1、互动课堂疏导引导 本课时的重点和难点是用导数解决实际问题.1.导数在实际生活中有着广泛的应用,如用料最省、利润最大、路程最短等问题一般都可以归结为函数的最值问题,从而可利用导数来研究.(1)导数应用的主要内容之一就是求实际问题的最值,其关键是分清各量间的关系,建立目标函数,在判断函数极值的基础上就可以确定出函数的最值情况.(2)能利用导数求解有关实际问题的最值,学会将实际问题转化为数学问题的方法.(3)通过本单元的学习,学会如何建模,如何利用导数求最值,以提高分析和解决问题的能力.(4)通过本节课的学习,体会数学来源于生活,应用于实践,提高学习数学的兴趣.2.解应用题，首先要在阅读材料、理解题
2、意的基础上，把实际问题抽象成数学问题.就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型；其次,利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论;最后再把数学结论返回到实际问题中去.其思路如下：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系.(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型.(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解.(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，作出正确的判断，确定其答案.3.用导数解决优化问题主要指函数类型中求最值的问题，其思路是：4.实际应用问题利用导数求f(x)在(a,b)上的最值时,f
3、(x)=0在(a,b)的解只有一个,由题意最值确实存在,则使f(x)=0的解就是最值点.案例1 (2005全国高考)用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(如下图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【探究】设容器高为x cm，容器的容积为V(x) cm3，则V(x)=x(90-2x)(48-2x)=4x3-276x2+4 320x(0x24). 求V(x)的导数，得V(x)=12x2-552x+4 320=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36). 令V(x)=0，得x
4、1=10,x2=36(舍去). 当0x10时，V(x)0，那么V(x)为增函数； 当10x24时，V(x)0，那么V(x)为减函数. 因此,在定义域(0，24)内，函数V(x)只有当x=10时取得最大值，其最大值为V(10)=10(90-20)(48-20)=19 600(cm3). 所以当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3.【规律总结】本题主要考查函数的概念，运用导数求函数最值的方法，以及运用数学知识建立简单数学模型并解决实际问题的能力.实际应用问题要根据题目的条件，写出相应关系式，是解决此类问题的关键.案例2 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A
5、处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？【探究】根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C的位置.解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，如图所示，设C点距D点x km，则BD=40，AC=50-x，BC=，又设总水管费用为y元，依题意有y=
6、3a(50-x)+(0x50).y=-3a+. 令y=0，得=3a(a0). 解得x=30. 在(0，50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x=30 (km)处取得最小值，此时，AC=50-x=20 (km).供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.解法二：设BCD=，如图所示，则BC=，CD=40cot().AC=50-CD=50-40cot 设总的水管费用为f(),依题意，有f()=3a(50-40cot)+5a.=150a+40a.f()=40a. 令f()=0，得cos=. 根据问题的实际意义，当cos=时，函数取得最小值，此时sin=,cot=,AC
7、=50-40cot=20 (km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.案例3 某工地备有直径为R的圆柱形木料(足够长)，若所需的是横断面为矩形的承重木梁，且已知木梁的承重强度(P)与梁宽及梁高的平方的乘积成正比，问如何截可使截得的木梁的承重强度最大？【探究】设木梁的横断面的宽为x1,高为y,则x2+y2=R2.由已知，设P=kxy2(k为常数)，因此P=kx(R2-x2)=kR2x-kx3(0xR).因为P=kR2-3kx2,令P=0得x=.由于函数在区间(0，R)内只有一个极值点，因此，当x=,即木梁横断面宽为，高为时，木梁的承重强度最大.【规律总结】解决实际应用问
8、题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，选择合适的数学方法求解.对于这类问题，同学们往往忽视了数学语言与普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍.活学巧用1.某种型号的电器降价x成(1成为10%)，那么销售数量就增加mx成(mR+).某商店此种电器的定价为每台a元，则可以出售b台，若经降价x成后，此种电器营业额为y元.试建立y与x的函数关系，并求m=时，每台降价多少成其营业额最大？解析：由条件，降低后的营业额为y=a(1-x)b(1+mx)=ab-mx2+(m-1)x+1，当m=时，
9、y=ab(-x2+x+1).y=ab(x+). 令y=0，x=,即x=时，ymax=ab,即降价0.1成时，营业额最大.2.某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门更多的关注,据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y= 求从上午6点到中午12点，通过该路程用时最多的时刻.解析:按已给出的分段函数求导数.(1)当6t9时，y=t+36=(t+12)(t-8) 令y=0 得t=-12(舍去)或t=8. 当6t8时，y0;当8t9时，y0，t=8时，y有最大值ymax=18.75(分钟).(2)当9
10、t10时，y=是增函数，t=10时，ymax=15(分钟)(3)当10t12时， y=-3(t-11)2+18t=11时，ymax=18(分钟). 综上所述，上午8时，通过该路段用时最多，为18.75分钟.3.(广告费与收益)某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年投入广告费t(百万元)，可增加的销售额约为-t2+5t(百万元)(0t5)(1)若该公司将当年的广告费控制在三百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大?(2)现该公司准备共投入300万元,分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为+x2+
11、3x(百万元).请设计一个资金分配方案,使该公司由此获得的收益最大?(注：收益=销售额-投入).解析:(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元),则有f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t=-(t-2)2+4(0t3)当t=2百万元时，f(t)取得最大值4百万元.即投入2百万元的广告费时,该公司由此获得的收益最大.(2)设用于技术改造的资金为x(百万元),则用于广告促销的资金为(3-x)(百万元),又设由此获得的收益是g(x),则有g(x)=(+x2+3x)+-(3-x)2+5(3-x)-3=+4x+3(0x3)g(x)=-x2+4 令g(x)=0解得x=-2(舍去
12、)若x=2 又当0x2时，g(x)0 当2x3时，g(x)0 故g(x)在0，2上是增函数，在2，3上是减函数. 所以x=2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大.4.将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截法使正方形与圆面积之和最小？解析：设弯成圆的一段铁丝长为x，则另一段长为100-x，记正方形与圆的面积之和为S，则 正方形的边长a=，圆的半径r=.S=()2+()2(0x100). 又S=+2()()=-. 令S=0，则x=(cm). 由于在(0，100)内，函数S(x)只有一个导数为0的点，问题中
13、面积之和的最小值显然存在，故当x=cm时，面积之和最小.5.在某工业品生产过程中，每日次品数y是日产量x的函数 该工厂售出一件正品可获利A元，但生产一件次品就损失元.为了获得最大利润，日产量应定为多少？解析：在每天生产的x件产品中，x-y是正品数，y是次品数，每日获利总数为T(x)=A(x-y)-y.T(x)=A(1-y) 令T(x)=0，得y=.y= 当x100时，每一件产品都是次品，公司要赔钱，最佳日产量只能在x100时求得. 由y=得x89.4产品数必须是自然数，产品数是89或90件.T(89)79.11A,T(90)79.09A.每日应生产89件将获得最大利润.6.甲船以20 km/h
14、的速度向东航行，正午时在其北面82 km处有乙船以16 km/h的速度向南航行，问何时两船相距最近？解析：如图，正午过后t h，乙船到达点A，甲船到达点B，此时 AO=82-16t，OB=20t，两船的距离d(A,B)=. 令f(t)=656t2-2 624t+6 724. 则f(t)=1 312t-2 624=1 312(t-2). 令f(t)=0，得t=2. 由于t0，当t变化时，f(t)的变化情况见下表：t(0，2)2(2，+)f(t)-0+ 由上表可知，当t=2时，f(x)取得极小值，由于f(t)只有一个导数为0的点，故其极小值即是最小值.在t=2，也就是正午过后2 h，甲、乙两船的距离最近.
