1、球的体积和表面积基础过关练题组一球的体积和表面积1.(2021陕西延安高二期中)一平面截一球得到直径是6 cm的圆面,球心到这个圆面的距离是4 cm,则该球的体积是()A.1003 cm3B.2083 cm3C.5003 cm3D.416133 cm32.已知球的体积是323,则此球的表面积是()A.12B.16C.163D.6433.若三个球的表面积之比为149,则这三个球的体积之比为.题组二与三视图有关的球的体积和表面积4.(2021河南新乡高一月考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.2+433B.2+1233C.4+433D.4+12335.(2021上海静安高三模拟)
2、一个半径为2的球体经过切割后,剩余部分几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.题组三与球的截面有关的球的体积和表面积6.(2020湖南长沙长郡中学高三模拟)已知长方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点都在球面上,AB=AD=8,AA1=6,过棱AB作该球的截面,则当截面面积最小时,球心到截面的距离为()A.3B.4C.5D.67.(2021安徽淮南高三模拟)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为()A.5003 cm3B.8663 cm3C.13723 cm
3、3D.20483 cm38.球O的一个截面圆的圆心为M,圆M的半径为3,OM的长度为球O的半径的一半,则球O的表面积为()A.4B.323C.12D.16题组四球的切、接问题9.(2021云南昆明五华高三联考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥A1-BC1D的内切球的表面积为16,则正方体外接球的体积为()A.288B.36C.722D.8110.(2021江苏泰州高一月考)已知四面体A-BCD满足:AB=BC=CD=DA=AC=1,BD=2,则四面体A-BCD外接球的表面积为.11.已知四面体的各面都是棱长为a的正三角形,求它外接球的体积及内切球的半径.能力提升练一、选择题1.()
4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3,体积为6,则这个球的表面积为()A.16B.20C.24D.322.()等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是()A.S正方体S球B.S正方体S球.3.B正四棱锥P-ABCD如图所示,设AB=a,正四棱锥的高PH=h,则斜高为h2+a24,由题意得412ah2+a24=3a2,所以h=2a.则S表=a2+412ah2+a24=4a2.设正四棱锥的内切球半径为r,由等积法可得13a2h=134a2r,所以r=h4=24a,所以ra=24,故选B.4.B将三棱锥A-BCD放置于长方体中,如图所示,则长方体的外接球就是三棱锥A-BCD的外接球
5、.设过长方体一个顶点的三条棱长分别为a,b,c,AB=CD=3,AD=BC=2,AC=BD=5,长方体的体对角线长为a2+b2+c2=12(a2+b2+b2+c2+a2+c2)=12(3)2+22+(5)2=6,可得外接球的半径R=62,因此三棱锥A-BCD的外接球的体积V=43623=6.故选B.5.D由题意,可得蛋巢的底面是边长为1的正方形,则经过4个小三角形的顶点截鸡蛋(球)所得的截面圆的直径为1.因为鸡蛋的体积为 43,所以鸡蛋的半径为1,所以球心到截面圆的距离为12-122=32,因为垂直折起的4个小直角三角形的高为12,所以鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为1+32+12=32+32.故
6、选D.二、填空题6.答案36解析设麻团的半径为r cm,则根据题意易得长方体纸盒的长为4r cm,宽为4r cm,高为2r cm,则2(4r4r+4r2r+4r2r)=576,解得r=3(负值舍去),所以一个麻团的体积为43r3=36 cm3.7.答案169解析因为AB,AC,AD两两相互垂直,所以可将三棱锥A-BCD补形为以AD,AB,AC分别为长、宽、高的长方体,则该长方体的外接球即为三棱锥A-BCD的外接球,所以该球的半径R=122+32+422=132,故其表面积S=4R2=169.8.答案4解析设球的半径为r cm,则由题意可得3V球+V水=V,即343r3+r28=r26r,所以r
7、=4.故球的半径是4 cm.9.答案414解析如图,设多面体的外接球的球心为O,平面EFGH截球所得的截面圆圆心为O1,平面ABCD截球所得的截面圆圆心为O2,连接OO1,OO2,OF,OC,O1F,O2C,设球O的半径为R,OO1=m,则OO2=2-m,分别在RtOO1F和RtOO2C中,有R2-m2=1,R2-(2-m)2=2,两式相减得4m-4=1,解得m=54,所以R2=4116,故S球=4R2=414.三、解答题10.解析设正方体的棱长为a.球O1为正方体的内切球,球心O1是正方体的中心,切点是正方体六个面的中心,经过四个切点及球心作截面,如图所示,设球O1的半径为r1,表面积为S1,则2r1=a,解得r1=a2,所以S1=4r12=a2.球O2与正方体各棱的切点为各棱的中点,过正方体的两个相对面的面对角线作截面,如图所示,设球O2的半径为r2,表面积为S2,则2r2=2a,解得r2=22a,所以S2=4r22=2a2.球O3过正方体的各个顶点,即正方体的各个顶点都在球面上,过正方体的体对角线作截面,如图所示,设球O3的半径为r3,表面积为S3,则2r3=3a,解得r3=32a,所以S3=4r32=3a2.故球O1、球O2、球O3的表面积之比S1S2S3=a22a23a2=123.
