1、第二章 圆锥曲线与方程2.3.2 双曲线的简单几何性质第二章 圆锥曲线与方程考点学习目标核心素养双曲线的几何性质掌握双曲线的范围、对称性、中心、顶点、轴、渐近线、离心率等几何性质，能够应用双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质直观想象、数学运算双曲线性质的应用掌握根据双曲线的几何性质解决有关问题的方法直观想象、数学运算问题导学预习教材 P56P60，并思考下列问题：1双曲线有哪些几何性质？2双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么？3双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么？1双曲线的几何性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)性质图形焦点_焦距_范围_或_，y_
2、或_，x_F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)|F1F2|2cxaxaRyayaR标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)性质对称性对称轴：_；对称中心：_顶点_轴实轴：线段_，长：_；虚轴：线段_，长：_，实半轴长：_，虚半轴长：_离心率eca_渐近线_坐标轴原点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)A1A22aB1B22bab(1，)ybaxyabx2.等轴双曲线实轴和虚轴_的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是_，离心率为 e 2.等长yx名师点拨对双曲线的简单几何性质的几点认识(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置(
3、2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然(3)双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)共渐近线的双曲线的离心率相同()(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率 e 2.()(3)椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同()(4)双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点()双曲线x216y21 的顶点坐标是()A(4，0)，(0，1)B(4，0)，(4，0)C(0，1)，(0，1)D(4，0)，(0，1)解析：选 B双曲线的焦点在 x 轴上，令 y0，得 x4，所以双曲线的顶点坐标为(4，0)，(4，
4、0)在平面直角坐标系中，实半轴长为 1，虚半轴长为 2 的双曲线的标准方程是()Ax2y241By2x24 1Cx24 y2161 或y24x2161Dx2y241 或 y2x24 1解析：选 D由题意，知 a1，b2.焦点在 x 轴上时，双曲线的标准方程是 x2y241；焦点在 y 轴上时，双曲线的标准方程为y2x24 1.故选 D解析：法一：由双曲线的标准方程知焦点在 x 轴上，a216，b29，则 a4，b3，故双曲线的两条渐近线的方程为 ybax34x.法二：令x216y290，解得 y34x.双曲线x216y291 的两条渐近线的方程为_答案：y34x(2018高考北京卷)若双曲线x
5、2a2y241(a0)的离心率为 52，则a_解析：由题意可得，a24a2 54，得 a216，又 a0，所以 a4.答案：4求双曲线 9y24x236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.双曲线的几何性质【解】将 9y24x236 化为标准方程为x29 y241，即x232y2221，所以 a3，b2，c 13，因此顶点为 A1(3，0)，A2(3，0)，焦点为 F1(13，0)，F2(13，0)，实轴长 2a6，虚轴长 2b4，离心率 eca 133，渐近线方程为 ybax23x.(1)由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤(2)求双曲线的离心率，归纳起来有两种方法：
6、由条件寻找 a，b，c 所满足的关系，用公式 eca1ba2求解依据条件列出含有 a，c 的齐次方程，利用 eca转化为含e 或 e2 的方程，解方程即可，注意依据 e1 对所得解进行取舍 1双曲线 2x2y28 的实轴长是()A2 B2 2C4 D4 2解析：选 C双曲线方程可变形为x24 y281，所以 a24，a2，从而 2a4，故选 C2(2019烟台检测)双曲线x29 y2161 的左顶点与右焦点的距离为()A2 B4C5 D8解析：选 D由x29 y2161，知 a3，c5，所以左顶点与右焦点的距离为 ac8.根据以下条件，求双曲线的标准方程(1)过点 P(3，5)，离心率为 2；
7、(2)与椭圆x29 y241 有公共焦点，且离心率 e 52；(3)与双曲线x29 y2161 有共同渐近线，且过点(3，2 3)由双曲线的几何性质求标准方程【解】(1)由 eca 2，知 c 2a，因此 ab.即所求双曲线为等轴双曲线，设其方程为x2y2(0)，又 P(3，5)在双曲线上，所以 9(5)2，即 4.因此双曲线的标准方程为x24 y241.(2)由椭圆标准方程知 c2945，所以双曲线的焦点为 F1(5，0)，F2(5，0)，设双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)由 eca 52，且 c 5知 a2，所以 b2c2a21.所以双曲线的标准方程为x24 y21.(3
8、)设所求双曲线方程为x29 y216(0)，将点(3，2 3)代入得 14，所以双曲线方程为x29 y21614，即x294y241.(1)求双曲线的标准方程的方法解决此类问题的常用方法是先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定 a2，b2 的值)要特别注意 a2b2c2 的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混淆如果已知双曲线的方程为标准式，但不知焦点所处的位置，也可把双曲线方程设为 mx2ny21(m，n 同号)，然后由条件求 m，n.(2)共渐近线的双曲线标准方程的求法与双曲线x2a2y2b21 具有共同渐近线的双曲线的标准方程可设为x2a2y2b2(0)，然后再结合其他条件求出 的值即可得到
9、双曲线方程 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在 x 轴上，虚轴长为 8，离心率为53；(2)过点(2，0)，与双曲线y264x2161 离心率相等；(3)以直线 2x3y0 为渐近线，过点(1，2)解：(1)设所求双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，由题意知 2b8，eca53，从而 b4，c53a，代入 c2a2b2，得 a29，故双曲线的标准方程为x29 y2161.(2)当所求双曲线的焦点在 x 轴上时，可设其方程为x264 y216(0)，将点(2，0)的坐标代入方程得 116，故所求双曲线的标准方程为x24 y21；当所求双曲线的焦点在 y 轴上时，可设其
10、方程为y264x216(0)，将点(2，0)的坐标代入方程得 140)由题意，得1m4n1，nm49，解得m8，n329.因此所求双曲线的标准方程为y2329x28 1.角度一 求双曲线的离心率的值(2019绍兴检测)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F2 作与 x 轴垂直的直线与双曲线的一个交点为 P，且F1PF22PF1F2，则该双曲线的离心率为()A 21 B 21 C 2 D 3双曲线的离心率【解 析】由 题 设 知 F1PF2 PF1F2 90.又 F1PF2 2PF1F2，所以PF1F230.不妨设 P(c，d)(d0)，则|PF2|d
11、，|PF1|2d，|F1F2|3d.从而 2a|PF1|PF2|2ddd，2c|F1F2|3d，故 e2c2a 3dd 3.【答案】D求双曲线离心率的常见方法(1)依据条件求出 a，c，再计算 eca.(2)依据条件建立参数 a，b，c 的关系式，一种方法是消去 b 转化为离心率 e 的方程求解，另一种方法是消去 c 转化成含ba的方程，求出ba后，利用 e1ba2求解 角度二 求双曲线离心率的取值范围(2019长春检测)设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线与直线 xa2c 分别交于 A，B 两点，F 为该双曲线的右焦点，若60AFB90，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是(
12、)A(1，2)B2 33，C(2，2)D2 33，2【解析】由题意，不妨设 A，B 分别位于第一、四象限因为双曲线x2a2y2b21 的渐近线方程为 ybax，所以与直线 xa2c 交于A，B 两点的坐标分别为 Aa2c，abc，Ba2c，abc，则 A，B 两点关于 x 轴对称因为 60AFB90，所以 33 kBF1，所以33 abcca2c1，所以 33 ab1，所以13a2c2a21，所以 1e213，所以 2e0，b0)与直线 y2x 无交点，则离心率e 的取值范围是()A(1，2)B(1，2C(1，5)D(1，5解析：选 D由题意可得，双曲线渐近线的斜率ba2，所以 e1ba2 5
13、.又 e1，所以离心率 e 的取值范围是(1，51(2019中山检测)已知双曲线 C：y2a2x2b21(a0，b0)的离心率为 2，则 C 的渐近线的斜率为()A 33 B 3C13D3解析：选 A因为双曲线 C：y2a2x2b21(a0，b0)的离心率为 2，所以ca2，所以 c24a2，所以 a2b24a2，所以ab 33，所以 C的渐近线方程为 y 33 x，所以 C 的渐近线的斜率为 33，故选A2已知双曲线x24 y2m1 的离心率 e(1，2)，则 m 的取值范围是_解析：因为双曲线x24 y2m1 的实半轴长 a2，虚半轴长为 m，c 4m为半焦距，所以离心率 e 4m2，又因为 e(1，2)，所以 1 4m22，解得12m0，b0)因为 eca2，所以 a2.所以 b2c2a212.所以双曲线 C 的标准方程为x24 y2121.(2)由(1)，知双曲线的渐近线方程为x24 y2120，即 y 3x.按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束
