1、2016年高考备考之考前十天自主复习第七天（理科）【课本内容再回顾查缺补漏】回顾一：排列组合与二项式定理（1）基本计数原理：分类加法计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N_种不同的方法分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，完成第一个步骤有m1种不同的方法，完成第二个步骤有m2种不同的方法，完成第n个步骤有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N_种不同的方法两个基本计数原理的区别与联系：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数它
2、们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以独立完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成（2）排列与组合：排列与排列数：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示.排列数公式： ；.规定0! = 1。另外，； ； ，。注意：相同排列：如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.组合与组合数：从n个不同
3、的元素中任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。从n个不同元素中，任意取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号表示组合数公式：；.规定。组合数公式有两种形式：乘积形式和阶乘形式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算注意公式的逆用即由写出.另外，；.排列与组合的区别与联系：组合与顺序无关，排列与顺序有关；排列可以分成先选取(组合)后排列两个步骤进行排列组合问题的解法：直接法；穷举法；优先法（特殊元素优先安排法或特殊位置优先安排法）；相邻问题捆绑法；不相邻问题(相间)插空法（含逐一插空法）；
4、多排问题直排法；定序问题用除法（或（非）定序元素优先安排法）；隔板法（名额分配问题，有狭义（）和广义（）之分（不定方程解（）的个数）；小集团问题先整体后局部；选排问题先选后排法；分组分配问题（先分组后分配的方法和意识要加强）；至多至少问题间接法（正难则反）； 特别的，含有可重元素的排列问题，遵循的原则是重复元素都一样，只留位置无需排列：对含有相同元素求排列个数的方法是用除法：设重集S有k个不同元素，其中各元素的重复数为，且, 则S的排列个数等于。（3）二项式定理：二项式定理：(r0,1,2，n)。二项展开式的通项为展开式中的第项为：.二项式系数的性质：（）对称性：在二项展开式中与首未两项“等距
5、离”的两项的二项式系数相等；（）增减性与最大值：二项式系数C，当r时，二项式系数是递减的二项展开式的中间项二项式系数最大： 当n是偶数时，中间项是第项，它的二项式系数最大；当n是奇数时，中间项为两项，即第项和第项，它们的二项式系数相等且同时取得最大值.（）各二项式系数的和：；。 三项式的处理方法：对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性如何来求展开式中含（其中且）的系数呢？方法一：把视为二项式，先找出含有的项;另一方面在中含有的项为，故在中含的项为.其系数为。方法二：把看成个式子个式子 相乘，其展开
6、式中含的系数分三步：第一步，从个式子中选个式子，从每个式子中均选取得到，共有种选法；第二步，从剩下的个式子中选个式子，从每个式子中均选取得到，共有种选法；第三步，从剩下的（即）个式子中均选取得到，共有种选法；根据分步乘法计数原理，含的系数为。求系数最大的项或最小的项：一般来说为常数）在求系数最大的项或最小的项时，当时可直接根据二项式系数的性质（）求解；当时，一般采用解不等式组的系数或系数的绝对值）的办法来求解。近似计算的处理方法：当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分很小，可以忽略不计。类似地，有但使用这两个公式时应注意a的条件，以及对计算精确度的要求，据此
7、可以应用其首尾几项进行放缩。整除性：利用二项式定理解决整除问题时，基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常用“配凑法”、“消去法”、添减项结合有关整除知识来处理赋值法：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n、(ax2bxc)m (a、bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对形如(axby)n (a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系
8、数之和为f(1)；奇数项系数之和为a0a2a4；偶数项系数之和为a1a3a5。回顾二：统计与统计案例（1）随机抽样：简单随机抽样：一般地，从元素个数为N的总体中_地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样最常用的简单随机抽样的方法：_和_简单随机抽样适用范围是：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小。系统抽样：假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，第一步，先将总体的N个个体_；第二步，确定_，对编号进行_，当(n是样本容量)是整数时，取k；当(n是样本容量)不是整数时，先用简单随机抽样剔除-个个体，
9、取k；第三步，在第1段用_确定第一个个体编号l (lk)；第四步，按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号_，再加k得到第3个个体编号_，依次进行下去，直到获取整个样本系统抽样的适用范围是：元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等。分层抽样：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样，将总体中各个个体按某种特征分成若干个_的几部分，每一部分叫做_，在各层中按层在总体中所占比例进行_抽样或_抽样，这种抽样方法叫做分层抽样分层抽样的应用范围是：总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统
10、抽样（2）用样本估计总体：在研究总体时，常用样本的频率分布去估计总体分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确。频率分布直方图：在频率分布直方图中，纵轴表示_，数据落在各小组内的频率用_表示，各小长方形的面积总和等于_连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图随着_的增加，作图时所分的_增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为_，它能够更加精细的反映出_作频率分布直方图的步骤如下：()求极差；()确定组距和组数；()将数据分组；()列频率分布表；()画频率分布直方图频率分布直方图能很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状茎叶图
11、：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始信息，而且可以随时记录，给记录和表示都带来方便用样本的数字特征估计总体的数字特征：()平均数：样本数据的算术平均数，即_.()样本方差、标准差：标准差s 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差（3）两个变量间的相关关系：有
12、关概念：相关关系与函数关系不同函数关系中的两个变量间是一种确定性关系相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由小变大，这种相关称为正相关；如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关；如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系回归方程：求回归直线，使“离差平方和为最小”的方法叫做最小二乘法，用最小二乘法求得回归方程是两个具有线性相关关系的变量的一组数据的回归方程，其中是待定参数从与的计算公式与 可以看出：()回归直线必过点；()与符号相同。回归分析：是对具有相
13、关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，主要判断特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式。比如线性回归分析就是分析求出的回归直线是否有意义，而判断的依据就是|r|的大小：|r|1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱。从散点图来看，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义。线性相关检验的步骤如下： ()作统计假设：x与Y不具有线性相关关系;()根据小概率0.05与n2在附表中查出r的一个临界值；（）根据样本相关系数计算公式求出r的值；（）作统计推断，如果|r|，表明有95%的把握认为x
14、与Y之间具有线性相关关系； 如果|r|，我们没有理由拒绝原来的假设。这时寻找回归直线方程是毫无意义的。（4）独立性检验：22列联表B合计An11n12n1n21n22n2总计n1n2n构造一个随机变量，利用随机变量2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验：若，则有95%把握认为A与B有关；若，则有99%把握认为A与B有关；其中是判断是否有关系的临界值，应判断为没有充分证据显示A与B有关，而不能作为小于95%的量化值来判断注意：线性回归分析以散点图为基础，具有很强的直观性，有散点图作比较时，拟合效果的好坏可由直观性直接判断，没有散点图时，只须套用公式求r，再作判断即可独立性检验没有直观
15、性，必须依靠作判断回顾三：概率、离散型随机变量及其分布列（1）概率的有关概念：随机事件和随机试验是两个不同的概念：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，条件每实现一次，叫做一次试验，如果试验结果预先无法确定，这种试验就是随机试验频率与概率有本质的区别，不可混为一谈频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率概率是频率的近似值，两者是不同概念。基本事件空间：在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们
16、来描绘，这样的事件称为基本事件，所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，通常用大写希腊字母表示事件的关系与运算：定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B_ _事件A(或称事件A包含于事件B)_(或AB)相等关系若BA且AB_并事件(和事件)若某事件发生当且仅当A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的_(或和事件)AB(或AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当_且_，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)互斥事件若AB为不可能事件，则事件A与事件B互斥AB对立事件若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件AB；P
17、(AB)P(A)P(B)1其中，互斥事件与对立事件的区别与联系是：互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件（2）古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型， 有限性试：验中所有可能出现的基本事件只有有限个；等可能性：每个基本事件出现的可能性相等，简称古典概型如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件
18、的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A).从集合的角度去看待古典概型，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集故P(A).（3）几何概型：事件A理解为区域的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型在几何概型中，事件A的概率定义为：P(A)，其中表示区域的几何度量，A表示子区域A的几何度量要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点：无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；等可能性：每个结果的
19、发生具有等可能性。（4）条件概率：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号“_”来表示，其计算公式为P(B|A).古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)，其中，在实际应用中P(B|A)是一种重要的求条件概率的方法（5）相互独立事件：对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A与B是相互独立事件若A与B相互独立，则P(B|A)P(B)，P(AB)P(B|A)P(A)P(A)P(B).若A与B相互独立，则A与、与B、与也都相互独立，反之，若P(AB)P(A)P(B)，则A与B是相互独立事件注意：“互斥事件”与“相互独立事件
20、”的区别与联系：相同点为二者都是描述两个事件间的关系.不同点是针对问题的角度不同. 互斥事件是针对一次试验下的两个事件A,B能不能同时发生, 相互独立事件是针对两次或更多次不同试验下出现的两个事件A,B，一个事件对另一个事件发生的概率有没有影响.具体来说,相互独立事件,不是一个事件对另一个事件发生没有影响,而是一个事件对另一个事件发生的概率没有影响.互斥事件不一定是相互独立事件,相互独立事件不一定是互斥事件。若存在不可能事件即概率为0的情况，如在数轴上取一个数，设事件A=“取到的数是1”，事件B=“取到的数是2”，则A、B既互斥又相互独立；但若A、B互斥，且P(A)0 ，P(B)0，则它们不可
21、能互相独立：因为A发生的条件下，B不可能发生，即，所以A、B不是相互独立事件（6）概率的计算公式：等可能事件的概率计算公式：；互斥事件的概率加法公式：P(A+B)P(A)+P(B)；对立事件的概率计算公式是：P()=1P(A)；相互独立事件同时发生的概率计算公式是：P(AB)P(A)P(B)；独立事件重复试验的概率计算公式是：。（7）离散型随机变量及其分布列：离散型随机变量的分布列的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，那么这样的变量X叫做随机变量；如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量设离散型随机变量X
22、可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则称表Xx1x2xixnPp1p2pipn为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列，具有性质：（）pi_0，i1,2，n；（）p1p2pipn_.二点分布：如果随机变量X的分布列为X10Ppq其中0p0)为参数），称服从参数为、的正态分布，用表示. 的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线。正态分布的期望与方差：若，则的期望与方差分别为：.标准正态分布：如果随机变量的概率函数为，则称服从标准正态分布. 即。非标准正态分布与标准正态分布间的关系：若，则，据此可以把非标准正态分布
23、的概率转化为标准正态分布的概率：。 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：P(X)0.683；P(2X2)0.954；P(3X3)0.997.“”原则：假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：()提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布.()确定一次试验中的取值是否落入范围.()做出判断：如果，接受统计假设. 如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.“”原则的应用：若随机变量服从正态分布则 落在内的概率为99.7 亦即落在之外的概率为0.3，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即不服从正态分布）.【热点知识再梳理胸有成竹】热点一：排列组合问题【典例】(
24、1) (2016潍坊五校联考)数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行的数为N1，其中N2，N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1N2N3的所有排列的个数是_解析：(元素优先法)由题意知6必在第三行，安排6有C种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A种方法，在留下的三个数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有C种方法，剩下的两个数字有A种排法，根据分步乘法计数原理，所有排列的个数是CACA240.(2)(2016浙江考试院抽测)由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有_个解析：由1,2,3,4,5,6
25、组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻的情况，运用插入法可得有AA144种，而当第四位是4的情况如图所示，要使奇数不相邻，偶数只能放在第2,5,6号位处，且5,6号位只能放一个偶数，因此偶数的可能性有22种，其余的奇数放在1,3,5(或6)号位处，共有A6种，共有22624种，因此符合题意的六位数共有14424120个(3) (2016辽宁五校联考)若n展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是()A360B180C90 D45解析：选B展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n10，通项公式为Tr1C()10rrC2rx5r，所以r2时，常数项为180.(4
26、)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m的值为()A1或3 B1或3C1 D3解析：选A令x0，得a0a1a2a9(2m)9，令x2，得a0a1a2a9m9，又(a0a2a8)2(a1a3a9)239，即(a0a1a2a9)(a0a1a2a9)39，即(2m)9m939，所以(2m)m3，解得m1或3.【题型概述】求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主体，
27、即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数在应用通项公式时，要注意以下几点：它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；Tr1是展开式中的第r1项，而不是第r项；公式中，a，b的指数和为n且a，b不能随便颠倒位置；对二项式(ab)n展开式的通项公式要特别注意符号问题(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法【跟踪练习1】如图所示，在A、B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通今发现A、B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有_种【答案】1
28、3【解析】试题分析：按照焊接点脱落的个数进行分类若脱落1个，有(1)，(4)，共2种；若脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6种；若脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4种；若脱落4个，有(1,2,3,4)，共1种综上共有264113种焊接点脱落的情况【考点定位】分类计数原理，列举法【跟踪练习2】(2016年3月德阳市四校高三联合测试数学理13)在的展开式中，记项的系数为f(，)，则f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3) = . 【答案】120【解析】根据二项式定理，的展开式中，的系数为，的展
29、开式中，的系数为 所经， 所以 =120所以答案应填：120.【考点定位】二项展开式的系数热点二：古典概型与几何概型【典例】(2016洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线axby0与圆(x2)2y22有公共点的概率为_解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(6,6)，共36种，其中满足直线axby0与圆(x2)2y22有公共点，即满足，a2b2的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(6,6)，共65432121种，因此所求的概率等于.(2) (2016广东七校联考)如图，已知圆
30、的半径为10，其内接三角形ABC的内角A，B分别为60和45，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC内的概率为()A.B.C. D.【题型概述】(1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解【跟踪练习】(1)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m7，n9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概
31、率为_(2) (2016届上学期辽宁省丹东五校协作体高三期末考试文8)平面上画了一些彼此相距的平行线，把一枚半径的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率。【答案】(1)(2) 【考点定位】古典概型与几何概型热点三：用样本估计总体【典例】某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168,16)现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组160,164)，第2组164,168)，第6组180,184，如图是按上述分组方法得到的频率分布
32、直方图(1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；(2)求这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数；(3)在这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为X，求X的数学期望参考数据：若XN(，2)，则P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4.解：(1)由频率分布直方图，经过计算得该校高三年级男生平均身高为1621661701741781824168.72，高于全市的平均值168.(2)由频率分布直方图知，后3组频率为(0.020.020.01
33、)40.2，人数为0.25010，即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数为10.(3)P(16834X16834)0.997 4，P(X180)0.001 3，0001 3100 000130.全市前130名的身高在180 cm以上，这50人中180 cm以上的有2人随机变量X可取0,1,2，于是P(X0)，P(X1)，P(X2)，E(X)012.【题型概述】(1)在频率分布直方图中估计中位数和平均数的方法中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等平均数：在频率分布直方图中，平均数等于图中每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和(2)平均数反映
34、了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定【跟踪练习】(宁夏回族自治区银川一中2016届高三第一次模拟考试数学理19)某权威机构发布了2013年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”.随后，该市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极
35、幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望【答案】（1）众数：8.6； 中位数：8.75;（2）；（3）0.75.【解析】（1）众数：8.6； 中位数：8.75 ； （2）设表示所取3人中有个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件，则 ； （3）的可能取值为0，1，2，3. ； 所以的分布列为：. 另解：的可能取值为0，1，2，3.则，.所以=考点：1.特征数；2.古典概型；3.离散型分布列【综合模拟练兵保持手感】1. ( 四川省遂
36、宁市2016届高三第二次诊断考试数学理8)从3名语文老师、4名数学老师和5名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文、数学和英语老师都至少有1人的选派方法种数是( )A590 B570 C360 D210【答案】A考点：计数原理.2. ( 东北三省三校2016年高三第一次联合模拟考试理科数学试题10)设二项式（）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为，则（ ）A B C D【答案】C【解析】二项式（）展开式的二项式系数和为，各项系数和 为，则，选C考点：二项式定理3. (福建省莆田一中、泉州五中、漳州一中2016届高三上学期三校联考数学理7)若实数a,b满足a2+b21，则关于的方程x2-2
37、x+a+b=0无实数根的概率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】方程x2-2x+a+b=0无实数根，由几何概型的概率计算公式得考点：几何概型4.以下茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则的值分别为（ ）A 5,2 B5,5 C 8,5 D8,8【答案】【解析】由乙组的平均数得：；甲组的中位数为15，而茎叶图中所给出的数据为9、12、24、27，所以y=5.考点：1、茎叶图；2、中位数和平均数5.某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人
38、数为（ ）（A）6 （B）4（C）3 （D）2【答案】C【解析】，选C.考点：分层抽样.6.将一根长为3m的木棒随机折成三段，折成的这三段木棒能够围成三角形的概率是（ ）（A）（B） （C） （D）【答案】C考点：1、几何概型；2、不等式组表示的区域.7. ( 东北三省三校2016年高三第一次联合模拟考试理科数学试题9)如图，和都是圆内接正三角形，且，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在内”，B表示事件“豆子落在内”，则（ ）A B C D【答案】D【解析】如图作三条辅助线，根据已知条件得这些小三角形都全等，所以.考点：条件概率.8. (2016年3月德阳市四校高三联合测试数学理
39、12)在电视节目爸爸去哪儿中，五位爸爸个带一名子（女）体验乡村生活.一天，村长安排1名爸爸带3名小朋友去完成某项任务，至少要选1个女孩（5个小朋友中3男2女）,Kimi(男）说我爸爸去我就去，我爸爸不去我就不去；石头（男）生爸爸的气，说我爸爸去我就不去，我爸爸不去，我就去；其他人没意见，那么可选的方案有 种.【答案】12 【解析】五个爸爸带一名子女取农村体验生活，村长安排、1名爸爸带3个小朋友去完成某项任务，至少选1名女孩（3男2女）.（男）说我爸爸去我就去，我爸爸不去我就不去，石头（男）生爸爸的气，说我爸爸去我就不去，我爸爸不去我一定去，设1,2,3,4,分别代表5个家庭的孩子，1号家庭（）
40、，2号家庭（石头），4,5号家庭是女孩.4,5号女孩都去，若2号家庭的爸爸去只有1种选法，即3,4,5.若3号家庭的爸爸去只有2种选法，即2,4,5.若4号家庭的爸爸去只有2种选法，即2,4,5.若5号家庭的爸爸去只有2种选法，即2,4,5.4号女孩去若1号家庭的爸爸去只有2种选法，即2,3,4.若3号家庭的爸爸去只有1种选法，即2,3,4.若4号家庭的爸爸去只有2种选法，即2,3,4.若5号家庭的爸爸去只有2种选法，即2,3,4.5号女孩去若1号家庭的爸爸去只有2种选法，即2,3,4.若3号家庭的爸爸去只有1种选法，即2,3,4.若4号家庭的爸爸去只有2种选法，即2,3,4.若5号家庭的爸爸
41、去只有2种选法，即2,3,4.故共有种选法.考点：排列组合的运用.9. ( 2016年2月甘肃省部分普通高中高三第一次联考理10)设是一个正整数，的展开式中第四项的系数为，记函数与 的图像所围成的阴影部分为，任取,则点恰好落在阴影区域内的概率为（ ）A BC D【答案】C考点：1、二项式定理的应用；2、定积分的几何意义；3、几何概型的概率计算公式.10. (宁夏回族自治区银川一中2016届高三第一次模拟考试数学理)对于以下结论： .对于是奇函数，则； .已知：事件是对立事件；：事件是互斥事件；则是的必要但不充分条件； .(为自然对数的底)； .若，则在上的投影为； .若随机变量，则.其中，正确
42、结论的序号为_.【答案】考点：1、函数的性质；2、随机事件及二项分布；3、向量的投影；4、充分必要条件.11.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：后得到如图4的频率分布直方图问：（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.（2）若从车速在的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在的车辆数的分布列及其均值（即数学期望）【答案】（1）众数的估计值等于.中位数的估计值为： ；（2）的分布列为：012 均值. 【解析】（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估
43、计值等于设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为：，解得即中位数的估计值为 考点：1、统计基础知识；2、随机变量的分布列及期望3、超几何分布.12. (福建省莆田一中、泉州五中、漳州一中2016届高三上学期三校联考数学理18)抛掷三枚不同的具有正、反两面的金属制品，假定正面向上的概率为，正面向上的概率为，正面向上的概率为t(0t1)，把这三枚金属制品各抛掷一次，设表示正面向上的枚数。(1)求的分布列及数学期望(用t表示)；(2)令,求数列的前n项和.【答案】（I）；（II）【解析】（I）的所以可能取值为1,2,3 所以的分布列为 （II）当n为偶数时，当n为奇数时，综上考点：概率与统计13
44、、( 20142016学年度上学期辽宁省丹东五校协作体高三期末考试理19)在一次考试中，5名同学数学、物理成绩如下表所示：学生ABCDE数学（x分）8991939597物理（y分）8789899293(1)根据表中数据，求物理分对数学分的回归方程：(2)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望. （ 附：回归方程中，）【答案】(1) ; (2) 的分布列为012 （2）随机变量的所有可能取值为0,1,2; 故的分布列为012 考点：1、回归直线方程；2、离散型随机变量的分布列与数学期望.14、(2016年
45、3月德阳市四校高三联合测试数学理17)某种有奖销售的小食品，袋内印有“免费赠送一袋”或“谢谢品尝”字样，购买一袋若其袋内印有“免费赠送一袋”字样即为中奖，中奖概率为甲、乙、丙三位同学每人购买了一袋该食品。(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数的分布列及数学期望【答案】(1) ；(2)详见解析.【解析】设甲、乙、丙三位同学中奖分别为事件A、B、C，那么事件A、B、C相互独立，且P(A)=P(B)=P(C)(1)甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为：P()=P()P()P()(2)中奖人数=0，1，2，3， 依题，且(=0，1，2，3)，中奖人数的分布列为：0123P的数学期望 考点：1、独立事件；2、离散型随机变量的分布列与数学期望.
