x，y 的值分别为()A3，3 B6，1C3,2 D2,1解析：AB(1，1,3)，AC(x1，2，y4)x11 21y43，x3，y2.答案：C2已知长方体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长是
6、 4 的正方形，长方体的高为 AA13，则 BC1 与对角面 BB1D1D 夹角的正弦值等于()A.45 B.2 25C.35 D.3 25解析：建立如图所示的空间直角坐标系，底面是边长为 4 的正方形，AA13，A1(4,0,0)，B(4,4,3)，C1(0,4,0)而面 BB1D1D 的法向量为AC A1C1(4,4,0)，BC1 与对角面 BB1D1D 所成角的正弦值即为|cosBC1，A1C1|4，0，34，4，0|4232 42421654 22 25.答案：B3二面角的棱上有 A、B 两点，直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知 AB4，AC6，B
7、D8，CD2 17，则该二面角的大小为()A150 B45C60 D120解析：由条件，知CA AB 0，AB BD 0，CD CA AB BD.|CD|2|CA|2|AB|2|BD|22CA AB 2AB BD 2CA BD 624282268cosCA，BD(2 17)2，cosCA，BD 12，CA，BD 120，二面角的大小为 60，故选 C.答案：C4如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若平面 ABC平面 AA1B1B，ABCB，求直线 A1C 与平面BB1C1C 所成角的正弦值解析：(1)证明：取 AB 的中点 O
8、，连接 OC，OA1，A1B.因为 CACB，所以 OCAB.由于 ABAA1，BAA160，故AA1B 为等边三角形，所以 OA1AB.因为 OCOA1O，所以 AB平面 OA1C.又 A1C平面 OA1C，故 ABA1C.(2)由(1)知 OCAB，OA1AB.又平面 ABC平面 AA1B1B，交线为 AB，所以 OC平面 AA1B1B，故 OA，OA1，OC 两两互相垂直以 O 为坐标原点，OA 的方向为 x 轴的正方向，|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.由题设知 A(1,0,0)，A1(0，3，0)，C(0,0，3)，B(1,0,0)则BC(1,0，3)，BB1
9、 AA1(1，3，0)，A1C(0，3，3)设 n(x，y，z)是平面 BB1C1C 的法向量，则 nBC 0，nBB1 0.即x 3z0，x 3y0.可取 n(3，1，1)故 cosn，A1C nA1C|n|A1C|105.所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 105.5如图，在三棱锥 ABCD 中，侧面 ABD、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且 AD 3，BDCD1.另一个侧面 ABC是等边三角形点 A 在底面 BCD 上的射影为 H.(1)以 D 点为原点建立空间直角坐标系，并求 A，B，C 的坐标；(2)求二面角 BACD 的余弦值；(3)在线段 AC
10、 上是否存在一点 E，使 ED 与面 BCD 的夹角为 30？若存在，确定点 E 的位置；若不存在，说明理由解析：(1)由题意 ABAC 2，BC 2.则BDC 为等腰直角三角形连接 BH、CH，DBBH，CHBH.四边形 BHCD 为正方形，以 DC 为 y 轴，DB 为 x 轴建立空间直角坐标系如图所示，则 A(1,1,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)(2)设平面 ABC 的法向量为 n1(x，y，z)，则由 n1BC 知：n1BC xy0.同理，由 n1CA 知：n1CA xz0.可取 n1(1,1，1)同理，可求得平面 ACD 的一个法向量为 n2(1,0，1)则 cosn1，n2 n1n2|n1|n2|1013 2 63，即所求二面角 BACD 的余弦值为 63.(3)假设存在 E 满足条件，设CE xCA(x,0，x)(0 x1)，则DE DC CE(0,1,0)(x,0，x)(x,1，x)，平面 BCD 的一个法向量为 n(0,0,1)，ED 与平面 BCD 的夹角为 30，由图可知DE 与 n 的夹角为 60，所以 cosDE，n DE n|DE|n|x12x2cos6012.则 2x 12x2，解得 x 22，即 E22，1，22，|AC|2，|CE|1.故线段 AC 上存在点 E(与 C 的距离为 1)，使 ED 与平面 BCD 的夹角为 30.
