1、单元测评(一)1.如图2-1,AB是O的直径,C为半圆上一点,CDAB于D,若BC3,AC4,则ADCDBD等于（）图2-1A.463B.643C.443D.16129思路解析:由AB是ABC的直径,可得ABC是直角三角形,由勾股定理知AB =5,又CDAB,根据射影定理就有AC2=ADAB,于是AD =.同理,BD =,CD =,据此即得三条线段的比值.答案:D2.如图2-2,在半圆O中,AB为直径,CDAB,AF平分CAB交CD于E,交CB于F,则图中相似三角形一共有（）A.3对B.4对C.5对D.6对图2-2思路解析:由题设,ABC是直角三角形,CDAB,可知ACDABCCBD,这就是3
2、对.又AF平分CAB,所以有CAFDAE,CAEBAF,这样一共有5对三角形相似.答案:C3.如图2-3,在O中,AB为直径,AD为弦,过B点的切线与AD的延长线交于C,且AD =DC,则sinACO等于（）图2-3A.B.C.D. 思路解析:连结BD、DO,过O作OEAC于E.由AB为直径,有BDAC.由ABC是直角三角形,AD =CD,得ABC是等腰直角三角形,然后设AE =x,用x表示出CE,进一步表示出OC,利用三角函数定义即可得到所求的值.答案:A4.如图2-4,已知O的半径OA =5,点P是OA上一点,且AP =2,弦MN过点P,且MPPN =12,那么弦心距OQ为()图2-4A.
3、B.C.D.思路解析:求弦心距OQ的长需要知道OP、PQ的长度.显然OP =3.因此关键是求PQ的长,而求PQ的长,主要是求MP、NP的长.延长PO交O于点C,设MP =x,则PN=2x,由相交弦定理得MPPN =APPC.x2x =28.由垂径定理得,.在RtOPQ中, =.答案:C5.如图2-5,ABC是O的内接三角形,PA是切线,PB交AC于E,交O于D,且PE =PA,ABC=60,PD =1 cm,BD =8 cm,则CE长为 ()图2-5A.B.9 cmC.D.4 cm思路解析:由弦切角定理和ABC=60,知PAE =60,又考虑PE=PA,容易知道PAE为等边三角形.再考虑切割线
4、定理,求得PA2 =PDPB,从而PA=AE=3,容易求出ED = 2,BE =6,由相交弦定理得AEEC=BEED. = =4.答案:D6.如图2-6,PA为O的切线,A为切点,PA=8,PCB是割线,交圆于C、B两点,且PC=4,ADBC于D,ABC=,ACB =,连结AB、AC,则的值等于 ()图2-6A.B.C.2D.4思路解析:从入手考察.ADBC,=.由条件容易发现PACPBA,从而=.由切割线定理容易求得PB.PA2 =PCPB,PB = = =16.= =.答案:B7.如图2-7,在O中,AB为直径,AD为弦,过B点的切线与AD的延长线交于点C,若AD =CD,则sinACO等
5、于()图2-7A.B. C. D.思路解析:过点O作OFAC于F,则sinACO =.因此关键是求的值.连结BD,由CB切O于B与AD =DC,容易得到ABC为等腰直角三角形.设O半径为r,则,AF =OF =.在RtBCO中,OC = = =,sinACO = = =.答案:A8.如图2-8,已知O的弦AB、CD相交于点P,PA =4,PB =3,PC =6,EA切O于点A,AE与CD的延长线交于点E,AE =,那么PE的长为 .图2-8思路解析:求PE的长,需要求出ED与DP的长,而ED和DP的长分别由切割线定理和相交弦定理求出.AP =4,BP =3,PC =6,PD =2.EA2=ED
6、EC,ED =2.PE =2+2 =4.答案:49.如图2-9,已知ABC中,ABC的平分线交AC于F,交ABC的外接圆于E,ED切圆于E,交BC的延长线于D.求证:AE2=AFDE.图2-9思路分析:题目中的四条线段不能组成两个相似的三角形,所以利用平行将AE换成EC,根据AFEECD得到比例式,再换回线段即可.证明:连结EC.四边形ABCE内接于O,7=3+5.又5=2,2=1,7=3+1.4=3+1,7=4.DE切O于E,EC为弦,6=5.AFEECD.=,即AEEC =DEAF.1=2,AE =EC.AE =EC.AE2 =DEAF.10.如图2-10所示,已知AB为O的直径,C、D是
7、直径AB同侧圆周上两点,且 =,过D作DEAC于点E.求证:DE是O的切线.图2-10思路分析:要证DE是O的切线,根据切线的判定定理,连结OD,只需证明ODDE即可,即“作半径,证垂直”,这是证明圆的切线的另一方法.证明:连结OD、AD.=,1=2.OA =OD,2=3.1=3.AEOD.AEDE,ODDE.DE是O的切线.11.如图2-11,已知在ABC中,AB =AC,以AB为直径的O交BC于D,过D点作O的切线交AC于E.图2-11求证:（1）DEAC;（2）BD2=CECA.思路分析:本例是考查切线的性质与直径所对的圆周角是直角的综合题,掌握常见的辅助线作法是解题关键,即连结圆心和切
8、点的半径,根据切线的性质,则有半径垂直于这条切线.证明:(1)连结OD、AD.DE是O的切线,D为切点,ODDE.AB是O的直径,ADBC.AB =AC,BD =DC.ODAC,DEAC.(2)ADBC,DEAC,CDECAD.=.CD2 =CECA.BD =DC.BD2 =CECA.12.如图2-12,已知O和O都经过A、B两点,AC是O的切线,交O于点C,AD是O的切线,交O于点D.求证:AB2=BCBD.图2-12思路分析:欲证AB2=BCBD,即要证=,于是只要证ABDABC即可,而题目中分别给出两圆切线,可产生弦切角定理,从而命题得证.证明:AC是O的切线,AD是O的切线,BAD =
9、C,BAC =D.ABDCBA.=,即AB2=BCBD.13.如图2-13,已知O外一点P,作O的切线PQ,Q为切点,过PQ中点M,作割线MAB,交O于点A、B,连结PA并延长交O于C,连结PB交O于点D,求证:CDPQ.图2-13思路分析:本题要证CDPQ,只要证ACD APQ，又ACDABD,因而只需证ABD =APQ,这可利用相似三角形证得.证明:PQ切O于Q,MQ2=MAMB.又M为PQ中点,即MQ =MP,MP2=MAMB,即=.又AMP =PMB,AMPPMB.MPA =ABD.又ABD =ACD,MPA =ACD.CDPQ.14.如图2-14,已知O是正方形ABCD中边BC的中点
10、,AP与以O为圆心,OB为半径的半圆切于T点.求ATTP的值.图2-14思路分析:注意到AB、AT为切线,PT、PC为切线,则想到连结OA、OT、OP,构造切线长定理的基本图形,要求ATTP,则只需求ABPC,这可以通过解直角三角形或ABOOCP求得.解法一:连结AO、TO、OP.四边形ABCD为正方形,BCAB,BCCD.又BC为O的直径,AB、DC为O的切线,切点为B、C.AT、AB切O于T、B,AT =AB且AOB =AOT.PT、PC切O于T、C,PT =PC且POT =POC.又AOB +AOT +POT +POC =180,AOB +POC =AOP =90.又ABO =90,PO
11、C=BAO.RtABORtOCP.= =.OB =2CP.AB =2OC =2OB =4CP,即ATTP =41.解法二:先证得BAO =POC(方法同上).在RtABO中,tanBAO = =,在RtOCP中,PC =OCtanPOC =,ATTP =41.解法三:先证得AT =AB,PT =PC(方法同上).设正方形边长为a,PT =PC =x,则PD =a-x.又AT =AB =AD =a,在RtADP中,AD2+DP2 =AP2,即a2+(a -x)2=(a +x)2,解得.ATTP =41.15.如图2-15,PA为O的切线,A为切点,PBC是过O点的割线,PA =10,PB =5,
12、BAC的平分线与BC和O分别相交于D和E,图2-15求:(1)O的半径;(2)sinBAP的值;(3)ADAE的值.思路分析:(1)由PA2=PBPC求出PC,从而求出半径.(2)先把BAP转换到直角三角形中,利用BAP =ACB转换.(3)直接求ADAE较难,用相似三角形转换成其他线段之积.解:(1)PA2=PBPC,PA =10,PB =5,PC=20,即BC=15.O的半径为7.5.(2)在PBA和PAC中,PA为切线,BAP=ACP.又P =P,PBAPAC.=.=.又AB为直径,BAC =90.设AB =x,则CA =2x,.sinACB = = =.又ACB =BAP,sinBAP =.(3)连结CE,易证得ACEADB,=,即ADAE =ABAC.由(2)得=,BC =15,AB =15 =.AC =2AB =.ADAE =90.
