1、第3章空间向量与立体几何31空间向量及其运算31.1空间向量及其线性运算 共面向量定理(教师用书独具)三维目标1知识与技能(1)了解空间向量与平面向量的联系与区别(2)理解空间向量的线性运算及其性质(3)理解共面向量定理2过程与方法(1)学生通过类比平面向量的学习过程了解空间向量的研究内容和方法，经历向量及其运算由平面向空间的推广，体验数学概念的形成过程(2)通过类比平面向量基本定理，得出共面向量基本定理，并能利用共面向量基本定理证明向量共面，学会判定与证明向量共面及四点共面的方法3情感、态度与价值观逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知能力重
2、点难点重点：了解空间向量与平面向量的联系与区别，理解空间向量的线性运算及其性质难点：共面向量定理的理解及应用先回顾平面向量的定义及线性运算法则，类比得出空间向量的有关定义及运算法则，并通过空间图形进行严格的理论验证，从而突出教学重点对于共面向量定理，完全可由平面向量基本定理类比得出，重在应用其证明共面问题，通过例题，体现向量法证明线线平行、线面平行的方法与步骤，从而突破教学难点(教师用书独具)教学建议 本节内容是第三章空间向量与立体几何的第一节，由于是起始节，所以这节课中也包含了章引言的内容章引言中提到了本章的主要内容和研究方法，即类比平面向量来研究空间向量的概念和运算向量是既有大小又有方向的
3、量，它能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多数学问题的解决中有着重要的应用本章要学习的空间向量，将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具采用的教学方式是通过问题启发引导学生自主完成概念的探究过程，紧紧围绕教学重点展开教学，并从教学过程的每个环节入手，努力突破教学难点教学流程回顾平面向量的定义，类比得出空间向量的定义、几何表示、符号表示；找出空间向量与平面向量的区别与联系回顾平面向量的线性运算法则，得出空间向量的线性运算法则，并通过空间图形加以验证，得出空间向量线性运算满足的运算律理解单位向量、共线向量、平行向量等概念，理解共
4、线向量定理成立的条件及作用理解共面向量的定义，区分向量共面与直线共面的区别，理解共面向量定理的内涵，会用共面向量定理证明向量共面，从而证明立体几何问题如共面问题、线面平行问题等通过例1及变式训练，使学生掌握空间向量的线性运算法则，在常见的立体图形中，灵活的应用三角形和平行四边形法则进行空间向量的运算，实现利用给定向量表示某一向量的目的通过例2及变式训练，使学生体会共线向量定理的两个应用，正向可用来证明线线平行，逆用可用来求解字母参数，体会向量法解证立体几何问题的步骤与规律通过例3及变式训练，使学生体会共面向量定理的两个应用，正向可用来证明线面平行，四点共面，逆用可用来求解字母参数，体会向量法解
5、证立体几何问题的步骤与规律通过易错易误辨析，体会零向量的特殊性，在分析向量间关系及向量运算时，应注意零向量的特殊性归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.课标解读1.了解空间向量与平面向量的联系与区别，理解空间向量的线性运算及其性质，理解共线向量定理(重点)2体会共面向量定理的推导过程，掌握共面向量定理，会用共面向量定理判定向量共面，会用共面向量定理，证明线面平行问题(难点)3向量共线与共面和直线共线与共面的区别(易混点)空间向量在空间，把既有大小又有方向的量叫做空间向量空间向量的线性运算【问题导思】已知空间四边形ABCD，则0还成立吗？【提
6、示】成立根据向量的加法法则，表示相加向量的有向线段依次首尾相接，其和为从第一个向量的首指向最后一个向量的尾，故0.向量加法可以推广到有限个向量的和，并且可用口诀记忆：首尾首尾首指向尾空间向量的线性运算定义(或法则)空间向量的数乘空间向量a与一个实数的乘积是一个向量，记作a，满足：大小：|a|a|.方向：当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a0.共线向量定理【问题导思】共线向量一定是同一直线上的向量吗？【提示】共线向量不一定是同一直线上的向量，而是表示向量的有向线段只要可以平移到同一直线上即可，因此共线向量也叫平行向量对空间任意两个向量a，b(a0)，b与a共线的充要条件是存
7、在实数，使ba.共面向量如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得pxayb.空间向量的线性运算图311如图311，在长方体ABCDABCD中，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：【思路探究】观察各式涉及的向量在图形中的位置特点，将减法运算转化为加法运算，利用向量加法的三角形法则即可化简【自主解答】 (3)设M是线段AC的中点，则().向量，如图所示1进行向量的线性运算，实质是进行向量求和，解题时应抓住两条主线：一是基本“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和；二是基于“数”，熟练掌握及向量中点公式2用已知向量表示空间向
8、量，实质是向量的线性运算的反复应用图312如图312，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，a，b，c，M，N，P分别为AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示：(1)；(2)；(3)；(4).【解】(1)bca.(2)P为的中点，b，aacb.(3)babc.(4)acb.ca.(acb)(ca)abc.共线向量定理的应用图313如图313，已知点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，其中E，H是中点，F，G是三等分点，且CF2FB，CG2GD.试判断四边形EFGH的形状【思路探究】证明向量且模不相等【自主解答】E，H分别是AB，AD的中点，().
9、又2，2，()，|.又点F不在直线EH上，EHFG，且EHFG，四边形EFGH是梯形1证明EFGH为梯形，必须证明两点：；|.2利用向量共线可证空间图形中的两直线平行，为向量法证明立体几何问题奠定了基础设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知e1ke2，5e14e2，e12e2，且A、B、D三点共线，求实数k的值【解】5e14e2，e12e2.(5e14e2)(e12e2)6e16e2.A，B，D三点共线，.e1ke2(6e16e2)e1，e2是不共线向量，k1.共面向量定理的应用(2012辽宁高考)如图314，直三棱柱ABCABC，点M，N分别为AB和BC的中点证明：MN平面AACC.图31
10、4【思路探究】利用向量的线性运算得到向量可以由平面AACC内两个不共线的向量表示即可【自主解答】因为，且点M，N分别为AB和BC的中点，所以()()().因为MN平面AACC，所以MN平面AACC.1判断三个向量共面，即利用向量的线性运算实现其中一个向量能用另外两个向量惟一表示2利用向量判断线面平行有两种方法：一是利用共线向量定理，找出平面内的一个向量与直线上的向量共线；二是利用共面向量定理，找出平面内不共线的两个向量能表示出直线上的向量两种方法中注意说明直线不在平面内已知非零向量e1，e2不共线，如果e1e2，2e18e2，3e13e2，求证：A，B，C，D四点共面【证明】令(e1e2)(2
11、e18e2)(3e13e2)0，则(23)e1(83)e20.e1，e2不共线，则解得5，1，1是其中一组解，则，A、B、C、D四点共面.忽略零向量导致错误下列命题：空间任意两个向量a，b不一定是共面的；a，b为空间两个向量，则|a|b|ab；若ab，则a与b所在直线一定平行；若ab，bc，则ac.其中错误命题的序号是_【错解】【错因分析】空间任意两个向量都是共面的向量的模相等时，两个向量不一定相等，还要看向量的方向当ab时，它们所在直线平行或重合当b0时，a与c不一定平行【防范措施】向量的平行(共线)不具备传递性，即若ab，bc，不一定有ac，但当b为非零向量时，向量平行(共线)具备传递性，
12、即若b0，则当ab，bc时，有ac.【正解】1空间向量是平面向量的拓广和延伸，空间向量的线性运算法则和运算律与平面向量具有可类比性，但空间向量比平面向量应用范围更广泛2共线向量定理是判定两向量共线的充要条件，利用共线向量定理可以解决两方面的问题：(1)判定两向量共线；(2)由两向量共线，求待定字母的值3共面向量定理是判断三向量共面的理论依据，依此可以证明三向量共面，从而证明四点共面与线面平行问题1在空间四边形ABCD中，_.【解析】0.【答案】02在长方体ABCDA1B1C1D1中，化简式子：_.【解析】.【答案】3有下列命题：平行于同一直线的向量是共线向量；平行于同一平面的向量是共面向量；平
13、行向量一定是共面向量；共面向量一定是平行向量其中正确的命题有_【解析】“共面向量一定是平行向量”不正确，即共面向量不一定共线均正确【答案】图3154如图315，在空间四边形ABCD中，E、F为AB、CD的中点，试证，共面【证明】空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，利用多边形加法法则可得又E、F分别是AB、CD的中点，将代入中，两式相加得2.所以，即与、共面一、填空题1下列命题中真命题的个数是_空间中任两个单位向量必相等；将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个圆；若两个非零向量a，b满足akb，则a，b同向；向量共面即它们所在的直线共面【解析】是假命题，单位向量
14、模相等，但方向不一定相同，因此空间中任两个单位向量不一定相等；是假命题，将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个球面；是假命题，当k0时，a，b同向，当k0时，a，b反向；是假命题，表示共面向量的有向线段所在的直线可以“平移”(平行移动)到同一平面，但不一定共面【答案】02平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若a，b，c，则_.【解析】cccbaabc.【答案】abc3非零向量e1、e2不共线，若ke1e2与e1ke2共线，则k_.【解析】若ke1e2与e1ke2共线，则ke1e2(e1ke2)，k1.【答案】14空间四边形OABC中，a，b，c，点M在
15、上，且2，N为BC的中点，则_.(用a，b，c表示)【解析】如图，()(bc)aabc.【答案】abc5如图316，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为的是_图316()；()；()2；().【解析】()，().【答案】6有四个命题：若pxayb，则p与a，b共面；若p与a，b共面，则pxayb；若xy，则P、M、A、B共面；若P、M、A、B共面，则xy.其中真命题是_(填序号)【解析】由共面向量定理知，真；若p与a，b共面，当a与b共线且p与a和b不共线时，就不存在实数组(x，y)使pxayb成立，故假同理真，假【答案】7在下列各式中，使P，A，B，C四点共面的式子的序
16、号为_；0；0；.【解析】根据四点共面的充要条件，易知不适合，适合【答案】8(2013平遥高二检测)已知点G是ABC的重心，O是空间任一点，若，则_.【解析】如图，取AB的中点D，()()().3.【答案】3二、解答题图3179如图317，已知平行六面体ABCDABCD，M是线段CC的中点，G是线段AC的三等分点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)；(2)；(3)；(4)()【解】(1).(2).(3).(4)().向量，如图所示10如图318所示，四边形ABCD、ABEF都是平行四边形且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断与是否共线图318【解】M、N分别是AC、BF的中
17、点，四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，22()2，即与共线图31911如图319，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EFAB，AB2EF，H为BC的中点求证：FH平面EDB.【证明】因为H为BC的中点，所以()()(2)因为EFAB，CDAB，且AB2EF，所以20，所以().因为与不共线，由共面向量定理知，共面因为FH平面EDB，所以FH平面EDB.(教师用书独具)已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外的任一点O，确定下列各条件下，点P是否与A、B、M一定共面(1)3；(2)4.【思路探究】判断点P是否在平面MAB内，可先看能否用向量、表示当能用、表示时，点P位于平面
18、MAB内，否则点P不在平面MAB内【自主解答】(1)原式可变形为()()，P与M、A、B共面(2)原式可变形为22，表达式中还含有，P与A、B、M不共面1解答本题中注意构造以P、A、B、M中某一点为起点，另三点为终点的三个向量来判断此三向量是否共面，若共面又共起点，此四点必共面，否则不共面2要证四点共面，可先作从同一点出发的三个向量，由向量共面推知点共面，应注意待定系数法的应用已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点M满足.(1)判断、三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内【解】(1)，()()()0，0，、三个向量是共面向量(2)由(1)知、三个向量共面，又有共同起点M，所以M、A、B、C四点共面，即点M在平面ABC内
