1、2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1已知集合A1，2，3，4，集合B3，4，5，则AB 2函数yloga（2x1）+3（a0且a1）的图像恒过定点P，则点P的坐标是 3已知0，2），且与终边相同，则 4已知集合Ax|xa，Bx|x22x30，且BA，则实数a取值范围为 5若lg2a，lg3b，则log524 6已知x1，则实数x取值范围为 7已知tan2，则sincos+cos2+2sin2 8已知x+2y1，求+的最小值为 9“求方程1的解”有如下解题思路：设f（x），则yf（x）是R上的严格减函数，且f（2）1，所以原方程有唯一解x
2、2，类比上述解题思路，可得不等式x3（x2）2（x2）6x的解集为 10已知yf1（x）是yf（x）2x+x，x0，2的反函数，则函数yf（x）+f1（x）的最小值为 11已知，若a，b2，5，且当x1，x2a，b时，恒成立，则ba的最大值为 12定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）的曼哈顿距离为d（P，Q）|x1x2|+|y1y2|，若M表示到点A（1，3）、B（6，9）的曼哈顿距离相等的所有点C（x，y）的集合，其中x，y0，10，则点集M与坐标轴及直线x10所围成的图形的面积为 二、选择题13已知k，若yxk为奇函数，且在（0，+）上是增函数，则实数k的值是（）A1，3B，3CD1
3、4“a1”是“函数在区间（，1）上严格减”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件15已知f（x）ax2+bx+c（a0），若不等式f（x）0的解集为（，1）（，+），则不等式f（10x）0的解集为（）A（，1）（lg2，+）B（1，lg2）C（lg2，+）D（，lg2）16德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数yD（x），该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：D（D（x）0；对任意xR，恒有D（x）D（x）成立；任取一个不为零的有理数T，D（x+T）D（x）对任意实数x均成立；存在三个点A（x1，D（x1）、B（x2，D（x2）、
4、C（x3，D（x3），使得ABC为等边三角形；其中真命题的序号为（）ABCD三、解答题17已知（1）求的值；（2）若，终边经过P（3，4），求18已知函数f（x）|2xa|+a（1）当a2时，求不等式f（x）6的解集；（2）设函数g（x）|2x1|，当xR时，f（x）+g（x）3，求实数a的取值范围19某企业在现有设备下每日生产总成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式为：y2x2+（154k）x+128k+8，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为k万元，引进除尘设备后，当日产量x1时，总成本为142（1
5、）求k的值；（2）若每吨产品出厂价为48万元，那么引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？20已知函数f（x）32log2x，g（x）log2x（1）当x1，4时，求函数h（x）f（x）+1g（x）的值域；（2）给定nN，如果对任意的x2n，2n+1，不等式恒成立，求实数k的取值范围21对于任意yf（x），xD，若存在x0D，使得f（x0+1）f（x0）f（1），则称f（x）具有性质P记Mf（x）|f（x）具有性质P（1）判断f（x）lgx和g（x）2x+x2是否属于集合M；（2）设，求实数a的取值范围；（3）已知x（0，1时，f（x）8x28x+2；且对任意x（1，
6、1，都有f（x+1）f（x）f（1），令h（x）f（x）kx1，kR，试讨论函数yh（x），x（1，1的零点个数参考答案一、填空题1已知集合A1，2，3，4，集合B3，4，5，则AB3，4解：集合A1，2，3，4，集合B3，4，5，AB3，4故答案为：3，42函数yloga（2x1）+3（a0且a1）的图像恒过定点P，则点P的坐标是 （1，3）解：因为函数yloga（2x1）+3（a0且a1），当x1时，y3，所以函数的图象恒过定点P（1，3）故答案为：（1，3）3已知0，2），且与终边相同，则解：与终边相同，2k，k2时，0，2，故答案为：4已知集合Ax|xa，Bx|x22x30，且BA，则
7、实数a取值范围为 3，+）解：由x22x30，解得1x3，可得B（1，3）BAa3实数a的取值范围是3，+）故答案为3，+）5若lg2a，lg3b，则log524解：lg2a，lg3b，log524，故答案为：6已知x1，则实数x取值范围为 （，1）（0，1）解：当x0时，不等式化为，两边三次方得x41，解得0x1；当x0时，不等式化为，两边三次方得x41，解得x1故答案为：（，1）（0，1）7已知tan2，则sincos+cos2+2sin2解：因为tan2，所以sincos+cos2+2sin2故答案为：8已知x+2y1，求+的最小值为解：x+2y1，x，y0，+（x+2y）+，当且仅当x
8、y时取等号故答案为：9“求方程1的解”有如下解题思路：设f（x），则yf（x）是R上的严格减函数，且f（2）1，所以原方程有唯一解x2，类比上述解题思路，可得不等式x3（x2）2（x2）6x的解集为 （1，4）解：不等式式x3（x2）2（x2）6x变形为x3+x（x2）6+（x2）2，令ux，v（x2）2，则x3+x（x2）6+（x2）2u3+uv3+v；考察函数f（x）x3+x，知f（x）在R上为增函数，f（u）f（v），uv；不等式x3+x（x2）6+（x2）2可化为x（x2）2，解得1x4；不等式的解集为：（1，4）故答案为：（1，4）10已知yf1（x）是yf（x）2x+x，x0，2的
9、反函数，则函数yf（x）+f1（x）的最小值为 3解：因为y2x在0，2上为增函数，yx在0，2上为增函数，故f（x）2x+x在x0，2上为增函数，所以其值域为1，6，所以yf1（x）定义域为1，6，且在1，6上为增函数，因此yf（x）+f1（x）在1，6上为增函数，yf（x）+f1（x）的最小值为f（1）+f1（1）2+1+03故答案为：311已知，若a，b2，5，且当x1，x2a，b时，恒成立，则ba的最大值为 4解：a，b2，5，且x1，x2a，b，ab，恒成立，g（x）在区间a，b上单调递增，函数，g（x），当x2，0）时，g（x）+1，单调递增；当x（0，1时，g（x）1x，单调递减
10、；当x1，）时，g（x）x1，单调递增；当x，5时，g（x）+1，单调递增当a1，b5时，ba取得最大值为514故答案为：412定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）的曼哈顿距离为d（P，Q）|x1x2|+|y1y2|，若M表示到点A（1，3）、B（6，9）的曼哈顿距离相等的所有点C（x，y）的集合，其中x，y0，10，则点集M与坐标轴及直线x10所围成的图形的面积为 52.5解：由题意可知|x1|+|y3|x6|+|y9|，x，y0，10，当x1，y3时，1x+3y6x+9y，413，无解，当x1，3y9时，1x+y36x+9y，y8.5，当x1，y9时，1x+y36x+y9，23，无解
11、，当1x6，y3时，x1+3y6x+y9，x6.56，无解，当1x6，3y9时，x1+y36x+9y，x+y，当1x6，y9时，x1+y36x+y9，x1，无解，当x6，y3时，x1+3yx6+9y，27，无解，当x6，3y9时，x1+y3x6+9y，y，当x6，y9时，x1+y3x6+y9，415，无解，综上，符合条件线段有：x0，1，y8.5；x（1，6，y（3，9，x+y；x（6，10，y（3，9，y，如图所示：，图中阴影部分面积为所求面积，面积S18.5+（61）+（106）3.58.5+30+1452.5故答案为：52.5二、选择题13已知k，若yxk为奇函数，且在（0，+）上是增函
12、数，则实数k的值是（）A1，3B，3CD解：当k1时，yx1为奇函数，但在（0，+）上单调递减，不符合题意；当k2时，yx2为偶函数，不符合题意；当k时，y为非奇非偶函数，不符合题意；当k3时，yx3为奇函数，且在（0，+）上为增函数，符合题意；当k时，y为奇函数，且在（0，+）上为增函数，符合题意故实数k的值是3，故选：B14“a1”是“函数在区间（，1）上严格减”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：因为2+，所以当函数在区间（，1）上严格减时，有：2a0，即a2由于集合Aa|a1|Ba|a2，所以“a1”是“函数在区间（，1）上严格减”的充分不必要条件
13、，故选：A15已知f（x）ax2+bx+c（a0），若不等式f（x）0的解集为（，1）（，+），则不等式f（10x）0的解集为（）A（，1）（lg2，+）B（1，lg2）C（lg2，+）D（，lg2）解：不等式f（x）0的解集为（，1）（，+），二次函数yax2+bx+c与x轴的交点为（1，0），（，0）且a0，二次函数yax2+bx+c在（，+）上为减函数，10x0，f（10x）0f（），10x，xlglg2，不等式f（10x）0的解集为（，lg2）故选：D16德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数yD（x），该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：D（D（x）
14、0；对任意xR，恒有D（x）D（x）成立；任取一个不为零的有理数T，D（x+T）D（x）对任意实数x均成立；存在三个点A（x1，D（x1）、B（x2，D（x2）、C（x3，D（x3），使得ABC为等边三角形；其中真命题的序号为（）ABCD解：若x为有理数，则D（x）1是有理数，则D（D（x）1，若x为无理数，则D（x）0是有理数，则D（D（x）1；故错误，若x为有理数，则x为有理数，此时D（x）1，D（x）1，即D（x）D（x）成立，若x为无理数，则x为无理数，此时D（x）0，D（x）0，即D（x）D（x）成立，综上对任意xR，恒有D（x）D（x）成立；故正确，若x为有理数，则x+T为有理数，
15、此时D（x+T）1，D（x）1，即D（x+T）D（）成立，若x为无理数，则x+T为无理数，此时D（x+T）0，D（x）0，即D（x+T）D（x）成立，综上任取一个不为零的有理数T，D（x+T）D（x）对任意实数x均成立；故正确，对任意有理数x，存在三个点A（x，1）、B（x，0）、C（x+，0）是边长为的等边三角形，故正确，故选：C三、解答题17已知（1）求的值；（2）若，终边经过P（3，4），求解：（1）因为，所以两边平方，可得1+2sincos，所以sincos，所以cos（sin）（2）由（1）可得（sincos）212sincos，又，所以sincos0，可得sincos，又终边经过P
16、（3，4），所以cos，+18已知函数f（x）|2xa|+a（1）当a2时，求不等式f（x）6的解集；（2）设函数g（x）|2x1|，当xR时，f（x）+g（x）3，求实数a的取值范围解：（1）当a2时，f（x）|2x2|+2，f（x）6，|2x2|+26，|2x2|4，|x1|2，2x12，解得1x3，不等式f（x）6的解集为x|1x3（2）不等式f（x）+g（x）3可化为|2x1|+|2xa|3a，即，当a3时，原不等式成立当a3时，由绝对值三角不等式可得，平方得（a1）2（3a）2，解得2a3，实数a的取值范围是2，+）19某企业在现有设备下每日生产总成本y（单位：万元）与日产量x（单位
17、：吨）之间的函数关系式为：y2x2+（154k）x+128k+8，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为k万元，引进除尘设备后，当日产量x1时，总成本为142（1）求k的值；（2）若每吨产品出厂价为48万元，那么引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？解：（1）由题意可得，除尘后y2x2+（154k）x+120k+8+kx2x2+（153k）x+120k+8，当日产量x1时，总成本为142，2+153k+120k+8142，解得k1（2）由（1）y2x2+12x+128，总利润L48x（2x2+12
18、x+128）36x2x2128，（x0），每吨产品的利润 4，当且仅当时，即x8时，等号成立，除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元20已知函数f（x）32log2x，g（x）log2x（1）当x1，4时，求函数h（x）f（x）+1g（x）的值域；（2）给定nN，如果对任意的x2n，2n+1，不等式恒成立，求实数k的取值范围解：（1），x1，4，log2x0，2，函数h（x）的值域为0，2（2）由得（34log2x）（3log2x）klog2x，令tlog2x，x2n，2n+1，tlog2xn，n+1，（34t）（3t）kt对一切的tn，n+1恒成立，当n0时，若t0时，k
19、R；当t（0，1时，恒成立，即，函数在t（0，1单调递减，于是t1时取最小值2，此时x2，于是k（，2）；当n1时，此时t1，2时，恒成立，即，当且仅当，即时取等号，即的最小值为3，k（，3）；当n2时，此时tn，n+1时，k恒成立，即，函数在tn，n+1单调递增，于是tn时取最小值，此时x2n，于是由于4n15+在n2递增，可得4n15+3，综上可得，k的范围是（，3）21对于任意yf（x），xD，若存在x0D，使得f（x0+1）f（x0）f（1），则称f（x）具有性质P记Mf（x）|f（x）具有性质P（1）判断f（x）lgx和g（x）2x+x2是否属于集合M；（2）设，求实数a的取值范围；
20、（3）已知x（0，1时，f（x）8x28x+2；且对任意x（1，1，都有f（x+1）f（x）f（1），令h（x）f（x）kx1，kR，试讨论函数yh（x），x（1，1的零点个数解：（1）若假设f（x）M，则存在x00有lg（x0+1）lgx000x00与 x00矛盾，所以f（x）M，假设存在x0R，有易知x00是其解，所以g（x）M；（2）因为，所以存在xR有当a0，式是恒成立当a0，由式可以得到有解令t2x+1（1，+），则，所以，综上所述，；（3）任意x（1，0），x+1（0，1）x（1，0），且有f（x+1）f（x）f（1），则有，令x0得到f（1）f（0）f（1），又因为f（1）20，所以f（0）1，所以f（x），令h（x）f（x）kx10，当x0，h（0）0，所以x0是h（x）的零点，当x0时，kg（x），当x（0，1时，g（x）8x+848，其图象为：有图象易知，当k（，48）有1个零点，当k484，+）有2个零点，当k（48，0（1，4）有3个零点，当k（0，1，有4个零点
