1、第五节指数与指数函数学习要求:1.掌握指数幂的运算性质.2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.3.能画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.1.指数幂的概念(1)根式的概念方根的概念符号表示备注如果 xn=a ,n1,nN*,那么x叫做a的n次方根当n为奇数时,正数的n次方根是一个 正数 ,负数的n次方根是一个 负数 na0的n次方根是0当n为偶数时,正数的n次方根有 两个 ,它们互为 相反数 na负数没有偶次方根(2)两个重要公式nan=a,n为奇数,|a|=a(a0),-a(a0,m,nN*,n1),a-mn=1amn =1nam(a0,m,nN
2、*,n1).(2)0的分数指数幂0的正分数指数幂是 0 ,0的负分数指数幂无意义.(3)有理数指数幂的运算法则(i)aras= ar+s (a0,r,sQ).(ii)(ar)s= ars (a0,r,sQ).(iii)(ab)r= arbr (a0,b0,rQ).3.指数函数的图象与性质a10a0时, y1 ;当x0时, 0y0时, 0y1 ;当x1 在(-,+)上是 增函数 在(-,+)上是 减函数 提醒(1)当指数函数的底数a的大小不确定时,需分a1和0ad1ab0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a0,且a1)的图象越高,底数越大.1.判断正误(正确的打“”,错误
3、的打“”).(1)nan=(na)n=a.()(2)(-1)24=(-1)12=-1.()(3)函数y=a-x(a0,且a1)是R上的增函数.()(4)函数y=2x-1是指数函数.()(5)若am0,且a1),则m0,将a2a3a2表示成分数指数幂,其结果是()A.a12B.a56C.a76D.a32答案C3.(新教材人教A版必修第一册P115T2改编)若函数f(x)=ax(a0,且a1)的图象经过点2,13,则f(-1)=()A.1B.2C.3D.3答案C4.(新教材人教A版必修第一册P115T3改编)某种产品的产量原来是a件,在今后m年内,计划使每年的产量比上一年增加p%,则该产品的产量y
4、随年数x变化的函数解析式为()A.y=a(1+p%)x(0xm)B.y=a(1+p%)x(0xm,xN)C.y=a(1+xp%)(0x0,a1)在区间1,2上的最大值是最小值的2倍,则a的值是()A.12或2B.12或2C.12 D.2答案B根式、指数式的化简与求值1.0.027-13-17-2+27912-(2-1)0=.答案-45解析0.027-13-17-2+27912-(2-1)0=0.3-1-49+53-1=-50+103+53=-45.2.(2a23b12)(-6a12b13)(-3a16b56)(a0且b0)=.答案4a解析(2a23b12)(-6a12b13)(-3a16b56
5、)=2(-6)-3a23+12-16b12+13-56=4a.3.化简下列各式:(1)2350+2-2214-12-(0.01)0.5;(2)a3b23ab2(a14b12)4a-13b13(a0,b0).解析(1)原式=1+144912-110012=1+1423-110=1+16-110=1615.(2)原式=(a3b2a13b23)12ab2a-13b13=a32+16-1+13b1+13-2-13=ab.名师点评指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数
6、;底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.提醒运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数幂,形式要统一.指数函数的图象及应用典例1(1)在同一平面直角坐标系中,如果a0且a1,那么函数f(x)=xa与g(x)=a-x在0,+)上的图象可能是()(2)(多选题)已知实数a,b满足等式12a=13b,则下列关系式中不可能成立的是()A.0baB.ab0C.0abD.ba0答案(1)A(2)CD解析(1)易知f(x)=xa为幂函数,g(x)=a-x=1ax为指数函数.g(x)=a-x=1ax的图象过定点(
7、0,1),当01a1时,g(x)是减函数,f(x)=xa是下凹增函数,故A选项正确,B选项错误;当1a1,即0ab0;若a,b均为负数,则ab0,且a1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),-1,1a.(2)已知函数解析式判断函数图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足,则排除.(3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到相应函数的图象.当底数a与1的大小关系不确定时,应注意分类讨论.(4)有关指数方程、不等式问题的求解,往往要作出相应的指数型函数图象,运用数形结合的思想求解.1.函数y=ax-a2+a(a0
8、且a1)的图象不可能是()答案D当0a1时,函数y=ax-a2+a为减函数,取x=0,则y=a0-a2+a=-a-122+54,又0a1,所以11时,函数y=ax-a2+a为增函数,取x=0,则y=a0-a2+a=-a-122+54,又a1,所以-a-122+541,b1,b0C.0a0D.0a1,b0答案D由题中f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0a1.函数f(x)=ax-b的图象是将f(x)=ax的图象向左平移得到的,所以b0.指数函数的性质及应用角度一比较指数式的大小典例2(2020四川成都七中高三模拟)已知a=243,b=425,c=25
9、13,则()A.bacB.abcC.bcaD.cab答案Aa=243=1613,b=425=1615,c=2513,因为幂函数y=x13在R上单调递增,所以ac,因为指数函数y=16x在R上单调递增,所以ba,即bac.角度二解简单的指数方程或不等式典例3设函数f(x)=4x-14x+1.(1)解不等式f(x)13;(2)求函数f(x)的值域.解析(1)因为f(x)=4x-14x+1=1+-24x+113,所以4x+13,即22x21,所以x0,所以4x+11,-2-24x+10,-11+-24x+11,所以f(x)的值域为(-1,1).角度三与指数函数有关的复合函数的单调性典例4函数f(x)
10、=12-x2+x+1的单调递增区间为()A.-,12B.-,1-52C.12,1+52D.12,+答案C由-x2+x+10得1-52x1+52,f(x)的定义域为1-52,1+52.y=-x2+x+1在-,12上单调递增,在12,+上单调递减,t=-x2+x+1在1-52,12上单调递增,在12,1+52上单调递减,又y=12t在R上单调递减,f(x)=12-x2+x+1的单调递增区间为12,1+52.角度四指数函数性质的综合问题典例5已知定义在R上的函数f(x)=b-2x2x+1+a是奇函数.(1)求实数a,b的值;(2)若对任意实数x,不等式f(4x-k2x)+f(22x+1-k)1,f(
11、x)在R上单调递减.不等式f(4x-k2x)+f(22x+1-k)0恒成立即不等式f(4x-k2x)k-22x+1,可得34x-k2x-k0恒成立,令t=2x(t0),则3t2-kt-k0(t0)恒成立,若k60,则-k0,即k0;若k60,则0,即k2+12k0,此时无解.综上,实数k的取值范围是(-,0.名师点评指数函数的性质及应用问题的解题策略(1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)比较大小.(2)解简单的指数型不等式要充分利用指数函数的性质,将指数型不等式转化为一次、二次不等式解决.(3)指数函数的综合问题.要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性
12、)相结合,同时要特别注意,底数不确定时,应对底数进行分类讨论.1.(多选题)已知函数f(x)=2x-12x+1,则下列说法正确的是()A.f(x)的图象关于原点对称B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的值域为(-1,1)D.x1,x2R,且x1x2,f(x1)-f(x2)x1-x20恒成立答案ACf(x)=2x-12x+1的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-f(x),所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称,故A选项中说法正确;f(1)=2-12+1=13,f(-1)=12-112+1=-13f(1),所以f(x)的图象不关于y轴对称,故B选
13、项错误;f(x)=2x-12x+1=1-21+2x,令1+2x=t,则t(1,+),y=f(x)=1-2t,易知1-2t(-1,1),所以f(x)的值域为(-1,1),故C选项中说法正确;函数t=1+2x在R上单调递增,且y=1-2t在t(1,+)上单调递增,根据复合函数的单调性,可知f(x)=1-21+2x在R上单调递增,故x1,x2R,且x1x2,f(x1)-f(x2)x1-x20不成立,故D选项中说法错误.2.(2020江西南昌模拟)函数y=134x-x2的单调增区间是()A.1,2 B.1,3C.(-,2D.2,+)答案Dy=134x-x2=3-4x+x2,y1=3x在R上单调递增,y
14、2=x2-4x在(-,2)上单调递减,在2,+)上单调递增,y=3-4x+x2在(-,2)上单调递减,在2,+)上单调递增.故选D.A组基础达标1.(2020山东济宁高三二模)已知函数g(x)=3x+t的图象不经过第二象限,则t的取值范围为()A.t-1B.t0,且1bxax,则()A.0ba1B.0ab1C.1ba D.1a0,且a1,在同一直角坐标系中它们的大致图象有可能是()答案D4.(2020安徽淮北一中高三模拟)设a=log49,b=3-1.1,c=827-13,则()A.abcB.bacC.acbD.cab答案C5.(多选题)(2020山东聊城模拟)已知函数f(x)=2-x-2x,
15、有下列四个结论,其中正确的结论是()A.f(0)=0B.f(x)是奇函数C.f(x)在(-,+)上单调递增D.对任意的实数a,方程f(x)-a=0都有解答案ABDf(x)=2-x-2x,则f(0)=120-20=0,故A选项正确;f(-x)=2x-2-x=-f(x),所以f(x)是奇函数,故B选项正确;f(x)=12x-2x在R上是减函数,故C选项错误;当x-时, f(x)+;当x+时,f(x)-,即f(x)的值域是(-,+),它又是R上的减函数,因此对任意实数a,f(x)=a都有解,故D选项正确.6.化简:(a23b-1)-12a-12b136ab5=.答案1a7.已知0x2,则函数y=4x
16、-12-32x+5的最大值为.答案52解析设2x=t,0x2,则1t4,y=4x-12-32x+5=12t2-3t+5=12(t-3)2+12,故当t=1,即x=0时,函数有最大值52.8.化简下列各式:(1)(0.06415)-2.523-3338-0;(2)56a13b-2(-3a-12b-1)(4a23b-3)12.解析(1)原式=641 00015-5223-27813-1=410315(-52)23-32313-1=52-32-1=0.(2)原式=-52a-16b-3(4a23b-3)12=-54a-16b-3(a13b-32)=-54a-32b-23=-541ab3=-5ab4ab
17、2.9.设函数f(x)=1210-ax,a是不为零的常数.(1)若f(3)=12,求使不等式f(x)4的x的取值范围;(2)当x-1,2时, f(x)的最大值是16,求a的值.解析(1)由f(3)=12得a=3,不等式f(x)4可化为23x-1022,x4,故x的取值范围是4,+).(2)当a0时,f(x)=2ax-10是增函数,所以在-1,2上,f(x)的最大值为f(2)=22a-10=16,解得a=7;当a0时,f(x)=2ax-10是减函数,f(x)的最大值为f(-1)=2-a-10=16,解得a=-14.综上,a=-14或a=7.B组能力拔高10.若函数f(x)=12x,x1,a+14
18、x,x1的值域为(a,+),则a的取值范围为()A.14,+B.14,12 C.12,1D.14,1答案B易知当x1时,f(x)=12x12,+,当x1时,f(x)=a+14xa,a+14,函数f(x)的值域为(a,+),a+1412,a12,即a14,12.11.(多选题)定义运算ab=a(ab),b(ab),设函数f(x)=12-x,则下列命题正确的有()A. f(x)的值域为1,+)B. f(x)的值域为(0,1C.使不等式f(x+1)f(2x)成立的x的取值范围是(-,0)D.使不等式f(x+1)f(2x)成立的x的取值范围是(0,+)答案AC由
19、函数f(x)=12-x,得f(x)=1(12-x),2-x(12-x),即f(x)=2-x(x0),1(x0),作出函数f(x)的图象如下,根据函数图象可知f(x)的值域为1,+).故A选项正确,B选项错误;若不等式f(x+1)f(2x)成立,则由函数图象可得,2xx+10,即x-1或2x0,即-1x0.所以不等式f(x+1)f(2x)成立时,x0.故C选项正确,D选项错误.故选AC.12.(多选题)若实数a,b满足2a+3a=3b+2b,则下列关系式中可能成立的是()A.0ab1B.ba0C.1ab D.a=b答案ABD设f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x,作出函
20、数f(x)与g(x)的图象如图,由图象可知,当x0时, f(x)g(x),所以2a+3a=3b+2b时,ba0,故B正确;当x=0或x=1时, f(x)=g(x),所以2a+3a=3b+2b时,a=b,故D正确;当0xg(x),所以2a+3a=3b+2b时,0ab1时, f(x)g(x),所以2a+3a=3b+2b时,1ba,故C错误.13.(2019江苏启东高三期末)已知不等式N3x-2x3x+2x0,1+23x1,021+23x2,-121+23x-11,即-1f(x)0的解集;(3)若g(x)=22x+2-2x-2mf(x)在1,+)上的最小值为-2,求m的值.解析(1)f(x)是定义域
21、为R的奇函数,f(0)=20k-2-0=0,即k-1=0,解得k=1.(2)由(1)可得k=1,f(x)=2x-2-x,在R上任取x1,x2,且x2x1,f(x1)=2x1-2-x1,f(x2)=2x2-2-x2,f(x2)-f(x1)=(2x2-2-x2)-(2x1-2-x1)=(2x2-2x1)+12x1-12x2=(2x2-2x1)+(2x2-2x1)2x12x2=(2x2-2x1)1+12x1+x20,即f(x2)f(x1),f(x)在R上单调递增,f(x2+2x)+f(x-4)0,f(x2+2x)f(4-x),x2+2x4-x,即x2+3x-40,解得x1或x-4.不等式的解集为(-,-4)(1,+).(3)g(x)=22x+2-2x-2mf(x),g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2.令t=2x-2-x,h(t)=g(x)=t2-2mt+2.x1,t32.h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2-m2+2t32.若m32,则当t=m时,h(t)min=-m2+2=-2,解得m=2;若m32(舍去).综上,m=2.
