1、同步测控我夯基 我达标1.将一个圆柱形水杯（内有半杯水）倾斜一定的角度（水不溢出）,这时杯内的水平面的形状是（ ）A.一个圆面 B.一个椭圆 C.一个抛物线 D.一个双曲线解析:水平面的形状是一个椭圆.答案:B2.取一个底面半径为R的圆柱,其轴为l,再取一个与圆柱相交的平面,设平面与圆柱的轴的夹角为（090）,若利用Dandelin双球证明平面与圆柱面的交线为椭圆 ,则放入圆柱面的两个Dandelin双球的半径应该为（ ）A.恰好等于R B.大于R C.小于R D.任意两个半径相等的球解析:Dandelin双球的半径应恰好等于圆柱的半径R.答案:A3.设平面与圆柱的轴的夹角为（090）,则平面
2、与圆柱面的截线椭圆的离心率为（ ）A.sin B. C.cos D.解析:椭圆的离心率e=cos.答案:C4.设平面与圆柱的轴的夹角为（090）,且圆柱的底面半径为R,那么平面与圆柱面的截线椭圆的短轴长为（ ）A.2R B.2Rcos C.2Rsin D.解析:椭圆的短轴长恰好等于圆柱的底面直径2R.答案:A5.将一个手电筒（发出的光柱可视为圆柱形）与地面成60角照射地面（地面可视为平面）,则它发出的光柱在地面形成的椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.解析:将手电筒发出的光柱视为圆柱,地面视为截面,则截面与圆柱的轴所成的角=60,而椭圆的离心率e=cos=cos60=.答案:A6.将一个
3、圆柱形的盛水容器（足够高）内装有部分水,然后将容器倾斜30（如图1.3-18）,这时容器内水平面形成椭圆的离心率为（ ）图1.3-18A. B. C. D.解析:把容器内的水平面看成截面,则该截面与圆柱的轴的夹角为=60,椭圆的离心率e=cos=.答案:A我综合 我发展7.将一个底面半径为R的圆柱形水杯（内有半杯水）倾斜60,若水杯有足够高,水没有溢水,如图1.3-19,则这时水杯内水平面形成的椭圆的长轴长为（ ）图1.3-19A.2R B.2R C.2R D.4R解析:杯内水平面（视为截面）与圆柱的轴的夹角=30,椭圆的离心率e=cos=,又椭圆的短半轴恰好为R,由e2=a=2R.椭圆的长轴
4、长2a=4R.答案:D8.设平面与圆柱的轴的夹角为（090）,现放入Dandelin双球与平面的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径,则等于（ ）A.30 B.45 C.60 D.75解析:Dandelin双球与平面的两切点恰好是椭圆的两焦点,圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长.由题意知2b=2c,e=,又由e=cos=,=45.答案:B9.平面与底面半径为5的圆柱的轴的夹角为30,则截线椭圆的长半轴为（ ）A.5 B.5 C.10 D.10解析:由已知b=5,e=cos=cos30=,答案:C10.当太阳光线与地面成45角斜射时,高空中一汽球在地面上投影是一个椭圆,该椭圆的离心率为_.解析:如
5、右图所示,汽球朝地面的投影柱可视为圆柱,地面视为截面,则截面与圆柱的轴的夹角为=45,椭圆的离心率e=cos=.答案:11.半径为5的球在与地面成30角的阳光的照射下,在水平地面上投影椭圆的离心率为_.解析:地面（视为截面）与圆柱的轴的夹角为=30,故截线椭圆的离心率e=cos=cos30=.答案:12.如图1.3-20,设球O1、O2与圆柱的交线（圆)所在的平面分别为、,椭圆所在的斜截面与它们的交线分别为l1、l2,、与所成的二面角为,P为椭圆上任意一点,过P作l1的垂线,垂足为Q,过P作平面的垂线,垂足为K1,则=_.图1.3-20解析:PK1=PF1,l1恰好为椭圆的准线（见名师解惑第2
6、条）,所以有=e,即比值恰好为椭圆的离心率.而截面与圆柱的轴的夹角为90-,=e=cos（90-）=sin.答案:sin我创新 我超越13.利用Dandelin双球的方法证明斜截面截圆柱面交线是椭圆,且椭圆的焦点恰好是Dandelin双球与斜截面的切点.证明:如右图所示,在圆柱内放入两个球O1,O2,它们都与圆柱相切,且都与截面相切,但一个球在的上方,一个球在的下方.设这两个球与相切的切点分别为F2,F1,在斜截面与圆柱面的交线上任取一点B,取过B的圆柱的母线,该母线交两个切点圆于S,T,则ST为定值（等于O1O2）,且BS,BT分别为过点B的球O1,O2的切线.连结BF1,BF2,则BF1,BF2分别为过点B作的两球的切线,于是BF1=BS,BF2=BT,从而BF1+BF2=BS+BT=ST（为定值）,于是,截面上的点B到两定点F1、F2的距离之和等于定长ST.故斜截面与圆柱面的交线为椭圆,F1、F2为焦点.
