1、2020-2021学年内蒙古赤峰市高二（下）期末数学试卷（文科）（A卷）一、选择题（共10小题）.1复数的共轭复数是（）AiBiCiDi2“ab0”是“a2+b20”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既充分也不必要条件3若f（x2）lnx，则f（2）（）Aln2B2In2Cln2D3ln24赤峰市种植谷子历史悠久，2003年在兴隆沟遗址出土了距今8000年的栗和黍的碳化颗粒标本，经加拿大、英国和我国的研究机构用C14等手段鉴定论证后，认为是人工栽培形态最早的谷物，由此推断赤峰敖汉地区是中国古代旱作农业起源地，也是横跨欧亚大陆旱作农业的发源地为了解城市家庭每天小米食用量xkg与满
2、意率y的关系，抽样得一组数据如表：x（kg）0.30.40.50.60.7y（%）30m507060根据表中的全部数据，用最小二乘法得出y与x线性回归方程为65x+17中m的值为（）A37.5B40C43.5D455下列说法中正确的是（）相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r|越接近于1，相关性越弱；回归直线x+ 一定经过样本点的中心（）；相关指数R2用来刻画回归的效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好；随机误差e的方差D（e）的大小是用来衡量预报的精确度ABCD6设复数z满足|z+1i|1，z在复平面内对应的点为P（x，y），则点P的轨迹方程为（）A（x1）2+（y+1）21Bx
3、2+（y1）21C（x1）2+y21D（x+1）2+（y1）217已知圆C：（x+2）2+y24内一点P（1，1）则过点P的弦长为2的弦所在直线方程为（）Ax2或y1By1Cx1或y1Dx18已知平面上动点P到定点F（2，0）的距离比它到y轴的距离大2，则动点P的轨迹方程为（）Ay0By28xCy0或y28xDy29已知正方体ABCDABCD的棱长为2，M、N分别为侧面ADDA、BCCB的中心，则此正方体ABCDABCD的外接球被平面BMN所截的截面面积为（）A2B3CD10设对于曲线f（x）exx上任一点处的切线l1，总存在曲线g（x）2ax+cosx上一点处的切线l2，使得l1l2，则实数
4、a的取值范围是（）ABCD二、填空题（共4小题）.11有一种益智推理游戏叫“找规律填数字”，按照规律“10”，“23”、“38”“415”，“524”，则“7 ”12若实数x，y满足约束条件，则zx+4y的取值范围是 13已知直线l：xy+t0（t0）与双曲线C：（a0，b0）两条渐近线分别交于A，B两点（A在第一象限，B在第二象限），若BAO30，则该双曲线的离心率为 14已知函数f（x）exaeln（ex+a），若关于x的不等式f（x）0恒成立，则实数a的取值范围是 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选
5、考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分15已知命题p：函数f（x）（a3）x是R上的减函数；命题q：x2+ax+2a0对xR都成立若命题p和命题q中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围16正三角形的一个顶点位于抛物线y22px（p0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长17为了调研同学们的学习成绩与学习时长的关系，某个学习研究小组从该校高二年级随机抽取了20名学生，统计他们每天学习数学所用的大致时间，以1小时为分界线，恰好各占一半其中，每天学习数学时间少于1小时的记为A组，达到1小时及以上的记为B组，并把两组同学的数学成绩以茎叶图形式呈现，如图：（1）分别求出A，B两
6、组同学的平均分及中位数；（2）若规定：不低于90分为优秀，不低于75分为达标，75分以下为未达标，根据成绩：完成如下列联表：达标未达标合计A组B组10合计20判断是否有95%的把握认为“数学成绩达标与否”与“学习时长达到1小时”有关？（3）为了进一步进行研究，若从A，B两组达标的同学中各随机抽取1人，求至少有1人成绩达到优秀的概率参考公式及数据：，na+b+c+dP（K2k）0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.82818已知函数f（x）x2+alnx，aR（1）当a4时，求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）f（
7、x）+在1，e为单调减函数，求实数a的取值范围19已知椭圆E：1（ab0）的离心率为e，点在椭圆上（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆E的右焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，其中直线l1交椭圆于M，N两点直线l2交椭圆于P，Q，求M，N，P，Q这四点围成的四边形的面积的取值范围（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程20在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，过点P（2，）作倾斜角为的直线l与交于M，N两点（1）写出l的参数方程及C的直角坐标方程；（
8、2）求的取值范围选修4-5：不等式选讲21已知a，b为正数，函数f（x）|xa|+|x+b|的值域为1c，+）（1）若c1，证明：a+b2ab；（2）若c0，证明：参考答案一、选择题（共10小题）.1复数的共轭复数是（）AiBiCiDi解：，故选：A2“ab0”是“a2+b20”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既充分也不必要条件解：根据题意，若ab0，则a0或b0，则a2+b20不一定成立，如a0、b1时，ab0成立而a2+b20不成立，若a2+b20，则有ab0，必有a2+b20，故“ab0”是“a2+b20”的必要不充分条件，故选：B3若f（x2）lnx，则f（2）（）A
9、ln2B2In2Cln2D3ln2解：根据题意，f（x2）lnx，则x0，令x，则有f（2）lnln2，故选：C4赤峰市种植谷子历史悠久，2003年在兴隆沟遗址出土了距今8000年的栗和黍的碳化颗粒标本，经加拿大、英国和我国的研究机构用C14等手段鉴定论证后，认为是人工栽培形态最早的谷物，由此推断赤峰敖汉地区是中国古代旱作农业起源地，也是横跨欧亚大陆旱作农业的发源地为了解城市家庭每天小米食用量xkg与满意率y的关系，抽样得一组数据如表：x（kg）0.30.40.50.60.7y（%）30m507060根据表中的全部数据，用最小二乘法得出y与x线性回归方程为65x+17中m的值为（）A37.5B
10、40C43.5D45解：由表中数据，可得，线性回归方程65x+17过样本中心，解得m37.5故选：A5下列说法中正确的是（）相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r|越接近于1，相关性越弱；回归直线x+ 一定经过样本点的中心（）；相关指数R2用来刻画回归的效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好；随机误差e的方差D（e）的大小是用来衡量预报的精确度ABCD解：对于，相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r|越接近于1，相关性越强，故错误；对于，回归直线x+ 一定经过样本点的中心（），故正确；对于，相关指数R2用来刻画回归的效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，故错误；对于，
11、随机误差e的方差D（e）的大小是用来衡量预报的精确度，故正确故选：D6设复数z满足|z+1i|1，z在复平面内对应的点为P（x，y），则点P的轨迹方程为（）A（x1）2+（y+1）21Bx2+（y1）21C（x1）2+y21D（x+1）2+（y1）21解：由|z+1i|z（1+i）|1可知复数z对应点到点（1，1）的距离等于1，点P的轨迹方程为：（x+1）2+（y1）21故选：D7已知圆C：（x+2）2+y24内一点P（1，1）则过点P的弦长为2的弦所在直线方程为（）Ax2或y1By1Cx1或y1Dx1解：根据题意，设要求直线为l，圆C：（x+2）2+y24，其圆心为（2，0），半径r2，过点
12、P的弦长为2，则圆心到直线l的距离d1，若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x1，圆心（2，0）到直线l的距离d1，符合题意，若直线l的斜率存在，设其斜率为k，直线l的方程为y1k（x+1），即kxy+k+10，则有d1，解可得k0，此时直线l的方程为y1，综合可得：要求直线的方程为x1或y1，故选：C8已知平面上动点P到定点F（2，0）的距离比它到y轴的距离大2，则动点P的轨迹方程为（）Ay0By28xCy0或y28xDy2解：设动点P为（x，y），则|x|2，整理可得y24x+4|x|，当x0时，y28x；当x0时，y20，即y0，故选：D9已知正方体ABCDABCD的棱长为2，M、N分别
13、为侧面ADDA、BCCB的中心，则此正方体ABCDABCD的外接球被平面BMN所截的截面面积为（）A2B3CD解：如图，M、N分别为侧面ADDA、BCCB的中心，平面BMN即平面ABCD，由对称性可知，正方体ABCDABCD的外接球的球心为MN的中点，则正方体ABCDABCD的外接球被平面BMN所截的截面为球的一个大圆面，外接球的半径为，则截面面积为故选：B10设对于曲线f（x）exx上任一点处的切线l1，总存在曲线g（x）2ax+cosx上一点处的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围是（）ABCD解：根据题意，f（x）exx，其导数f（x）ex1，有f（x）1，则f（x）1，则（0，1
14、），由g（x）2ax+cosx，得g（x）2asinx，sinx1，1，2asinx1+2a，1+2a，要使过曲线f（x）exx上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）2ax+cosx上一点处的切线l2，使得l1l2，则有：，解得0实数a的取值范围是0，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上.11有一种益智推理游戏叫“找规律填数字”，按照规律“10”，“23”、“38”“415”，“524”，则“748”解：根据所给数据可得1011；2321；3831；.；nn1，故77148，故答案为：4812若实数x，y满足约束条件，则zx+4y的取
15、值范围是 2，+）解：由约束条件作出可行域如图，联立，A（，），由zx+4y，得y，由图可知，当直线y过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2zx+4y的取值范围是2，+）故答案为：2，+）13已知直线l：xy+t0（t0）与双曲线C：（a0，b0）两条渐近线分别交于A，B两点（A在第一象限，B在第二象限），若BAO30，则该双曲线的离心率为 解：直线l：xy+t0（t0）的斜率为1，则该直线的倾斜角为45，又BAO30，渐近线OA的倾斜角为45+3075，双曲线的离心率，故答案为：14已知函数f（x）exaeln（ex+a），若关于x的不等式f（x）0恒成立，则实数a的取值范围是 （，
16、0）解：【方法一：隐零点】f（x）exaeln（ex+a）的定义域为，显然f（x）在上单调递增，当时，f（x），当x+时 f（x）+，所以函数f（x）在上存在唯一零点x0，f（x0）0，当时，f（x）0，f（x）在上单调递减，当xx0时，f（x）0，f（x）在（x0，+）上单调递增，所以，由题意可得f（x）min0，即，因为，所以，因为yex+ex是增函数，所以x02x0x01，令g（x）e2xex，g（x）e2xe0，所以g（x）在R上单调递增，所以ag（x0）g（1）0，故a的取值范围为（，0）【方法二：反函数】，因为函数和函数yln（ex+a）互为反函数，因为互为反函数的两个函数图象关于
17、直线yx对称，所以恒成立，等价于，令h（x）exex，h（x）exe，当x1时，h（x）0，h（x）在（，1）上单调递减，当x1时，h（x）0，h（x）在（1，+）单调递增，所以h（x）minh（1）0，所以a0，故 a 的取值范围为 （，0）【方法三：同构】f（x）exaeln（ex+a）0ex+exex+a+eln（ex+a）ex+exeln（ex+a）eln（ex+a），令p（x）ex+x，所以p（x）p（ln（ex+a），由因为p（x）是增函数，所以xln（ex+a）aexex，下同方法一故答案为（，0）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题
18、，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分15已知命题p：函数f（x）（a3）x是R上的减函数；命题q：x2+ax+2a0对xR都成立若命题p和命题q中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围解：函数f（x）（a3）x是R上的减函数，0a31，解得3a4，x2+ax+2a0对xR都成立，0，即a4（2a）0，解得3a5，当命题p为真命题，q为假命题时，不等式组无解，当命题p为假命题，q为真命题时，解得4a5，实数a的取值范围是4，5）16正三角形的一个顶点位于抛物线y22px（p0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长解：因为抛物线y
19、22px（p0）关于x轴对称，设等边三角形的一个顶点C位于抛物线 的焦点，另外两个顶点A，B在抛物线上，所以两个顶点A，B关于x轴对称，所以设，甴于抛物线的焦点坐标为，所以等边三角形的边长为2|m|，高为，所以，解方程得，所以等边三角形的边长为17为了调研同学们的学习成绩与学习时长的关系，某个学习研究小组从该校高二年级随机抽取了20名学生，统计他们每天学习数学所用的大致时间，以1小时为分界线，恰好各占一半其中，每天学习数学时间少于1小时的记为A组，达到1小时及以上的记为B组，并把两组同学的数学成绩以茎叶图形式呈现，如图：（1）分别求出A，B两组同学的平均分及中位数；（2）若规定：不低于90分为
20、优秀，不低于75分为达标，75分以下为未达标，根据成绩：完成如下列联表：达标未达标合计A组B组10合计20判断是否有95%的把握认为“数学成绩达标与否”与“学习时长达到1小时”有关？（3）为了进一步进行研究，若从A，B两组达标的同学中各随机抽取1人，求至少有1人成绩达到优秀的概率参考公式及数据：，na+b+c+dP（K2k）0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）（65+68+73+74+75+80+85+86+95+99）80，A组的中位数为77.5，（67+75+77+85+85+88+89+90+9
21、5+99）85，B组的中位数为86.5；（2）列联表如下：达标未达标合计A组6410B组9110合计15520K22.43.841，故没有95%的把握认为“数学成绩达标与否”与“学习时长达到1小时”有关；（3）A，B两组达标的同学分别有6人，9人，达到优秀的同学分别有2人，3人；至少有1人成绩达到优秀的概率P+18已知函数f（x）x2+alnx，aR（1）当a4时，求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）f（x）+在1，e为单调减函数，求实数a的取值范围解：（1）当a4时，f（x）x2+4lnx，x（0，+），f（x）2x，令f（x）0，得x；令f（x）0，得0x所以f（x）的单调递增区间是
22、（，+），f（x）的单调递减区间是（0，）（2）g（x）x2+alnx+，g（x）2x+，若g（x）f（x）+在1，e为单调减函数，则g（x）0在1，e恒成立，即a2x在1，e恒成立，设h（x）2x，因为h（x）在1，e上单调递减，所以h（x）minh（e）2e，所以a2e，即实数a的取值范围是（，2e19已知椭圆E：1（ab0）的离心率为e，点在椭圆上（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆E的右焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，其中直线l1交椭圆于M，N两点直线l2交椭圆于P，Q，求M，N，P，Q这四点围成的四边形的面积的取值范围解：（1）因为椭圆的离心率为e，点在椭圆上，所以，解得a24，
23、b23，c21，所以椭圆的方程为+1（2）由（1）知椭圆E的右焦点F（1，0），当l1的斜率不存在或为0时，l1，l2两条直线有一条为椭圆的对称轴，过F且垂直于x轴的直线交椭圆于两点（1，），（1，），所以四边形MPNQ的面积S2a（）6当l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程为yk（x1），则l2的方程为y（x1），联立，得（3+4k2）x28k2x+4k2120，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2，x1x2，所以|MN|，同理可得|PQ|，所以S四边形MPNQ|MN|PQ|72666（1）6666，（当且仅当k1时，取“”），且S四边形MPNQ6，综上所述，M，N，P，
24、Q这四点围成的四边形的面积的取值范围为，6）（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程20在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，过点P（2，）作倾斜角为的直线l与交于M，N两点（1）写出l的参数方程及C的直角坐标方程；（2）求的取值范围解：（1）曲线C的参数方程为（为参数）消去参数转换为直角坐标方程为x2+y22，点P（2，）转换为直角坐标为（），过点P（2，）作倾斜角为的直线l的参数方程为（t为参数），（2）把直线的参数方程（t为参数），代入x2+y22，得到：，化简得：，所以，t1t22，直线l与交于M，N两点，所以，故选修4-5：不等式选讲21已知a，b为正数，函数f（x）|xa|+|x+b|的值域为1c，+）（1）若c1，证明：a+b2ab；（2）若c0，证明：【解答】证明：（1）f（x）|xa|+|x+b|（xa）（x+b）|a+b|，因为a0，b0，f（x）的值域为2，+），则有a+b2因为（当且仅当ab时取等号），所以a+b2ab（2）由题意可知a+b1c，即a+b+c1，根据基本不等式可知，同理，则有，当且仅当abc时等号成立，即
