1、 利用图解法求得线性规划问题的最优解一、课前准备1、课时目标：（1）知识与技能：了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解 、可行域或最优解等概念；（2）理解线性规划的图解法；（3）会利用图解法求线性目标函数的最优解.2、基础预探：（1）在平面直角坐标系中，动点运动范围受到一定限制，则称变量受到 约束（2）目标函数为，当时，将其变化为，说明直线在轴上的截距为 ，若，直线越往上移，截距 ，目标函数为的值就越大. （3）直线把直角坐标平面划分为两部分，其中一部分（半个平面）对应二元一次不等式 ，另一部分对应二元一次不等式 二、基本知识习题化1、若实数满足，则的取值范围是 （ ） A
2、 B C D2、约束条件为则目标函数（ ）A无最大值有最小值 B无最小值有最大值 C无最大值和最小值 D有最大值和最小值3、有5辆6吨汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为_4、若满足的约束条件为要使达到最大值，则= ，=_三、学习引领1、设目标函数为；当时，把直线向上平移时，所对应的随之增大；把向下平移时，所对应的随之减少.2.、在约束条件下，当时，求目标函数的最小值或最大值的步骤如下：作出可行域；作出直线确定的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；解相关方程组，求出最优解，从而取得目标函数的最小值或最大值.四、典例导析：例1、给定下列命题：在线性规划中1、
3、 最优解指的是使目标函数取得最大值的变量或的值；2、 最优解指的是目标函数的最大值或最小值；3、 最优解指的是目标函数取得最大值或最小值的可行域；4、 最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.其中正确命题的序号是_解析： 因为最优解是使目标是取得最大值（或最小值）的可行解，即满足相信约束条件的解，它是一个有序实数对，所以1,2,3均错，4正确，故选4.规律总结：解答这类有关线性规划概念的真假判定问题，其关键在于准确把握线性规划的有关概念，要注意的是：线性规划是指线性目标函数（关于变量一次函数）在线性约束条件（关于变量的一次不等式组）下的最值问题.变式练习1、在如图所示的坐标平面的可行
4、域内（包括边界的阴影部分），目标函数取得最小值的最优解有无数个，则的一个可能值为（ ）A. -3 B. 3 C. -1 D. 1 例2、图中阴影部分满足不等式组求使目标函数取得最大值的点的坐标.思路导析：画图将所求问题分成小区间，进而比较得出结果.解：依题作图，使目标函数取得最大值的点一定在边界或上取得.1、 当时，在上是减函数，所以当时，2、 当时，在上是减函数，所以当时，由1、2可知当时，最大，此时，所以所求的点的坐标为.规律总结：本解法是将二元一次函数转化为一元一次函数，然后利用函数单调性得解.变式练习2、已知变量满足不等式组求的最大值和最小值.例3、医院用甲、乙两张原料为手术后的病人配
5、营养餐.甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元，若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使用费最省？思路导析：将已知数据列成下表原料/10g蛋白质/单位铁质/单位甲510乙74费用32设甲、乙两种原料分别用10g和10g，则需要的费用为；病人每餐至少需要35单位蛋白质可表示为；同理，对铁质的要求可表示为，这样，问题成为在约束条件下，求目标函数的最小值.解： 设甲、乙两种原料分别用10g和10g，总费用为，那么目标函数为，作出可行域如右图.把变形为，得到斜率为，在轴上的截距
6、为随变化的一组平行直线.由图可知，当直线经过可行域上的点时，截距最小，即最小. 由得，所以所以甲种原料使用，乙种原料使用时，费用最省.规律总结：解决此问题的关键是将问题的文字语言转换成数学语言，此题通过表格将数据进行处理，使问题难度大大降低.变式练习3、某工厂有一批长为2.5m的长形钢材，要截成60cm和42cm 两种规格的零件毛坯，找出下料的最佳方案，并计算材料的利用率.五、随堂练习：1、设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）4 11 12 142、设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）A.2 B. 3 C.4 D. 53、设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）A-2 B-
7、4 C-6 D-84、设变量满足约束条件则目标函数的最小值为 5、设变量满足约束条件则目标函数的最小值为 6、设变量满足约束条件求目标函数的最大值.六、课后作业：1、设变量满足约束条件则的取值范围为（ ） A B C D2、设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）A B C D3、设是不等式组所表示的平面区域，则中的点到直线距离的最大值为 4、变量满足约束条件则的取值范围为_5、设变量满足约束条件则目标函数的最小值为？6、设变量满足约束条件则目标函数的最小值为？答案：一（1）条件（2） ，越大（3），二1 C解析： 依题意作图，找到可行域，所求即为过点和原点的直线的斜率的取值范围。2A 解
8、析：根据题意作出可行域，可行域无上界，即可得到答案. 3.44,2解析：依题意作图，找到可行域，由得作出与平行的，可得到当直线过点（4,2）是，最大，所以.四 变式训练1： 目标函数取最小值即取最小值，目标函数可变为，取最小值由的符号决定.当时，在点取得最小值，与最优解有无数个矛盾，当时，由图可知，目标函数的斜率与的斜率相等，取最小值的最优解有无数个，即，故选变式训练2： 由题意作出可行域如图，可知，当在的右上方时，直线上的点满足，即，而且直线往右平移时，随之增大，在经过不等式组表示的区域内的点且平行于的直线中，以经过点的直线所对应的最大，以经过点的直线所对应的最小，所以.变式训练3： 设钢材
9、可截成60cm的毛坯根，42cm的毛坯根，截得毛坯的总长度为，根据题意可得且，作出可行域如图因为要截得的两种毛坯数必须是整数，所以以的解为坐标的点一定是第一象限内可行域与网格的交点.如果直线与网格有交点，那么按交点坐标的值作为下料方案，这时材料全被利用，因此这个方案是最佳方案.但由图象可知，直线不能过网格的交点，在这种情况下，应该找靠近直线的网格的交点.当直线的右上方的半平面内找网格交点时，网格交点坐标都使，这时两种零件毛坯长度的和超过了原钢材的长度，问题的最优解不可能在这个区域内，所以下料范围只能限制在表示的可行域内，在直线的左半平面上找靠近直线的网格交点，得，所以钢材截成60cm的毛坯2根
10、，42cm的毛坯3根，材料尽管没有完全被利用，但废料最少，此时材料的利用率为98.4%.所以钢材截成60cm的毛坯2根，42cm的毛坯3根是下料的最佳方案，并且材料的利用率为98.4%.五1.B解析：只需画出线性规划区域如图，可知，在处取得最大值11.2 .D解析：如图，由得，目标函数在点处取得最大值，即。3. D解析：作出可行域如图，令=0，则，平移在点处取到最小值-8.4. 解析：如图，在处取得最小值，解得，代入得5. 解析：如图，在处取得最小值，解得，代入得6. 依题意作出可行域，做直线，即，将此直线向右上方平移，当恰好与直线BC重合时，与原点的距离最大，从而，此时BC边上的每一点的坐标都是最优解，因此最优解的个数有无穷多个，而它们对应的目标函数的值都是135.六1D解析： 依题意作图，找到可行域，所求即为过点和原点的直线的斜率的取值范围。2.D 解析：依题意作出可行域，即点与可行域上点间距离的平方，显然长度最小，所以3. 解析:不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，则点到直线的距离最大，4. 解析：如图，画出可行域，求得，根据目标函数的几何意义是可行域上一点与点连线的斜率，可求得目标函数的最小值-1，最大值，故的取值范围是5.解析：如图，阴影部分表示可行域，即为可行域中的点到的距离，其最小值即为，所以6. 3 解析：作出可行域，由得，目标函数在点处取得最小值，即。
