1、第三章 导数及其应用33.3 函数的最大(小)值与导数第三章 导数及其应用考点学习目标核心素养 函数的最值了解函数的最大值、最小值的含义数学抽象、直观想象 求函数的最值掌握利用导数求函数最值的方法数学运算问题导学预习教材 P96P98，并思考下列问题：1什么是函数的最值？函数在闭区间上取得最值的条件是什么？2函数的最值与极值有什么关系？3求函数最值的方法和步骤是什么？1函数 f(x)在闭区间a，b上的最值如果在区间a，b上函数 yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得_和_，并且函数的最值必在极值或端点值取得最大值最小值名师点拨对函数最值的三点说明(1)闭区间上的连
2、续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念.(3)函数 yf(x)在a，b上连续，是函数 yf(x)在a，b上有最大值或最小值的充分而非必要条件 2函数最值的求法求函数 yf(x)在a，b上的最值可分两种情况进行：(1)当函数 f(x)单调时：若函数 yf(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 yf(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(2)当函数 f(x)不单调时：求 yf(x)在(a，b)内的_；将 yf(x)的各_与端点
3、处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值极值极值名师点拨函数极值与最值的关系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的极大值一定是函数的最大值()(2)开区间上的单调连续函数无最值()(3)函数
4、 f(x)1x在区间1，0)(0，1上有最值()设在区间a，b上的函数 f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上可导，有以下三个命题：若 f(x)在a，b上有最大值，则这个最大值必是a，b上的极大值；若 f(x)在a，b上有最小值，则这个最小值必是a，b上的极小值；若 f(x)在a，b上有最值，则最值必在 xa 或 xb 处取得其中正确的命题共有()A0 个B1 个 C2 个 D3 个解析：选 A由于函数的最值可能在区间a，b的端点处取得，也可能在区间(a，b)内取得，故当在区间(a，b)内取得时，最值必是相应的极值，如 yx2，x1，2，当 x0 时，取得最小值；当 x2 时
5、，取得最大值而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此命题都不正确 函数 f(x)2xcos x 在 R 上()A无最值B有极值C有最大值D有最小值解析：选 Af(x)2sin x0 恒成立，所以 f(x)在 R 上单调递增，故函数 f(x)在 R 上无最值 函数 y3x4x3 在区间0，2上的最大值是()A1B2 C0D1解析：选 A设 f(x)3x4x3，则 f(x)12x233(2x1)(12x)当 x12时，f(x)0.因为 f(0)0，f12 1，f(2)26，所以函数 y3x4x3 在区间0，2上的最大值是 1.求已知函数的最值角度一 函数解析式不含参数 求下列各函数的最值
6、(1)f(x)2x36x23，x2，4；(2)f(x)ex(3x2)，x2，5【解】(1)f(x)6x212x6x(x2)令 f(x)0，得 x0 或 x2.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2，0)0(0，2)2(2，4)4 f(x)00 f(x)37 极大值 3 极小值 5 35 所以当 x4 时，f(x)取得最大值 35.当 x2 时，f(x)取得最小值37.(2)因为 f(x)3exexx2，所以 f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)因为在区间2，5上，f(x)ex(x3)(x1)0，即函数 f(x)在区间2，5上单调递减，所
7、以 x2 时，函数 f(x)取得最大值 f(2)e2；x5 时，函数 f(x)取得最小值 f(5)22e5.求函数 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数的导数 f(x)(2)求方程 f(x)0 的全部实根 x0，且 x0a，b(3)求最值，有两种方式：判断各分区间上的单调性，然后求出最值；将 f(x0)的值与 f(a)，f(b)比较，确定 f(x)的最大值与最小值 角度二 函数解析式含参数 设函数 f(x)1(1a)xx2x3，其中 a0.(1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性；(2)当 x0，1时，求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值【解】(1)f(x)的定义域为
8、R，f(x)1a2x3x2.令 f(x)0，得 x11 43a3，x21 43a3，x1x2，所以 f(x)3(xx1)(xx2)当 xx1 或 xx2 时，f(x)0；当 x1xx2 时，f(x)0.故 f(x)在，1 43a3和1 43a3，上单调递减，在1 43a3，1 43a3上单调递增(2)因为 a0，所以 x10，x20.当 a4 时，x21，由(1)知，f(x)在0，1上单调递增，所以 f(x)在 x0 和 x1 处分别取得最小值和最大值 当 0a4 时，x21.由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2，1上单调递减，因此 f(x)在 xx21 43a3处取得最大值 又
9、f(0)1，f(1)a，所以当 0a1 时，f(x)在 x1 处取得最小值；当 a1 时，f(x)在 x0 和 x1 处同时取得最小值；当 1a4 时，f(x)在 x0 处取得最小值研究函数在区间上的最值问题，关键是比较极值点与区间端点处函数值的大小，而这个就是讨论的切入点本题由于 a0，所以将极小值点 x1 排除了，a4 时将极大值点也排除在区间之外，函数的单调性则显而易见故只需关注 0a4 时的最大值，进一步细化端点即可 已知函数 f(x)1xx ln x，求 f(x)在12，2 上的最大值和最小值解：易知 f(x)的定义域为(0，)，f(x)1xx ln x1x1ln x，所以 f(x)
10、1x21xx1x2.令 f(x)0，得 x1.当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：x1212，11(1，2)2 f(x)0f(x)1ln 2 极小值 0 12ln 2 所以在12，2 上，当 x1 时，f(x)取得极小值，也是最小值，且 f(1)0.又 f12 1ln 2，f(2)12ln 2，所以 f12 f(2)322ln 2 12(34ln 2)12ln e3160，所以 f12 f(2)，所以 f(x)在12，2 上的最大值为 f12 1ln 2，最小值为 f(1)0.由函数的最值求参数 若 f(x)ax36ax2b，x1，2的最大值为 3，最小值是29，求 a，b
11、的值【解】f(x)3ax212ax3a(x24x)令 f(x)0，得 x0 或 x4，因为 x1，2，所以 x0.由题意知 a0，(1)若 a0，则 f(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：x(1，0)0(0，2)f(x)0 f(x)极大值 所以当 x0 时，f(x)取最大值，所以 b3.又 f(2)8a24a316a3，f(1)7a3f(2)，所以当 x2 时，f(x)取最小值，所以16a329.所以 a2.(2)若 a0，则 f(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：x(1，0)0(0，2)f(x)0 f(x)极小值 所以当 x0 时，f(x)取最小值 f(0)b29.又 f(2)1
12、6a29，f(1)7a29f(2)，所以当 x2 时，f(x)取最大值，即16a293.所以 a2.综上a2，b3或a2，b29.已知函数最值求参数的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围 已知23a1，函数 f(x)x332ax2b(1x1)的最大值为 1，最小值为 62，求 a，b 的值解：令 f(x)3x23ax0，得 x10，x2a.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，0)0(0，a)a(a，1)1 f(x)00 f(x)1 32ab b a32
13、b 1 32ab 由表可知，f(x)的极大值为 f(0)b，极小值为 f(a)ba32，而 f(0)f(a)，f(1)f(1)，故需比较 f(0)与 f(1)及 f(1)与 f(a)的大小 因为 f(0)f(1)32a10，所以 f(x)的最大值为 f(0)b1.又 f(1)f(a)12(a1)2(a2)0，所以 f(x)的最小值为 f(1)132ab32a，所以32a 62，a 63.所以 a 63，b1.与最值有关的恒成立问题 已知函数 f(x)x3ax2bxc 在 x23与 x1 处都取得极值(1)求 a，b 的值及函数 f(x)的单调区间；(2)若 x1，2，不等式 f(x)c2 恒成
14、立，求 c 的取值范围【解】(1)由 f(x)x3ax2bxc，xR，得 f(x)3x22axb，因为 f(1)32ab0，f23 4343ab0，解得 a12，b2，所以 f(x)3x2x2(3x2)(x1)，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：x，232323，11(1，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增 所以函数 f(x)的单调递增区间为，23 和(1，)；单调递减区间为23，1.(2)由(1)知，f(x)x312x22xc，x1，2，当 x23时，f23 2227c 为极大值，因为 f(2)2c，所以 f(2)2c 为最大值 要使 f(x)c2(x
15、1，2)恒成立，只需 c2f(2)2c，解得 c1 或 c2.故 c 的取值范围为(，1)(2，)(变设问)若本例中条件不变，把(2)中“x1，2，不等式f(x)c2 恒成立”改为“若存在 x1，2，不等式 f(x)c2成立”，结果如何？解：由例题解析知当 x1 时，f(1)c32为极小值，又 f(1)12cc32，所以 f(1)c32为最小值 因为存在 x1，2，不等式 f(x)c2 成立，所以只需 c2f(1)c32，即 2c22c30，解得 cR.恒成立问题向最值转化的方法(1)要使不等式 f(x)h 在区间m，n上恒成立，可先在区间m，n上求出函数 f(x)的最大值 f(x)max，只
16、要 hf(x)max，则上面的不等式恒成立(2)要使不等式 f(x)h 在区间m，n上恒成立，可先在区间m，n上求出函数 f(x)的最小值 f(x)min，只要 f(x)minh，则不等式 f(x)h 恒成立 已知函数 f(x)xln x若对所有 x1 都有f(x)ax1，求实数 a 的取值范围解：依题意，得 f(x)ax1 在1，)上恒成立，即不等式 aln x1x对于 x1，)恒成立 令 g(x)ln x1x，则 g(x)1x 1x21x11x.当 x1 时，因为 g(x)1x11x 0，故 g(x)是(1，)上的增函数，所以 g(x)在1，)上的最小值是 g(1)1，所以 a 的取值范围
17、是(，11设函数 f(x)2x1x1(x0)，则 f(x)()A有最大值 B有最小值C是增函数D是减函数解析：选 Af(x)2 1x22x21x2，令 f(x)0，得 x 22.当 x 22 时，f(x)0；当 22 x0 时，f(x)0，所以 x 22 是函数 f(x)的极大值点，也是最大值点 故 f(x)有最大值，无最小值2函数 yxsin xx2，的最大值是_解析：因为 y1cos x，当 x2，时，y1(等号不恒成立)，则函数 yxsin x 在区间2，上为增函数，所以函数的最大值 ymaxsin.答案：3求函数 f(x)x254x(x0)的最值解：f(x)2x54x2.令 f(x)0 得 x3.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3，0)f(x)0 f(x)极小值 所以 x3 时，f(x)取得极小值，也就是最小值，故 f(x)的最小值为 f(3)27，无最大值本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
