1、高三阶段性教学质量检测数学（科学）试题第卷（共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。【题文】1集合A=0，2，a，B=1，2, ，若AB=-4，0，1，2，16，则a的值为（）A1 B2 C-4 D4【知识点】集合及其运算A1【答案解析】C 集合A=0，2，a，B=1，2，a2，AB=-4，0，1，2，16，a-4，16，a2-4，16，故a=-4，或a2=-4（舍去），故a=-4，故选C【思路点拨】由A=0，2，a，B=1，2，a2，若AB=-4，0，1，2，16，可得：a=-4，或a2=-4，讨论后，可得答案【题文】2
2、A.2B-2C6D-6【知识点】函数的奇偶性与周期性B4【答案解析】B 函数f（x）=ax5-bx3+cx，f（-x）=-f（x）f（-3）=2，f（3）=-2，故选B【思路点拨】函数f（x）=ax5-bx3+cx，可判断奇函数，运用奇函数定义式求解即可【题文】3 【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切C5【答案解析】A 由三角函数的定义可得cos= ，又cos= x，=x，又是第二象限角，x0，故可解得x=-3cos=-，sin=，tan=-tan2=故选A【思路点拨】由三角函数的定义可得x的方程，解方程可得cos，再由同角三角函数的基本关系可得tan，由二倍角的正切公式可得【题文】4 【知
3、识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2【答案解析】D =(2，3)，=(-1，2)m+4 =(2m-4，3m+8)；-2=(4，-1)(m+4)(-2)4-2m=4（3m+8）解得m=-2故答案为D【思路点拨】利用向量的坐标运算求出两个向量的坐标；利用向量共线的充要条件列出方程求出m的值【题文】5若定义在R上的函数满足且则对于任意的，都有A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【知识点】函数的单调性与最值B3【答案解析】C f（x）=f（5-x），即函数y=f（x）的图象关于直线x=对称又因（x-）f（x）0，故函数y=f（x）在（，+）上是增函数再由对称性可得
4、，函数y=f（x）在（-，）上是减函数任意的x1x2，都有f（x1）f（x2），故x1和x2在区间（-，）上，x1+x25反之，若 x1+x25，则有x2 -x1，故x1离对称轴较远，x2 离对称轴较近，由函数的图象的对称性和单调性，可得f（x1）f（x2）综上可得，“任意的x1x2，都有f（x1）f（x2）”是“x1+x25”的充要条件，故选C【思路点拨】由已知中可得函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，由（x- ）f（x）0可得函数y=f（x）在（ ，+）上是增函数，在（-， ）上是减函数，结合函数的图象和性质和充要条件的定义，可判断f（x1）f（x2）和x1+x25的充要关系，得到答案
5、【题文】6.如图，阴影区域的边界是直线y=0，x=2，x=0及曲线，则这个区域的面积是A 4 B 8 C D 【知识点】定积分与微积分基本定理B13【答案解析】B 这个区域的面积是3x2dx= =23-0=8，故选B【思路点拨】将阴影部分的面积是函数在0，2上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案【题文】7，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为 【知识点】解三角形C8【答案解析】B ABC中，b=2，A=120，三角形的面积S=bcsinA=c，c=2=b，故B=（180-A）=30再由正弦定理可得 =4，三角形外接圆的半径R=2，故选B【思路点拨】由条件求得 c=2=b，可
6、得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值【题文】8已知，若是的最小值，则的取值范围为A-1,2 B-1,0 C1,2 D0,2【知识点】函数的单调性与最值B3【答案解析】D 法一：排除法当t=0时，结论成立，排除C；当t=-1时，f（0）不是最小值，排除A、B，选D法二：直接法由于当x0时，f（x）=x+ +t在x=1时取得最小值为2+t，由题意当x0时，f（x）=（x-t）2，若t0，此时最小值为f（0）=t2，故t2t+2，即t2-t-20，解得-1t2，此时0t2，若t0，则f（t）f（0），条件不成立，选D【思路点拨】法1利用排除法进行判断，法2根据二次函数的图象以及基本不等
7、式的性质即可得到结论【题文】9已知【知识点】导数的应用B12【答案解析】A 由题意得为奇函数，所以排除B D，当x= , ,所以排除D，故选A【思路点拨】求出导数判断奇偶性，然后利用特殊值求出结果。【题文】10已知，符号表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ） 【知识点】函数与方程B9【答案解析】B 关于x的方程-a=0等价于x=ax分x0和x0的情况讨论，显然有a0若x0，此时x0；若x=0，则=0；若x1，因为xxx+1，故1，即a1，且随着x的增大而增大若x0，此时x0；若-1x0，则1；若x-1，因为xx-1，xxx+1，故1，即1a，且随着x的减小而增大为
8、使函数f（x）=-a有且仅有3个零点，只能使x=1，2，3；或x=-1，-2，-3若x=1，有a1；若x=2，有a1；若x=3，有a1；若x=4，有a1；若 x=-1，有a1； 若x=-2，有1a2；若x=-3，有1a，若x=-4，有1a综上所述 a或a故选B【思路点拨】关于x的方程-a=0等价于x=ax分x0和x0的情况讨论，确定为使函数f（x）=-a有且仅有3个零点，只能使x=1，2，3；或x=-1，-2，-3，即可得出结论第卷 （共100分）【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答案纸的相应位置上。【题文】11将函数的图像向右平移个单位后得到函数 -的图像【
9、知识点】函数的图象与性质C4【答案解析】y=3sin3x 将函数y=3sin（3x+ ）的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数解析式为：y=3sin3（x- ）+ =3sin3x故答案为y=3sin3x【思路点拨】直接在原函数解析式中取x=x- ，整理后得答案【题文】12已知，且的夹角为锐角，则的取值范围是 。【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2【答案解析】(-，-)(-，)由题意可得 0，且与不共线，即-3+100，且 ，解得 (-，-)(-，)，故答案为：(-，-)(-，)【思路点拨】由题意可得 0，且 与 不共线，即-3+100，且 ，求出的取值范围【题文】13.已知函数，若直
10、线对任意的都不是曲线的切线，则的取值范围为 。【知识点】导数的应用B12【答案解析】a f（x）=x3-3ax（aR），则f（x）=3x2-3a若直线x+y+m=0对任意的mR都不是曲线y=f（x）的切线，则直线的斜率为-1，f（x）=3x2-3a与直线x+y+m=0没有交点，又抛物线开口向上则必在直线上面，即最小值大于直线斜率，则当x=0时取最小值，-3a-1，则a的取值范围为a即答案为a【思路点拨】首先分析对任意的m直线x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线的含义，即可求出函数f（x）=x3-3ax（aR）的导函数，使直线与其不相交即可【题文】14已知 ，定义。经计算，照此规律，则 【
11、知识点】合情推理与演绎推理M1【答案解析】求导数分母都是，分子是正负相间，并且第一个是1-x，分子为x-n,所以。【思路点拨】根据求导公式找出规律，发现分母不变，分子是正负相间，得到结果。【题文】15下图展示了一个由区间（0,1）到实数集R的映射过程：区间（0,1）中的实数m对应数轴上的点m，如图：将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图：再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0,1），如图，图中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作。下列说法中正确命题的序号是 （填出所有正确命题的序号） 是奇函数 在定义域上单调递增是图像关于点对称。【知识
12、点】函数及其表示B1【答案解析】 由题意是错误命题，因为当m= 此时M恰好处在左半圆弧的中点上，此时直线AM的方程为y=x+1，即f（）= ；是错误命题，由函数是奇函数，其定义域必关于原点对称，而m（0，1），不是奇函数；是正确命题，由图3可以看出，m由0增大到1时，M由A运动到B，此时N由x的负半轴向正半轴运动，由此知，N点的横坐标逐渐变大，故f（x）在定义域上单调递增是正确的；是正确命题，由图3可以看出，当M点的位置离中间位置相等时，N点关于Y轴对称，即此时函数值互为相反数，故可知f（x）的图象关于点（，0）对称综上知，是正确命题，【思路点拨】由题中对映射运算描述，对四个命题逐一判断其真伪
13、，m=此时M恰好处在左半圆弧的中点上，求出直线AM的方程后易得N的横坐标可由偶函数的定义域关于原点对称来确定正误，可由图3，由M的运动规律观察出函数值的变化，得出单调性，可由图3中圆关于Y轴的对称判断出正误【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。【题文】16（本小题满分12分）已知集合，集合，集合。命题,命题（）若命题p为假命题，求实数a的取值范围。（）若命题为真命题，求实数a的取值范围。【知识点】集合及其运算A1【答案解析】（）a3（）0a3y=x2-2x+a=（x-1）2+a-1a-1A=x|x2-3x+20=x|1x2，B=y|ya-1，C=
14、x|x2-ax-40，（1）由命题p为假命题可得AB=a-12a3（2）命题pq为真命题命题p，q都为真命题即AB且AC解可得0a3【思路点拨】由题意可得A=x|1x2，B=y|ya-1，C=x|x2-ax-40，（1）由命题p为假命题可得AB=，可求a（2）由题意可得AB且AC，结合集合之间的基本运算可求a的范围【题文】17（本小题满分12分）已知函数的导函数。（1） 求函数的最小值和相应的x值。（2） 若，求。【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2【答案解析】（1）最小值为1-，此时x=k-，kZ（2）（1）f（x）=sin（x-）=sinx-cosxf（x）=cosx+sinx
15、F（x）=f（x）2-f（x）f（x），F（x）=（cosx+sinx）2-（cosx+sinx）（sinx-cosx）=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，其最小值为1-，此时x=k-，kZ，（2）f（x）=2f（x），cosx+sinx=2（cosx-sinx），tanx=【思路点拨】（1）先化简，再求导，再化简F（x），继而求出最值，（2）由题意求出tanx=，化简求值即可【题文】18（本小题满分12分）已知为定义在上的奇函数，当时，函数解析式为。（1） 求b的值，并求出在上的解析式。（2） 求在上的值域。【知识点】函数的奇偶性B4【答案解析】(1)f（x）=2x-4x （
16、2） -2，2(1)f（x）为定义在-1，1上的奇函数，且f（x）在x=0处有意义，f（0）=0，即f（0）=1-b，b=1设x0，1，则-x-1，0f（-x）=4x-2x，f（x）=2x-4x，所以f（x）=2x-4x在0，1上的解析式为f（x）=2x-4x，（2）当x0，1，f（x）=2x-4x=2x-（2x）2，设t=2x（t0），则g（t）=-t2+t，x0，1，t1，2当t=1时，最大值为1-1=0，当t=0时，取最小值-2，函数在0，1上取最小值-2，最大值为0，f（x）为定义在-1，1上的奇函数，函数在-1，0上取最小值0，最大值为2，所以f（x）在-1，1上的值域-2，2【思路
17、点拨】（1）f（x）为定义在-1，1上的奇函数，且f（x）在x=0处有意义，f（0）=0，求出b的值，利用奇函数定义求出解析式（2）设t=2x（t0），则g（t）=-t2+t，x0，1，t1，2转化为二次函数求解，再利用奇性求出整个区间上的最值，即可得到值域【题文】19（本小题满分12分）设函数=-，直线与函数图象相邻两交点的距离为。（1） 求的值。（2） 在中，角所对的边分别是，若点是函数图像的一个对称中心，且，求面积的最大值。【知识点】解三角形C8【答案解析】（1）=2（2）（1）函数f（x）=sin（x+）-2sin2x+1（0）=sinxcos+cosxsin+cosx =sinx+c
18、osx=sin（x+），函数的最大值为，最小值为-，直线y=-与函数f（x）图象相邻两交点的距离为，可得函数的最小正周期为=，求得=2（2）由于f（x）=sin（2x+），故有f（B）=sin（2B+）=0，B=，或B=若B=，则cosB=，化简可得ac=a2+c2-92ac-9，ac9，故ABC面积acsinB的最大值为9=若B=，则cosB=-=，化简可得-ac=a2+c2-92ac-9，ac9（2-），故ABC面积acsinB的最大值为9（2-）=【思路点拨】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为f（x）= sin（x+ ），根据函数的最小正周期为 =，求得的值（2）在ABC中，
19、由f（B）=sin（2B+）=0，求得B，可得cosB的值，再利用余弦定理、基本不等式求得ac的最大值，可得ABC面积acsinB的最大值【题文】20（本小题满分13分）5A级景区沂山为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入万元之间满足：，a、b为常数，当x=10万元，y=19.2万元；当x=50万元，y=74.4万元。（参考数据：，）（1） 求的解析式。（2） 求该景点改造升级后旅游利润的最大值。（利润=旅游增加值-投入）【知识点】函数模型及其应用B10【答案解析】（1）f（x）=-+x-ln（x10）（2）24.4万元（1）由条件可得，
20、解得a=-，b=1则f（x）=-+x-ln（x10）（2）由T（x）=f（x）-x=-+x-ln（x10），则T（x）=-+-=-，令T（x）=0，则x=1（舍）或x=50，当x（10，50）时，T（x）0，因此T（x）在（10，50）上是增函数；当x50时，T（x）0，因此T（x）在（50，+）上是减函数，故x=50为T（x）的极大值点，也是最大值点，且最大值为24.4万元即该景点改造升级后旅游利润T（x）的最大值为T（50）=24.4万元【思路点拨】（1）由条件：“当x=10万元时，y=19.2万元；当x=20万元时，y=35.7万元”列出关于a，b的方程，解得a，b的值即得则求f（x）的
21、解析式；（2）先写出函数T（x）的解析式，再利用导数研究其单调性，进而得出其最大值，从而解决问题【题文】21（本小题满分14分）已知函数=的图像在点处的切线为（1） 求函数的解析式。（2） 当时，求证：；（3） 若对任意的恒成立，求实数k的取值范围。【知识点】导数的应用B12【答案解析】（）f（x）=ex-x2-1（）略（）（-，0）（）f（x）=ex-x2+a，f（x）=ex-2x由已知 ，f（x）=ex-x2-1 （）令（x）=f（x）+x2-x=ex-x-1，（x）=ex-1，由（x）=0，得x=0，当x（-，0）时，（x）0，（x）单调递减；当x（0，+）时，（x）0，（x）单调递增（
22、x）min=（0）=0，从而f（x）-x2+x（8分）（）f（x）kx对任意的x（0，+）恒成立k对任意的x（0，+）恒成立，令g(x)= ， x0，g(x)= =由（）可知当x（0，+）时，ex-x-10恒成立，令g（x）0，得x1；g（x）0，得0x1g（x）的增区间为（1，+），减区间为（0，1）g（x）min=g（1）=0kg（x）min=g（1）=0，实数k的取值范围为（-，0）【思路点拨】（）利用图象在点x=0处的切线为y=bx，求出a，b，即可求函数f（x）的解析式；（）令（x）=f（x）+x2-x=ex-x-1，确定函数的单调性，可得（x）min=（0）=0，即可证明：f（x）-x2+x；（）f（x）kx对任意的x（0，+）恒成立 k对任意的x（0，+）恒成立，kg（x）min=g（1）=0，即可求实数k的取值范围
