1、高三总复习人教A 版 数学（理）第十二节导数的应用高三总复习人教A 版 数学（理）1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)3会利用导数解决某些实际问题高三总复习人教A 版 数学（理）一、函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减；如
2、果，那么f(x)在这个区间内为常数f(x)0f(x)0f(x)0高三总复习人教A 版 数学（理）二、函数的极值与导数1函数的极小值函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧，右侧，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值2函数的极大值函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧，右侧，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值f(x)0f(x)0f(x)0 时，f(x)x4x的单调减区间是()A(2，)B(0
3、,2)C(2，)D(0，2)解析：f(x)14x2，令 f(x)0，14x20，0 x0，a2或a2或a0，即(x22)ex0，ex0，x220，解得 2x0，x2(a2)xa0 对 x(1,1)都成立，即ax22xx1(x1)21x1(x1)1x1对 x(1，1)都成立高三总复习人教A 版 数学（理）令 y(x1)1x1，则 y11(x1)20.y(x1)1x1在(1,1)上单调递增y0，x2(a2)xa0对xR都成立(a2)24a0，即a240，这是不可能的故函数f(x)不可能在R上单调递减高三总复习人教A 版 数学（理）若函数f(x)在R上单调递增，则f(x)0对xR都成立，即x2(a2
4、)xaex0对xR都成立，ex0，x2(a2)xa0对xR都成立而(a2)24aa240，故函数f(x)不可能在R上单调递增综上可知，函数f(x)不可能是R上的单调函数高三总复习人教A 版 数学（理）即时训练 设函数 f(x)x(ex1)12x2，则函数 f(x)的单调增区间为_解析：因为 f(x)x(ex1)12x2，所以 f(x)ex1xexx(ex1)(x1)令 f(x)0，即(ex1)(x1)0，解得 x(，1)或 x(0，)所以函数 f(x)的单调增区间为(，1)和(0，)答案：(，1)和(0，)高三总复习人教A 版 数学（理）热点之二 函数的极值与导数求可导函数f(x)的极值的步骤
5、：(1)求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)检验f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的符号：如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数yf(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数yf(x)在这个根处取得极小值高三总复习人教A 版 数学（理）例 2 设 a0，函数 f(x)axbx21，b 为常数(1)证明：函数 f(x)的极大值点和极小值点各有一个；(2)若函数 f(x)的极大值为 1，极小值为1，试求 a 值课堂记录(1)证明：f(x)ax22bxa(x21)2，令 f(x)0，得 ax22bxa04b24a20，方程有两个不相等的实根，
6、记为 x1，x2(x1x2)，高三总复习人教A 版 数学（理）则 f(x)a(xx1)(xx2)(x21)2f(x)与 f(x)的变化情况如下表：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极小值极大值可见，f(x)的极大值点和极小值点各有一个高三总复习人教A 版 数学（理）(2)解：由(1)得f(x1)ax1bx1211f(x2)ax2bx2211即ax1bx121ax2bx221两式相加，得 a(x1x2)2bx22x12高三总复习人教A 版 数学（理）x1x22ba，x22x120，即(x2x1)(x2x1)0，又 x1x2，x1x20，从而 b0，a(x21)0 得
7、 x11，x21，故 ax121x12.高三总复习人教A 版 数学（理）即时训练 (2009辽宁高考)若函数 f(x)x2ax1 在 x1 处取极值，则 a_.解析：由 f(x)x2ax1，得 f(x)2x(x1)(x2a)(x1)2.令 f(x)0，由 x1，得 x22xa0.又函数在 x1 处取得极值，所以 x1 是 x22xa0 的根，所以 a3.答案：3高三总复习人教A 版 数学（理）热点之三 函数的最值与导数1函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值2函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出
8、来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值高三总复习人教A 版 数学（理）例3 已知a是实数，函数f(x)x2(xa)(1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)在区间0,2上的最大值思路探究(1)由f(1)3可求a值求切线方程只需求斜率k及点(1，f(1)的坐标(2)可先判断f(x)的单调性及极值，再与f(0)，f(2)比较，即可求出最大值高三总复习人教A 版 数学（理）课
9、堂记录(1)f(x)3x22ax，f(1)32a3，a0.又当 a0 时，f(1)1，f(1)3，曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为 3xy20.(2)令 f(x)0，解得 x10，x22a3.当2a3 0，即 a0，f(x)在0,2上单调递增，从而 f(x)maxf(2)84a.高三总复习人教A 版 数学（理）当2a3 2，即 a3 时，f(x)在0,2上单调递减，从而 f(x)maxf(0)0.当 02a3 2，即 0a3 时，f(x)在0，2a3 上单调递减，在2a3，2上单调递增，从而 f(x)max84a (0a2)0 (2a2).高三总复习人教A 版 数学（理）即时训练
10、 已知 a 为实数，函数 f(x)(x21)(xa)若f(1)0，求函数 yf(x)在32，1上的最大值和最小值解：f(x)3x22ax1，又 f(1)0，32a10，即 a2.f(x)3x24x13(x13)(x1)由 f(x)0，得 x13；高三总复习人教A 版 数学（理）由 f(x)0，得1x138，f(x)在32，1上的最大值为 f(1)6，最小值为 f(32)138.高三总复习人教A 版 数学（理）热点之四 导数的综合应用综合应用是指结合方程、不等式其他分支内容的综合考查，此类问题一般综合性强，涉及面广，较繁杂，难度一般也较大，主要体现形式为解答题，内容形式多为构造函数、利用导数研究
11、方程根的分布，两曲线交点个数，利用导数证明不等式，解决有关不等式问题，求不等式有解或恒成立时参数的取值高三总复习人教A 版 数学（理）例4 设a0，f(x)x1ln2x2alnx(x0)(1)令F(x)xf(x)，讨论F(x)在(0，)内的单调性并求极值；(2)求证：当x1时，恒有xln2x2alnx1.思路探究 用导数证明不等式需要通过构造函数并求函数的最值高三总复习人教A 版 数学（理）课堂记录(1)根据求导法则得 f(x)12lnxx 2ax，x0.故 F(x)xf(x)x2lnx2a，x0，于是 F(x)12xx2x，x0，令 F(x)0，则 x2.列表如下：x(0,2)2(2，)F(
12、x)0F(x)极小值F(2)高三总复习人教A 版 数学（理）所以，F(x)在(0,2)内单调递减，在(2，)内单调递增，在x2处取得极小值F(2)22ln22a.(2)证明：由a0知，F(2)22ln22a0.于是由上表知，对一切x(0，)，恒有F(x)xf(x)0.从而当x0时，恒有f(x)0，故f(x)在(0，)内单调递增所以当x1时，f(x)f(1)0，即x1ln2x2alnx0.故当x1时，恒有xln2x2alnx1.高三总复习人教A 版 数学（理）思维拓展 欲证不等式f(x)g(x)，设F(x)f(x)g(x)，即证F(x)min0，而欲证方程f(x)0有多少个解，即求f(x)的极值
13、，结合图象，通过极值的正负决定解的个数，注意：函数图象要连续高三总复习人教A 版 数学（理）即时训练 已知 f(x)12x2alnx(aR)，(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)求证：当 x1 时，12x2lnx0)，若 a0 时，f(x)0 恒成立，函数 f(x)的单调增区间为(0，)若 a0 时，令 f(x)0，得 x a.函数 f(x)的单调增区间为(a，)，减区间为(0，a)高三总复习人教A 版 数学（理）(2)证明：设 F(x)23x3(12x2lnx)，故 F(x)2x2x1x.F(x)(x1)(2x2x1)x.x1，F(x)0.F(x)在(1，)上为增函数高三总复习人教A 版
14、 数学（理）又 F(x)在1，)上连续，F(1)160，F(x)16在(1，)上恒成立F(x)0.当 x1 时，12x2lnx23x3.高三总复习人教A 版 数学（理）从近两年的高考试题来看，利用导数来研究函数的单调性和极值问题已成为炙手可热的考点，既有小题，也有解答题，小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，解答题主要考查导数与函数单调性，或方程、不等式的综合应用高三总复习人教A 版 数学（理）例5(2010全国)已知函数f(x)(x1)lnxx1.(1)若xf(x)x2ax1.求a的取值范围；(2)证明：(x1)f(x)0.解(1)f(x)x1x lnx1lnx1x，xf(x)xlnx
15、1，高三总复习人教A 版 数学（理）题设 xf(x)x2ax1 等价于 lnxxa.令 g(x)lnxx，则 g(x)1x1.当 0 x0；当 x1 时，g(x)0，x1 是 g(x)的最大值点，g(x)g(1)1.综上，a 的取值范围是1，)高三总复习人教A 版 数学（理）(2)由(1)知，g(x)g(1)1，即lnxx10.当0 x1时，f(x)(x1)lnxx1xlnx(lnxx1)0；高三总复习人教A 版 数学（理）当 x1 时，f(x)lnx(xlnxx1)lnxxlnx1x1lnxxln1x1x1 0.所以(x1)f(x)0.高三总复习人教A 版 数学（理）1(2010课标全国)设
16、函数f(x)ex1xax2.(1)若a0，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时，f(x)0，求a的取值范围解：(1)当a0时，f(x)ex1x，f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)0.故f(x)在(，0)单调减少，在(0，)单调增加高三总复习人教A 版 数学（理）(2)f(x)ex12ax.由(1)知ex1x，当且仅当x0时等号成立故f(x)x2ax(12a)x，从而当12a0，即a时，f(x)0(x0)，而f(0)0，于是当x0时，f(x)0.由ex1x(x0)可得ex1x(x0)高三总复习人教A 版 数学（理）从而当 a12时，f(x)ex12a(ex1)ex(ex1)(ex2a)，故当 x(0，ln2a)时，f(x)0，而 f(0)0，于是当 x(0，ln2a)时，f(x)0.综上所述 a12.高三总复习人教A 版 数学（理）
