1、章末综合测评(一)空间向量与立体几何(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是()22；2233；ABC DC中，原式2，不符合题意；中，原式2()()0；中，原式，不符合题意；中，原式()()0故选C2若a(2,2,0)，b(1,3，z)，a，b，则z等于()ABC DCcosa，b，可得z3已知向量a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，则实数的值为()A2 BC D2Da(ab)，a(ab)|a|2ab0，|a|2ab，14(2
2、23)7，解得2故选D4已知正四面体ABCD的棱长为1，且2，2，则()AB CDD由正四面体ABCD的棱长为1，且2，2，得，则11cos 120，故选D5已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)若a，b，c三向量共面，则实数等于()AB CDD由题意得ctab(2t，t4，3t2)，6如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则等于()A BC DCM，G分别是BC，CD的中点，7已知四面体OABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值为()A BC DC，于是|，|1，且()，于是cos，故异面直线BD与A
3、C所成角的余弦值为8在三棱锥PABC中，PC底面ABC，BAC90，ABAC4，PBC60，则点C到平面PAB的距离是()A BC DB在三棱锥PABC中，PC底面ABC，BAC90，ABAC4，PBC60，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则C(0,4,0)，P(0,4,4)，A(0,0,0)，B(4,0,0)，(0,4,0)，(4,0,0)，(0,4,4)，设平面PAB的法向量n(x，y，z)，则取z1，得n(0，1)，点C到平面PAB的距离d故选B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
4、求全部选对的得分5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9已知v1，v2分别为直线l1，l2的方向向量(l1，l2不重合)，n1，n2分别为平面，的法向量(，不重合)，则下列说法中，正确的是()Av1v2l1l2 Bv1v2l1l2Cn1n2 Dn1n2ABCDv1，v2分别为直线l1，l2的方向向量(l1，l2不重合)，v1v2l1l2，v1v2l1l2；n1，n2分别为平面，的法向量(，不重合)，n1n2，n1n2，故全部正确10已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；其中正确的是(
5、)AB CDABC0，0，ABAP，ADAP，则AB正确又与不平行，是平面ABCD的法向量，则C正确由于(2,3,4)，(1,2，1)，与不平行，故D错误11.在以下命题中，不正确的命题有()A|a|b|ab|是a，b共线的充要条件B若ab，则存在唯一的实数，使abC对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面D若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底ABCA.|a|b|ab|a与b共线，但a与b共线时|a|b|ab|不一定成立，故不正确；B.b需为非零向量，故不正确；C.因为2211，由共面向量定理知，不正确；D.由基底的定义知正确1
6、2将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD所成的角为60；AB与CD所成的角为60其中正确的结论是 ()AB CDABD如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD边长为，则D(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0，0,1)，A(0,1,0)，所以(0，1,1)，(2,0,0)，0，故ACBD正确又|，|，|，所以ACD为等边三角形正确对于，为平面BCD的一个法向量，cos，因为直线与平面所成的角0，90，所以AB与平面BCD所成角为45故错误又cos，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以AB与CD所成角为6
7、0故正确三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13已知向量(2,4,5)，(3，x，y)，若，则xy_45，存在实数k使得k则xy4514已知A(2，5,1)，B(2，4,2)，C(1，4,1)，则与的夹角为_60由题意得(0,1,1)，(1,1,0)，cos，所以与的夹角为6015已知矩形ABCD中，AB1，BC，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为_如图，过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N则可求得AM，BM，CN，DN，MN1由于，所以|2()2|2|2|22()122(000)，故|16在正三棱柱ABCA1
8、B1C1中，已知AB1，D在棱BB1上，且BD1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为_，平面ACD与ABC所成二面角的余弦值为_(本题第一空2分，第二空3分)取AC中点E，连接BE，则BEAC，如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz，则A，D(0,0,1)，C，设平面ACD的法向量为n(x，y，z)，令x2，z3，y0，n(2，0,3)，又为平面ABC的法向量，(0,0,1)，cosn平面ACD与平面ABC所成二面角的余弦值为平面ABC平面AA1C1C，平面ABC平面AA1C1CAC，BEAC，BE平面AA1C1C，为平面AA1C1C的一个法向量，又，cos，设AD与平面AA1C1C所成
9、的角为，则sin |cos，|四、解答题：本题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)如图所示，在四棱锥MABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB，AD的夹角都是60，N是CM的中点，设a，b，c，试以a，b，c为基向量表示出向量，并求BN的长解()()，abc|222(a2b2c22ab2ac2bc)，|，即BN的长为18(本小题满分12分)已知向量a(1，3,2)，b(2,1,1)，点A(3，1,4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得b？(O为原点)解(1)2ab(2，6
10、,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|5(2)t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)，若b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t，因此在直线AB上存在点E，使得b，此时点E的坐标为E19(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC，D是棱AC的中点，且ABBCBB12(1)求证：AB1平面BC1D；(2)求异面直线AB1与BC1所成的角解(1)证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD因为O为B1C的中点，D为AC的中点，所以ODAB1因为AB1平面BC1D，OD平面BC1D，所以AB1平面BC1D(2)建立如图所示的空间直角坐标
11、系Bxyz，则B(0,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,2)，B1(0,0,2)，因此(0，2,2)，(2,0,2)所以cos，设异面直线AB1与BC1所成的角为，则cos ，由于，故20(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点D在棱A1B1上，E，F分别是CC1，BC的中点，AEA1B1，AA1ABAC2(1)证明：DFAE；(2)当D为A1B1的中点时，求平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值解(1)证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，有AA1A1B1，又因为AEA1B1，所以A1B1平面AA1C1C，因为A1C1平面AA1C1C，所以A1B1A1C1所以
12、ABAC，ABAA1，ACAA1，如图，分别以AC，AA1，AB所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系Axyz，则C(2,0,0)，B(0,0,2)，A(0，0,0)，A1(0,2,0)，F(1,0,1)，E(2,1,0)设D(0,2，t)(0t2)，则(1,2，t1)，(2,1,0)，(1,2，t1)(2,1,0)0，所以DFAE(2)当D为A1B1的中点时，D(0,2,1)，(1，1,1)，(1,2,0)，设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，则即令y1得，n(2,1,3)，容易知平面ABC的法向量为n0(0,1,0)，所以cosn，n0，即平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为
13、21(本小题满分12分)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值解(1)证明：由已知可得，BFPF，BFEF，又PF平面PEF，EF平面PEF，且PFEFF，所以BF平面PEF又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD(2)作PHEF，垂足为H由(1)得，PH平面ABFD以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz由(1)可得，DEPE又DP2，DE1，所以PE又PF1，EF2，PF2PE2EF2，
14、故PEPF可得PH，EH则H(0,0,0)，P，D，为平面ABFD的法向量设DP与平面ABFD所成角为，则sin 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为22(本小题满分12分)已知三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，A1BAC1，ACAA14，BC2(1)求证：平面A1ACC1平面ABC；(2)若A1AC60，在线段AC上是否存在一点P，使二面角BA1PC的平面角的余弦值为？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由解(1)证明：ACAA1，四边形AA1C1C为菱形，连接A1C，则A1CAC1，又A1BAC1，且A1CA1BA1，AC1平面A1CB，则AC1BC，又ACB90，即BCAC，
15、BC平面A1ACC1，而BC平面ABC，平面A1ACC1平面ABC(2)以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，面A1ACC1内过点C且垂直于AC的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，ACAA14，BC2，A1AC60，C(0,0,0)，B(0,2,0)，A(4,0,0)，A1(2,0,2)设在线段AC上存在一点P，满足(01)，使得二面角BA1PC的余弦值为则(4，0,0)(4，2,0)(4，0,0)(44，2，0)，(24，0，2)，(2,0,2)设平面BA1P的一个法向量为m(x1，y1，z1)，由取x11，得m，平面A1PC的一个法向量为n(0,1,0)由|cosm，n|，解得或因为01，所以故在线段AC上存在一点P，满足，使二面角BA1PC的余弦值为
