1、江苏省2013届高三最新数学（精选试题26套）分类汇编7：立体几何一、填空题 （江苏省常州市武进高级中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷doc）已知直线l,m和平面,有下列四个命题:若lm,m,则l;若l,m,则lm;若lm,l,则m;若l,m,则lm.则所有正确命题的序号是_.【答案】 （江苏省2013届高三高考压轴数学试题）在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60,则该三棱锥外接球的体积为_.【答案】 （江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）已知一个圆锥的底面圆的半径为1,体积为,则该圆锥的侧面积为_. 【答案】 （江苏省
2、西亭高级中学2013届高三数学终考卷）已知直线m,n，平面,，且m,n，给出下列四个命题：若，则mn;若mn ，则；若，则mn 若mn，则，其中正确命题的序号为 . 【答案】 （江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为,则四面体的外接球的体积为_.【答案】 （江苏省西亭高级中学2013届高三数学终考卷）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是 . 【答案】 （江苏省启东中学2013届高三综合训练（1
3、）将一个长宽分别是的铁皮的四角切去相同的正方形,然后折成一个无盖的长方体的盒子,若这个长方体的外接球的体积存在最小值,则的取值范围是_.【答案】; （江苏省南通市海门中学2013届高三下学期5月月考数学试卷）已知球的面上有四点,平面,则球的体积与表面积的比为_. 【答案】 （江苏省常州高级中学2013年高考数学模拟试卷）设正四棱锥的侧棱长为1,则其体积的最大值为_.【答案】 设正四棱锥的底面边长为,则体积,记,利用导数可求得当时,此时; （2013年江苏省高考数学押题试卷 ）在平面几何里,有勾股定理:“设ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间,类比平面几何里的勾
4、股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系,可以得到的正确的结论是“设三棱A-BCD的侧面ABC, ACD, ADB两两互相垂直,则有_.【答案】SBCD2=SABC2+SACD2+SABD2. （江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）设表示两条直线,表示两个平面,现给出下列命题: 若,则; 若,则; 若,则; 若,则.其中正确的命题是_ .(写出所有正确命题的序号)【答案】 （江苏省常州市金坛市第一中学2013年高考冲刺模拟试卷）设.是三个不同的平面,a.b是两条不同的直线,给出下列4个命题:若a,b,则ab; 若a,b,ab,则;若a,b,ab,则;若a.b在平面
5、内的射影互相垂直,则ab.其中正确命题的序号是_. 【答案】; （南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）已知正方体的外接球的体积是,则此正方体的棱长为_.【答案】 （江苏省南通市通州区姜灶中学2013届高三5月高考模拟数学试题 ）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且;则此棱锥的体积为_【答案】 （江苏省常州市第二中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷doc）设是不同的直线,、是不同的平面,有以下四个命题;其中正确的命题是_.【答案】 （江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）有一个正四面体的棱长为,现用一张圆形的包装纸将其完全包住(不能裁剪纸,但可
6、以折叠),那么包装纸的最小半径为_. 【答案】 （2013年江苏省高考数学押题试卷 ）从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点,这4个顶点可能是(1)矩形的4个顶点;(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点;(2)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点;(4)有三个面是等腰直角三角形,有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点.其中正确的结论有_个.【答案】填4. 四边形ABCD适合(1), 四面体ACB1D1适合(2), DB1C1D1适合(3), DA1C1D1适合(4),因此正确的结论有4个. （江苏省常州市金坛市第一中学2013年高考冲刺模拟试卷）由曲线围成的
7、图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为;满足的点组成的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为,则=_【答案】 4 （江苏省常州市华罗庚高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2pr,二维测度(面积)S=pr2;三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4pr2,三维测度(体积)V=pr3.应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度V=8pr3,则其四维测度W=_.【答案】2pr4 （武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）已知,是三个互不重合的平面,是一条直线,给出下列四个命题:若,则; 若,则;若上有两个点到的距离相等,则; 若,则.其中正确命题的序号是 _
8、.【答案】解析: （江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）设是球表面上的四个点,两两垂直,则球的体积为_.【答案】 （江苏省常州市华罗庚高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）已知正方形ABCD的边长为2,E,F分别为BC,DC的中点,沿AE,EF,AF折成一个四面体,使B,C,D三点重合,则这个四面体的体积为_.【答案】 （武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）具有如下性质:如果为的中线,则它们必定交于一点,请把这个类比推广到四面体,则有性质_.【答案】解析:如果分别四面体的四个面的重心,则必定交于一点. （江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）已知圆锥的母线长
9、为,侧面积为,则此圆锥的体积为_.【答案】 二、解答题（2013年江苏省高考数学押题试卷 ）【必做题】正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P,Q分别是直线BD1, AC上的动点,且PQ与BD1, AC都垂直, 则称线段PQ是异面直线BD1与 AC的公垂线段.(1)求直线BD1与平面ACD1所成角的正弦值;(2)求异面直线BD1与 AC的公垂线段PQ的长; (3)求二面角B-CD1-A的余弦值.【答案】解 如图,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz, 则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0, 0), A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1 (0,1,1
10、),D1 (0,0,1), (1)连结B1D, 则=(-1,1,0), =(-1,0,1), =(1,1,1), 因为=0,所以,又=A,从而由直线与平面垂直的判断定理得DB1平面D1, 从而是平面D1的法向量.又=(1,1,-1),所以cos=,从而直线BD1与平面ACD1所成角的正弦值为.(2)设=l, =m, 其中0l,m1.不难得到Q(1-l,l,0),P(1-m,1-m,m),=(l-m,1-l-m,m),由于PQ是异面直线BD1与 AC的公垂线,所以即解得所以, =(,), |=.(3)由(1)知=(1,1,1)是平面D1的法向量, 显然=(0,1,1)是平面BCD1的法向量,由于
11、cos=,所以二面角B-CD1-A的余弦值为.（江苏省常州市第二中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷doc）如图,在长方体中,点在棱的延长线上,且.()求证:平面;()求证:平面平面;()求四面体的体积.BEADC【答案】解:()证明:连 四边形是平行四边形 则 又平面,平面/平面 ()由已知得则 由长方体的特征可知:平面而平面, 则 平面 又平面 平面平面 ()四面体D1B1AC的体积 （江苏省常州市金坛市第一中学2013年高考冲刺模拟试卷）如图5所示,在四棱锥中,平面,是的中点,是上的点且,为中边上的高.(1)证明:平面;(2)若,求三棱锥的体积;(3)证明:平面.【答案】(1)证明
12、:因为平面, 所以. 因为为中边上的高, 所以. 因为, 所以平面. (2)连结,取中点,连结. 因为是的中点, 所以. 因为平面,所以平面. 则, . (3)证明:取中点,连结,. 因为是的中点,所以.因为, 所以,所以四边形是平行四边形, 所以.因为, 所以. 因为平面,所以. 因为,所以平面,所以平面. （江苏省常州市华罗庚高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,BD面PAC,AC=10,PA=6,cosPCA=,M是PC的中点.()证明PC平面BMD;()若三棱锥M-BCD的体积为14,求菱形ABCD的边长.【答案】 又 （江苏省扬州市2
13、013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AD平面A1BC,其垂足D落在直线A1B上. (1)求证:平面A1BC平面ABB1A1;(2)若,AB=BC=2,P为AC中点,求三棱锥的体积.【答案】证:直三棱柱ABC-A1B1C1中,A A1平面ABC, A A1BC, AD平面A1BC, ADBC, A A1 ,AD为平面ABB1A1内两相交直线, BC平面ABB1A1, 又平面A1BC, 平面A1BC平面ABB1A1 (2) 由等积变换得, 在直角三角形中,由射影定理()知, , 三棱锥的高为 又底面积 = 法二:连接,取中点,连接,P为AC中点,
14、 , 由(1)AD平面A1BC,平面A1BC, 为三棱锥P- A1BC的高, 由(1)BC平面ABB1A1 , , （江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）如图,在四棱锥中,为的中点.求证:(1)平面;(2)平面.D CB AE P（第15题图）目【答案】证明:(1)取中点,连结,为中点,且=.且,且=.四边形为平行四边形. . 平面,平面, 平面. FPEABCD（第15题图） (2),平面.平面,. ,为的中点,.,平面. （江苏省常州市金坛四中2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）如图,长方体中,点在上且,过点 的平面截长方体,截面为(在上).(1)求的长度;(2)求点C到截
15、面的距离.D1C1CFAA1BB1DE【答案】解:(1)以D为坐标原点,DA为x轴建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,利用向量,可得,故; (2)可求为平面的一个法向量,又,故点C到平面的距离为 （江苏省启东中学2013届高三综合训练（2）如图,在六面体中,平面平面,平面,且,.(1)求证:平面平面;(2)求证:平面;(3)求三棱锥的体积.【答案】解:(1)平面平面,平面平面, 平面平面 ., 为平行四边形,. 平面,平面, 平面,平面平面. (2)取的中点为,连接、,则由已知条件易证四边形是平行四边形,又, 四边形是平行四边形,即, 又平面 故 平面. (3)平面平面,则F到面ABC的距离
16、为AD. =. （江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）如图,在四棱锥中,平面,四边形是平行四边形,且,分别是,的中点.(1)求证:平面;(2)若,垂足为,求证:.（第16题图）【答案】(1)取的中点,连结, （第16题图） 因为是的中点,所以, 又因为是中点,所以, 因为四边形是平行四边形; 所以,所以, 所以四边形是平行四边形, 所以.因为平面, 平面, 所以平面 (2)因为平面,平面, 所以,又因为, 平面,平面, 所以平面,又平面, 所以 又,平面,平面, 所以平面,又平面,所以, 又,是中点,所以, 又,平面,平面,所以平面, 又平面,所以 来源:学,科,网（江苏省常州市戴埠高
17、级中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷）如图,在四棱锥中,平面平面,分别是的中点,求证:(1)直线平面; (2)平面平面.【答案】解析 (1)证明即可 (2)证明即可,运用面面垂直的性质定理得,从而得 平面平面 （2013年江苏省高考数学押题试卷 ）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是菱形,四边形BCC1B1是矩形,C1B1AB,且C1B1=3,AB=4,ABB1=60o.(1)求证:平面CA1B平面A1AB;(2)求直线AC1与平面BCC1所成的角的正弦;(3)求三棱锥A1-BCC1的体积.来源:Zxxk.Com来源:学|科|网Z|X|X|K【答案】(1) 在三棱
18、柱ABC-A1B1C1中, C1B1CB, 所以CBAB, 又因为CBB1B, ABB1B=B, 所以CB平面A1AB, 因为CB平面CA1B, 所以平面CA1B平面A1AB; (2)由C1B1平面A1AB, 得平面A1AB平面BCC1. 过A作AH平面BCC1, H为垂足, 则H在B1B上, 连接C1H, 则AC1H为直线AC1与平面BCC1所成的角. 连接AB1, 由四边形A1ABB1是菱形, ABB1=60o,可知ABB1为等边三角形, 而H是BB1的中点, 又AB1=4, AH=2, 于是在直角C1B1A中, AC1=5,在直角AH C1中, sinA C1H=, 因此, 直线AC1与
19、平面BCC1所成的角的正弦等于. (3)因为四边形BCC1B1是矩形,C1B1=3,ABB1为等边三角形,所以BB1=4, 所以BCC1的面积为34=6, 由(2) AH平面BCC1, AH=2,所以三棱锥A1-BCC1的体积V=BCC1的面积AH=4. （江苏省2013届高三高考压轴数学试题）如图,已知空间四边形中,是的中点.AEDBCG求证:(1)平面CDE;(2)平面平面. (3)若G为的重心,试在线段AE上确定一点F, 使得GF/平面CDE.【答案】 （江苏省南通市海门中学2013届高三下学期5月月考数学试卷）如图,在多面体中,平面平面, 平面,.且 , .()求证:平面;()求证:平
20、面;ABCDEGF【答案】解:()平面平面,平面平面ABCDEGFM,平面平面, 又四边形为平行四边形, 面平面 ()设的中点为,连接,则, ,四边形是平行四边形 ,由()知,为平行四边形, 四边形是平行四边形, 即,又平面,故 平面; （武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）如图,分别是直角三角形边和的中点,沿将三角形折成如图所示的锐二面角,若为线段中点.求证:(1)直线平面; (2)平面平面.【答案】解析:(1)因为是菱形,所以是的中点,又是的中点,所以. 因为平面,平面,所以平面. (2)因为平面,平面,所以,又因为是菱形,所以,因为,所以平面,又因为平面,所以平面平面. （江苏省西亭
21、高级中学2013届高三数学终考卷）如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，ABC=900,平面PAB平面ABC，D、E分别为AB、AC中点.（）求证：DE平面PBC; （）求证：ABPE；【答案】【答案】解：（） D、E分别为AB、AC中点，来源:Zxxk.ComDE/BC DE平面PBC，BC平面PBC，DE/平面PBC 6分（）连结PD， PA=PB， PD AB .8分，BC AB， DE AB.10分又 ， AB平面PDE.12分PE平面PDE， ABPE .14分（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,AB=BC=
22、,BB1=3,D为A1C1的中点,F在线段AA1上.(1)AF为何值时,CF平面B1DF?(2)设AF=1,求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.ABCC1B1A1FD 2013江苏省高考压轴【答案】(1)因为直三棱柱ABC-A1B1C1中,以B点为原点,BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系. ABCC1B1A1FDxyz 因为AC=2,ABC=90,所以AB=BC=, 从而B(0,0,0),A,C,B1(0,0,3),A1,C1,D,E. 所以, 设AF=x,则F(,0,x), . ,所以 要使CF平面B1DF,只需CFB1F. 由=2+x(x-3)=0
23、,得x=1或x=2, 故当AF=1或2时,CF平面B1DF. (2)由(1)知平面ABC的法向量为n1=(0,0,1). 设平面B1CF的法向量为,则由得 令z=1得, 所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值 （江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）ABCDABCD先阅读：如图，设梯形ABCD的上、下底边的长分别是a，b（ab），高为h，求梯形的面积DACB方法一：延长DA、CB交于点O，过点O作CD的垂线分别交AB、CD于E，F，则设即方法二：作AB的平行线MN分别交AD、BC于M、N，过点A作BC的平行线AQ分别交MN、DC于P、Q，则设梯形AMNB的高为，再
24、解下面的问题：已知四棱台ABCDABCD的上、下底面的面积分别是，棱台的高为h，类比以上两种方法，分别求出棱台的体积（棱锥的体积=底面积高）【答案】解法一：将四棱台ABCDABCD补为四棱锥VABCD，设点V到面ABCD的距离为h由即所以，所以四棱台ABCDABCD的体积为 5分解法二：作一与上下底面平行的平面截得四边形的面积为S，它与上底面的距离为x，10分（江苏省南通市通州区姜灶中学2013届高三5月高考模拟数学试题 ）如图,直三棱柱中,=1,是棱的中点,(1)证明: (2)求三棱柱C-BCD的体积【答案】,(1)在中, 得: 同理: 得:面 (2)1/3 （江苏省启东中学2013届高三综
25、合训练（3）如图,四边形ABCD是矩形,平面ABCD平面BCE,BEEC.(1) 求证:平面AEC平面ABE;(2) 点F在BE上,若DE平面ACF,求的值.【答案】解:(1)证明:因为ABCD为矩形,所以ABBC; 第16题图 又因为平面ABCD平面BCE,且平面ABCD平面BCE=BC,AB面ABCD, 所以AB平面BCE, 因为CE平面BCE,所以CEAB 又因为CEBE,AB面ABE,BE 面ABE,ABBE=B, 来源:Z|xx|k.Com所以CE面ABE 又CE平面AEC,所以平面AEC平面ABE; (2)连结BD交AC于点O,连结OF, 因为DE平面ACF,DE平面BDE,平面A
26、CF平面BDF=OF, 所以DEOF, 又因为矩形ABCD中,O为BD中点, 所以F为BE的中点,从而BF:BE=1:2 （江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）如图,在矩形ABCD中,AD=2,AB=4,E,F分别为边AB,AD的中点.现将ADE沿DE折起,得四棱锥A-BCDE.(1)求证:EF平面ABC;(2)若平面ADE平面BCDE,求四面体FDCE的体积.A（第16题图）ABCDEFBCDEF【答案】证明:(1)取线段AC的中点M,连结MF、MB.因为F为AD的中点, MABCDEF 所以MFCD,且MF=CD 在折叠前,四边形ABCD为矩形,E为AB的中点, 所以BECD,
27、且BE=CD. 所以MFBE,且MF=BE 所以四边形BEFM为平行四边形,故EFBM. 又EF平面ABC,BM平面ABC, 所以EF平面ABC (2)在折叠前,四边形ABCD为矩形,AD=2,AB=4,E为AB的中点, 所以ADE、CBE都是等腰直角三角形,且AD=AE=EB=BC=2. 所以DEA=CEB=45,且DE=EC=2. 又DEA+DEC+CEB=180, 所以DEC=90. 又平面ADE平面BCDE, 平面ADE平面BCDE=DE,CE平面BCDE, 所以CE平面ADE,即CE为三棱锥C-EFD的高 因为F为AD的中点, 所以SEFD=ADAE=22=1. 所以四面体FDCE的
28、体积V=SEFDCE=12= （南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）如图,在四棱锥P-ABCD中,BA平面PAD,AP=AD,DC/AB,DC=2AB,E是棱PD的中点.(1)求证:AE/平面PBC; (2)求证:平面PBC平面PDC.来源:学科网ZXXK（第16题）【答案】证明(1)取PC中点F,连结BF,EF. （第16题） 因为点E、F分别为棱PD、PC的中点, 所以EF/DC,且EF=DC. 又AB/ DC,且AB=DC,所以EF/AB,且EF=AB. 于是,四边形ABFE为平行四边形,故有AE/BF. 又因为AE平面PBC,BF平面PBC,所以AE/平面PBC. (2)在PAD
29、中,因为AP=AD,且E为PD的中点,所以AEPD. 因为AB平面PAD,DC/AB,所以DC平面PAD. 又AE平面PAD,所以DCAE. 所以,由AEPD,DCAE, PDDC=D,PD、DC平面PCD, 得到AE平面PCD. 又BF/AE,所以BF平面PCD. 又因为BF平面PBC, 所以,平面PBC平面PDC （江苏省2013届高三高考压轴数学试题）如图所示,已知边长为米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中米,米.为了合理利用这块钢板,将在五边形内截取一个矩形块,使点在边上.()设米,米,将表示成的函数,求该函数的解析式及定义域;()求矩形面积的最大值.【答案】 （南京师大附中2013届高
30、三模拟考试5月卷）【必做题】 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAAC,AB=AC=A1B=2,顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B.(1)求异面直线AA1与BC所成角的大小;(2)在棱B1C1上确定一点P,使AP=,并求出二面角P-AB-A1的平面角的余弦值.（第22题）【答案】【必做题】 解(1)建立如图所示的空间直角坐标系, （第22题） 则C(0, 2, 0),B(2, 0 , 0),A1(0,-2, 2),B1(4, 0 , 2). 从而,=(0,-2, 2),=(-2, 2, 0). 记与的夹角为,则有 cos=-. 又由异面直线AA1与BC所成角的范围为(0,),可得异面直
31、线AA1与BC所成的角 为60 (2)记平面PAB和平面ABA1的法向量分别为m和n,则由题设可令m=(x, y, z),且有平面ABA1的法向量为n=(0,2,0). 设=(-2, 2, 0),则P(4-2, 2, 2). 于是AP=,解得=或=. 又题设可知(0, 1),则=舍去,故有=. 从而,P为棱B1C1的中点,则坐标为P(3, 1, 2) 由平面PAB的法向量为m,故m且m. 由m=0,即(x, y, z)(3, 1 ,2)=0,解得3x+y+2z=0; 由m=0,即(x, y, z)(-1,-1,-2)=0,解得-x-y-2z=0, 解方程、可得,x=0,y+2z=0,令y=-2
32、,z=1, 则有m=(0,-2, 1) 记平面PAB和平面ABA1所成的角为, 则cos=-. 故二面角P-AB-A1的平面角的余弦值是 （江苏省常州高级中学2013年高考数学模拟试卷）如图,在四面体ABCD中,点E是BC来源:学科网ZXXK的中点,点F在线段AC上,且.(1)若EF平面ABD,求实数的值;(2)求证:平面BCD平面AED.【答案】命题立意:本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象与推理论证能力. （第16题图）EABCDF 解:(1)因为EF平面ABD,易得平面ABC, 平面ABC平面ABD, 所以, 又点E是BC的中点,点F在线段AC上, 所以点F为AC的
33、中点, 由得; (2)因为,点E是BC的中点, 所以, 又,平面AED, 所以平面AED, 而平面BCD, 所以平面BCD平面AED. （江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）如图,空间几何体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,直角梯形ADFE所在平面与面ABCD垂直,且AEAD,EF/AD,其中P,Q分别为棱BE,DF的中点.(1)求证:BDCE;(2)求证:PQ平面ABCD.ABCDEFPQ(第16题)【答案】 （江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）如图,在四棱锥中,四边形是菱形,为的中点.(1)求证:面;(2)求证:平面平面.CABDPE第16题
34、【答案】(1)证明:设,连接EO,因为O,E分别是BD,PB的中点,所以 而,所以面 (2)连接PO,因为,所以,又四边形是菱形,所以 而面,面,所以面 又面,所以面面 （江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）如图,在四棱锥P-ABCD中,PD面ABCD,ADBC,CD=13,AB=12,BC=10,AD= BC. 点E、F分别是棱PB、边CD的中点. (1)求证:AB面PAD;(2)求证:EF面PAD.【答案】证明:(1)因为PD面ABCD, 所以PDAB 在平面ABCD中,D作DM/AB,则由AB=12得 DM=12. 又BC=10,AD=BC,则AD=5,从而CM=
35、5. 于是在CDM中,CD=13,DM=12,CM=5,则 由及勾股定理逆定理得DMBC . 又DM/AB,BC/AD,所以ADAB. 又PDAD=D,所以AB面PAD (2)证法一 取AB的中点N,连结EN、FN. 因为点E是棱PB的中点,所以在ABP中,EN/PA. 又PA面PAD,所以EN/面PAD 因为点F分别是边CD的中点,所以在梯形ABCD中,FN/AD. 又AD面PAD,所以FN/面PAD 又ENFN=N,PADA=A,所以面EFN/面PAD 又EF面EFN,则EF/面PAD 证法二 延长CD,BA交于点G. 连接PG,EG,EG与PA交于点Q. 由题设ADBC,且AD= BC,
36、所以CD=DG,BA =AG,即点A为BG的中点. 又因为点E为棱PB的中点,所以EA为BPG的中位线,即EAPG,且EA:PG=1:2,故有EA:PG=EQ:QG=1:2 又F是边CD的中点,并由CD=DG,则有FD:DG =1:2 在GFE中,由于EQ:QG=1:2,FD:DG=1:2,所以EFDQ. 又EF面PAD,而DQ面PAD,所以EF面PAD （江苏省常州市武进高级中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷doc）如图,在菱形中, 平面,且四边形是平行四边形.()求证:;()当点在的什么位置时,使得平面,并加以证明.ABCDENM【答案】解:()连结,则. 由已知平面, 因为, 所以
37、平面. 又因为平面, ABCDENMF 所以. ()当为的中点时,有平面. 与交于,连结. 由已知可得四边形是平行四边形, 是的中点, 因为是的中点, 所以. 又平面, 平面, 所以平面. （江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点D在边BC上,ADC1D. (1)求证:AD平面BC C1 B1; (2)设E是B1C1上的一点,当的值为多少时, A1E平面ADC1?请给出证明.B1A1ABCC1D【答案】解: (1)在正三棱柱中,C C1平面ABC,AD平面ABC, B1A1ABCC1D ADC C1 又ADC1D,C C1交C1D于C
38、1,且C C1和C1D都在面BC C1 B1内, AD面BC C1 B1 来源:学科网ZXXK(2)由(1),得ADBC.在正三角形ABC中,D是BC的中点 当,即E为B1C1的中点时,A1E平面ADC1 事实上,正三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形BC C1 B1是矩形,且D、E分别是BC、B1C1的中点,所以B1BDE,B1B= DE 又B1BAA1,且B1B=AA1, DEAA1,且DE=AA1 所以四边形ADE A1为平行四边形,所以E A1AD. 而E A1面AD C1内,故A1E平面AD C1 （江苏省常州市金坛四中2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）如图,面ABEF面ABCD
39、,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,BAD=FAB=90,BCAD,BEAF,G、H分别是FA、FD的中点.()证明:四边形BCHG是平行四边形;()C、D、E、F四点是否共面?为什么?()设AB=BE,证明:平面ADE平面CDE.GHFEDCBA【答案】()由题意知,所以 又,故所以四边形是平行四边形. ()四点共面.理由如下: 由,是的中点知,所以 由()知,所以,故共面.又点在直线上 所以四点共面. ()连结,由,及知是正方形 故.由题设知两两垂直,故平面, 因此是在平面内的射影,根据三垂线定理, 又,所以平面 由()知,所以平面. 由()知平面,故平面,得平面平面 （江苏省南
40、通市通州区姜灶中学2013届高三5月高考模拟数学试题 ）某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为千米(忽略内、外环线长度差异).(1)当列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为分钟,求内环线列车的最小平均速度; (2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为千米/小时,外环线列车平均速度为千米/小时.现内、外环线共有列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过分钟,问:内、外环线应名投入几列列车运行?【答案】解:(1)设内环线列车运行的平均速度为千米/小时,由题意可知, 所以,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,列车的最小平均速度是20千米/小时. (
41、2)设内环线投入列列车运行,则外环线投入列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间分别为分钟,则 又,所以,所以当内环线投入10列,外环线投入8列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1分钟. （江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）【必做题】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,AA1=6,点E、F分别在棱BB1、CC1上,且BE=BB1,C1F=CC1.(1)求异面直线AE与A1 F所成角的大小;(2)求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值. 【答案】解:(1)建立如图所示的直角坐标系,则 ,从而 , 记与的夹角为,则有 . 又由
42、异面直线与所成角的范围为,可得异面直线与所成的角为60 (2)记平面和平面的法向量分别为n和m,则由题设可令,且有平面的法向量为, ,. 由,得;由,得. 所以,即 记平面与平面所成的角为,有. 由题意可知为锐角,所以 （江苏省启东中学2013届高三综合训练（1）在直三棱柱中,AC=4,CB=2,AA1=2,E、F分别是来源:学。科。网的中点.(1)证明:平面平面;(2)证明:平面ABE;(3)设P是BE的中点,求三棱锥的体积.ABCEFP【答案】(1)证明:在,AC=2BC=4, , 由已知, 又 (2)证明:取AC的中点M,连结 在, 来源:学.科.网而,直线FM/平面ABE 在矩形中,E、M都是中点, 而,直线 又 故 (或解:取AB的中点G,连结FG,EG,证明 EG,从而得证) (3)取的中点,连结,则且, 由(1), P是BE的中点,
