1、第10计 聋子开门 慧眼识钟计名释义一群人到庙里上香，其中有一个聋子，还有一个小孩.上香完毕，发现小孩不见了.半天找不到影子后，大家来“问”这聋子.聋子把手一指，发现小孩藏在大钟底下，而且还在用手拍钟.大家奇怪，连我们都没有听见小孩拍钟的声音，聋子怎么听着了呢？其实，大伙把事情想错了，聋子哪里听到了钟声，只是凭着他的亮眼，发现大钟底下是好藏小孩的地方. 聋子的直觉感往往超过常人.数学家黎曼是个聋子，据说，他所以能创立他的黎曼几何，主要受益于他的超人的直觉看图.为了增强直觉思维，建议大家在解数学题时，不妨装装聋子，此时，难题的入口处，可能闪出耀眼的灯光.典例示范【例1】 若(1-2x)2008
2、= a0+a1x+a2x2+ax2008(xR), 则(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+(a0+a2008)= (用数字作答)【思考】 显然a0=1, 且当x=1时，a0+a1+a2008=1, 原式=2008a0+a1+a2+a2008=2007+(a0+a1+a2008)=2007+1=2008.【点评】 本例的易错点是：必须将2008a0拆成2007a0+a0,否则若得出2008+1=2009就错了.【例2】 对于定义在R上的函数f (x)，有下述命题：若f (x)是奇函数，则f (x-1)的图象关于点A（1，0）对称；若对xR, 有f (x+1)= f (x-1), 则f
3、 (x)的图象关于直线x=1对称；若函数f (x-1)的图象关于直线x=1对称，则f (x)是偶函数；函数f (1+x)与f (1-x)的图象关于直线x=1对称.其中正确命题的序号为 .【思考】 奇函数的图象关于原点对称，原点右移一单位得（1，0），故f (x-1)的图象关于点A（1，0）对称，正确；f (x)= f(x+1)-1= f (x+2)，只能说明f (x)为周期函数，不对；f (x-1)右移一单位得f (x)直线x=1左移一单位得y轴，故f (x)的图象关于y轴对称，即为偶函数，正确；显然不对，应改为关于y轴对称.例如设f (x)=x, 则f (1+x)=1+x, f (1-x)=
4、1-x,两图象关于y轴对称.【点评】 本例的陷沟是：容易将f (1+x)与f (1-x)误认为f (1+x)=f (1-x)，这是容易鱼目混珠的地方, 而后者才是R上的函数f (x)的图象关于直线x=1对称的充要条件.【例3】 关于函数f (x)=2x-2-x (xR).有下列三个结论：f (x)的值域为R; f (x)是R上的增函数；对任意xR, 都有f (x)+f (-x)=0成立，其中正确命题的序号是 (注：把你认为正确命题的序号都填上).【解答】 由y(2x)2-y2x-1=0.关于2x的方程中，恒有=y2+40. yR 真.y1=2x, y2=都是R上的增函数，y=y1+y2=2x-
5、2也是R上的增函数，真.f (-x)=2-2x = -(2x-2)=-f (x),当xR时，恒有f (x)+f (-x)=0（即f (x)为R上的奇函数) 真.【点评】 高考试题中的小题，已出现了多项选择的苗头，其基本形式如本例所示，多选题中的正确答案可能都是，也可能不都是，还有可能都不是（这种形式多反映在选择题中，其正确答案为零个）.由于许多考生的思维定势是以为多选题只有“不都是”一种情况，往往难以相信“都是”或“都不是”.这也是这种题型的陷阱所在.正确的对策：不受选项多少的干扰，只要你能证明某项必真则选，否则即不选.本例是“全选”（即“都是”）的题型.对应训练1.设F是椭圆的右焦点，且椭圆
6、上至少有21个不同的点Pi (i=1,2,3,),使|FP1|，|FP2|,|FP3|,组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是 .参考答案1.椭圆中：a=, b=, c=1.e =,设Pi的横坐标为xi, 则|FPi|=(7-xi), 其中右准线x=7.|FPn|=|FP1|+(n-1)d. d=|x1-xn|2, |d|. 已知n21, |d|, 但d0.d-，0)(0，.点评：本题有两处陷沟，一是d0, 二是可以d0, 解题时考生切勿疏忽.第11计 耗子开门 就地打洞计名释义说唐中有这样一个故事.唐太宗征北，困在木阳城，绝粮.军师献计，沿着鼠洞挖去，可能找到粮食.结果，真的在地下深处发现
7、了粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功，并题诗曰：鼠郎个小本能高，日夜磨牙得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽.庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的，七位数字对数表也是这样啃出来的.数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定“啃”吧.典例示范【例1】 已知f (x)=，判定其单调区间.【分析】 用求导法研究单调性当然可行，但未必简便，直接从单调定义出发，循序渐进，也可将“单调区间”啃出来.【解答】 设x10.故有原式=0.故f (x)= 的增区间为（-,+).【点评】 耗子开门是一个“以小克大，以弱克强”的策略.函数的单调法即不等式的比
8、较法.方法基础，可靠，只要有“啃”的精神，则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰和简捷.【例2】 （04天津卷）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量表示所选3人中女生的人数.（）求的分布列； （）求的数学期望；（）求“所选3人中女生人数1”的概率.【思考】 本题设问简单，方向明确，无须反推倒算，只要像耗子开门，牙啃立功就是了.【解答】 （）6人中任选3人，其中女生可以是0个，1个或2个，P（=0）=;P(=1)=；P (=2)=，故的分布列是：012P（）的数学期望是：E=0+1+2=1.()由（），所选3人中女生人数1的概率是：P（1）=P (=0)+P(=1)=.【例3】
9、 （04上海，20文）如图，直线y=x与抛物线y=x2 - 4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y= -5交于点Q.(1)求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于AB下方（含点A、B）的动点时，求OPQ的面积的最大值.【思考】 同例1一样，本题设问明确， 例3题图思路并不复杂，只须按所设条件逐一完成就是，只是要严防计算失误.【解答】 （1）由设AB中点为M（x0，y0），则x0 =，y0=x0=1.故有M（2，1），又ABMQ，MQ的方程是：y-1=-2(x-2)，令y=-5，得x=5，点Q的坐标为(5,-5).(2)由（1）知|OQ|=5为定值.设P(x，x2-2)为抛物线上上一点，由
10、（1）知x2-4x-320，得x-4,8，又直线OQ的方程为：x+y=0，点P到直线OQ的距离：d=，显然d0，(否则POQ不存在)，即x4-4，为使POQ面积最大只须d最大，当x=8时，dmax =6.(SPOQ)max =|OQ|dmax=56=30.【例4】 O为锐角ABC的外心，若SBOC，SCOA，SAOB成等差数列，求tanAtanC的值.【解答】 如图，有：SBOC+SAOB=2SCOA.不妨设ABC外接圆半径为1，令BOC=2A,AOC=2B，AOB=r=2C，则有：sin+sin=sin，即sin2A+sin2C=2sin2B.2sin(A+C)cos (A-C)= 4sin
11、BcosB. 例4题解图sin(A+C)=sinB0,cosB= -cos(A+C).cos (A-C)+2cos (A+C)=0,cosAcosC +sinAsinC +2(cosA+cosC sinAsinC )=0.3cosAcosC=sinAsinC，故tanAtanC=3.【点评】 本例中的“门”不少，其中“同圆半径相等”是“门”，由此将面积关系转换成有关角的关系；以下通过圆心角与圆周角的转换，和差化积与倍角公式，诱导公式、和角公式、同角三角函数关系等依次转换，这便是一连串的“门”，逐一啃来，从而最终达到解题目的.对应训练1.在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是正方形A
12、1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1= 4CP.()求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（）设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP；（）求点P到平面ABD1的距离. 第1题图2.证明不等式： (nN+).3.设x，f (x)=，求f (x)的最大值与最小值.4.若x，y，zR+，且x+y+z=1，求函数u=的最小值.参考答案1.建立如图的空间直角坐标系，有：A(4,0,0)，P(0,4,1)，B(4,4,0)，B1(4,4,4)，D1(0,0,4).()连BP，AB平面BCC1B1.ABBP，APB是直线AP与平面BB1C1C的夹角，=
13、tanAPB=.AP与平面BB1C1C所成角为arctan.()连D1B1，则ODB1.=（4,4,0)，=（-4,4,1）,=-16+16+0=0.即，也就是. 第1题解图已知OH面AD1P，APD1O(三垂线定理)（）在DD1上取|=1，有Q(0,0,1)，作QRAD1于R，RQAB，PQ面ABD1，AB面AA1D1D，ABQR，则QR面ABD1，QR之长是Q到平面ABD1的距离，SADQ =|=|.即：4|= 43，|=.已证PQABD1，点P到平面ABP1的距离为.点评：虽是“综合法”证题，但也并非“巷子里赶猪，直来直去”，特别（）,()两问，本解都用到了若干转换手法.2.只须证右式=
14、.成立，从而1+3.先将f (x)化为同一个角的单一三角函数，得f (x)= -sin+.当x时,2x-，故f (x)为，上的减函数,当x=时,f(x)min =，当x=时,f (x)max =-.4.注意到，同理：，u=8.第12计 小刀开门 切口启封计名释义西餐宴上，摆着漂亮的什锦比萨. 众人虽然都在称好，但没有一人动手. 原来这东西罩在一个透明的“玻璃盒”里，不知从哪儿打开，大家只好故作谦让，互相叫“请”.一小孩不顾礼节，拿着餐刀往“盒”上直戳，七戳，八戳，戳到了“玻璃盒”的花纹处，此时盒子竟像莲花一样自动地启开了. 大家惊喜，夸这孩子有见识. 其实，这孩子的成功在他的“敢于一试”，在试
15、试中碰到了盒子的入口.数学解题何尝没遇上这种情境？我们有时苦心焦虑地寻找破题的入口，其实，自己此时正站在入题的大门口前，只是不敢动手一试.典例示范【例1】 已知5sin=sin(2+)，求证：【分析】 题型是条件等式的证明，内容是三角函数的变换.条件和结论都是三角等式，正宗解法（大刀开门），首先考虑的是三角函数及和角变换.能否找到另外的切入口呢？比如说“抛开函数看常数”，我们找到了这个数，试一试，就打的主意！【解答】 化条件为考察结论的右式与的数量关系知，那么由合分比定理能使问题获得解决，即而左端分子、分母分别进行和差化积即为于是等式成立.【点评】 这才是真正的“小刀开门”，首先考虑了常数，而
16、常数在函数面前自然是“小玩意”；首先考虑比例变换，比例变换在三角变换的面前也是“小玩意”！数学解题时，在“入口对号”的情况下，小刀比大刀更管用.【例2】 设m为正整数, 方程mx2+2(2m-1)x+4m-7=0(x为未知量)至少有一个整数根, 求m的值.【分析】 若根据求根公式得到x=, 讨论至少有一个整数根相当复杂.如果把常量m(m是一个待求的常量)与变量x相互转化,则解决此问题就简单了.【解答】 原方程可化为(x2+4x+4)m=2x+7,即m=,【插语】 m是本题的破题小刀，因为所给方程中m的最高次数是1，使得问题简化了.【续解】 由于x为整数且m为正整数, 则x-2且1,得-3x1,
17、于是x=-3, -1, 0, 1, 代入原方程求出符合条件的m值为1或5,即m=1或m=5时,原方程至少有一个整数根.【点评】 有些数学问题中的常量具有特殊性,常常暗示着某种巧妙的解题思路,如能充分挖掘,巧妙转化,便可以将问题轻松解决.【例3】 设函数f (x)=x2+x+a(aR*)满足f (n)0, 试判断f (n+1)的符号.【分析】 这道题看似代数题，但如果打开几何的大门，就可以找到条件与结论的联系，思路才会应运而生.【解答】 因为f (n)0，所以函数f (x)=x2+x+a的图像与与x轴有2个相异交点，如图所示，设横坐标为x1、x2且x1x2，方程x2+x+a=0有2个不等的实根x
18、1、x2，则所以-1x1nx20, 例3题图于是f (n+1)=(n+1)2 +(n+1)+a0(a0).【点评】 利用数形结合,数形结合是构建解题思路的重要立足点，灵活运用常使解题化难为易，化繁为简.【例4】 过抛物线y2=2px的顶点O作2条互相垂直的弦OA、OB，求证：直线AB过定点.【解答】 因为OAOB，所以OA与OB的斜率成负倒数关系.设OA的斜率为k，将OA的方程：y=kx代入抛物线y2=2px中，求得A点坐标为,将OB方程代入抛物线方程求B点坐标时，只有斜率发生变化.因此，以置换A点坐标中的k, 即得B点坐标为(2pk2, -2pk).因而lAB：y=故直线AB过定点(2p,
19、0).容易验证，斜率k=1时，结论也成立.【点评】 找寻对等关系,挖掘命题中元素之间的对等关系，常能找到简洁的解题思路.【例5】 已知x、y、zR, x+y+z=1，求证:x2+y2+z2【解答】 运用均值代换法.令x=, 则+=0, 所以x2+y2+z2=(当且仅当=0，即x=y=z=时“=”成立).【点评】 运用等价代换,运用等价代换作切入点探究解题思路，是中学数学的重要技能.对应训练1.已知M是椭圆上的动点，椭圆内有一定点A(-2,), F是椭圆的右焦点，试求|MA|+2|MF|的最小值，并求这时点M的坐标.2.已知函数f (x)=-ax, 其中a0. 求a的取值范围，使函数f (x)在
20、区间0,+)上是单调函数.3.如图所示，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|,点E分有向线段所成的比为，双曲线过C,D,E三点，且以A，B为焦点.当时，求双曲线离心率e的取值范围. 第3题图4.已知a、b0,并且a+b=1,求证：5如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1的面积为S，侧棱CC1到此面的距离为a，求这个三棱柱的体积. 第5题图参考答案1解析 挖掘隐含条件的数量关系即可为简洁解题铺平道路.注意到椭圆的离心率与结论中线段|MF|的系数之间的数量关系，作MB垂直于右准线l，垂足为B，如图所示.则即|MB|=2|MF|, 所以|MA|+2|MF|=|MA|+|MB|. 第
21、1题解图易知点M在线段AB上时，|MA|+2|MF|取最小值8，这时点M的坐标为（2）.2.解析 探究a的值，应倒过来思考.设x1x2, 且x1、x20,+),f (x1) - f (x2)= (x1-x2)因为所以得. 注意到x1-x20. 即a1时，函数f (x)在区间0,+)上是单调减函数.显然0a-1, 即0, 得lgb1,又00lgb1,于是0lgb b(1,) 由01 b(0, 1) 综合、，取并集，所求b的取值范围为b(0，1)(1,).【例3】 某商场为了促销，当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可通过抽奖的方法获奖，箱中有4只红球和3只白球，当抽到红球时奖励20元的商品，当抽
22、到白球时奖励10元的商品(当顾客通过抽奖的方法确定了获奖商品后，即将小球全部放回箱中).(1)当顾客购买金额超过500元而少于1000元时，可抽取3个小球，求其中至少有一个红球的概率；(2)当顾客购买金额超过1000元时，可抽取4个小球，设他所获奖商品的金额为(=50,60,70,80)元，求的概率分布和期望.【思考】 解本题不能不清楚与概率统计有关的概念与定义，否则即使知道有关计算公式也无法准确解题，例如：(1)随机事件A发生的概率0P(A)1, 其计算方法为P (A)=, 其中m ，n分别表示事件A发生的次数和基本事件总数；(2)不可能同时发生的事件称为互斥事件，由于A与必有一个发生，故A
23、与既是互斥事件，又是对立事件，对立事件满足P(A)+P（）=1；(3)离散型随机变量的期望，E=x1 p1+x2 p2+xn pn+, 这个概念的实质是加权平均数，期望反映了离散型随机变量的平均水平;(4)离散型随机变量的方差D=(x1-E)2p1+(x2-E)2p2+(xn - E)2pn+，方差反映了离散型随机变量发生的稳定性.【解答】 (1)基本事件总数n=C=35, 设事件A=任取3球，至少有一个红球，则事件 =任取3球，全是白球.A与为对立事件，而Card=1(任取3球全是白球仅一种可能).P()=,于是P (A)=1-P ()=即该顾客任取3球，至少有一个红球的概率为 (2)=50
24、表示所取4球为3白1红(310+120=50),P (=50)=60表示所取4球为2白2红(210+220=60), P (=60)= =70表示所取4球为3红1白(320+110=70), P (=70)= =80表示所取4球全为红球, P (=80)= 于是的分布列为：50607080PD=50+60+70+80=(元).即该顾客获奖的期望是63(元).对应训练1M为双曲线上任意一点， F1为左焦点， 求证:以MF1为直径的圆与圆x2+y2= a2相切.2求证:以椭圆上任意一点的一条焦半径为直径作圆，这个圆必和以椭圆长轴为直径的圆相切.3在离散型随机变量中，证明其期望与方差分别具有性质:(
25、1)E(a+b)=aE+b; (2)D=E2 - E 2.4M为抛物线y2=2px上任意一点，F为焦点，证明以MF为直径的圆必与y轴相切.参考答案1如图所示，MF1的中点为P, 设|PF1|= r, 连接PO、MF2,|PO|=|MF2|(中位线性质）|PF1| - |PO|=(|MF1| - |MF2|)=2a= a,即|PO|= r-a, 故以MF1为直径的圆与圆x2+y2=a2内切.2如图所示，设M为椭圆上任一点，MF1为焦半径，MF1的中点为P, 设|PF1|= r, 连OP、MF2.则|OP|=|MF2|=(2a-|MF1|)= a-r以MF1为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.
26、第1题解图 第2题解图3（1）E=x1 p1+x2 p2+xn pn,E (a+b)= (ax1+b)p1+(ax2+b)p2+(axn+b)pn= a (x1 p1+x2 p2+xn pn)+b(p1+p2+pn) = aE+b (p1+p2+pn=1).（2）D=(x1 - E)2p1+(x2 - E)2p2+(xn - E)2pn+=（xp1+xp2+xpn+）-2E(x1 p1+x2 p2+xn pn+)+E2(p1+p2+pn+)=E2-2EE+E21=E2 - E2.4如图所示，抛物线焦点F，准线l:x=,作MHl于H，FM中点为P，设圆P的半径|PF|= r，作PQy轴于Q，则P
27、Q为梯形MNOF的中位线.|PQ|=以MF为直径的圆与y轴相切. 第4题解图第14计 鲜花开门 情有独钟计名释义冬天的梅花，非常耀眼.其实，梅花开的并不艳丽，只是因为你喜欢她，所以才心明眼亮.如果到了百花盛开的春天，你能身在花丛眼不花，还能看到淡淡素素的梅花吗？数学解题也经常遇到这种情景，有时已知条件非常之多，提供的信息诱惑也非常之泛.此时，你能“情有独钟”地筛选出你需要的她吗？典例示范【例1】 P点在平面内作匀速直线运动，速度向量v=(4,-3).(P点沿v方向运动，每秒移动的距离是|v|）.开始时P（-10，10），求5秒后P点的位置.【分析】 本质是对P点运动的速度向量v=（4，3）的理
28、解：因为P点按匀速直线运动，每秒位移是5.从速度分解观点看， 例1题图每秒P向右移4，向下移3.【解答】 5秒P向右移20，下移15，设P点5秒后到P（x, y).x=-10+20=10, y=10-15=-5. 所以P（10，-5）. 【点评】 这样解题很轻松，善于抓住数学本质的理性思维习惯是在学习数学的过程中累积形成的，而不是在“题海战术”式的“强化训练”、“大练兵”中形成的.【插语】 如果不按上述方式，而是从寻找=5v=(20,-15), 再求=+当然也能求出结果，但是并不省时间.众所周知，高考中的时间就是分数.【例2】 （04全国卷）函数y=+1(x1)的反函数是 ( )Ay=x2-2
29、x+2 (x1) B.y=x2-2x+2(x1)Cy=x2-2x(x1) D.y=x2-2x(x1)【解答】 本题的鲜花是利用互反函数的性质.原函数x1时，y1.反函数的定义域为x1，排除A、C.点（5，3）在f (x)的图象上，点（3，5）必在f -1(x)的图象上，而点（3，5）适合B，不适合D,选B.【点评】 与反函数有关的选择题，要注意利用其“定义域与值域互易，对应法则互逆，图象关于直线y=x对称”等特点，前呼后拥.【例3】 下列各式中，最小值为2的是 ( )A B. C. D.【思考】 利用均值不等式“取等”的条件这朵鲜花去开门.用均值不等式求最值必须满足两个条件：（1）参与运算的量
30、必须是正数；（2）只有当有关量可以“取等”时才有最值.故故否定A；当a,b异号时，否定C；当sinx0时，亦有0.又a+b+2=(a+1)+(b+1)2，2. 当且仅当a=b=1时【例4】 已知四边形ABCD为矩形且ABBC, PA平面ABCD, 连接AC,BD,PB,PC,PD, 则以下各组向量中,数量积不为零的是 ( )A B.C. D. 例4题图【思考】 利用图形的特点这朵花来打开解题之门.互相垂直的两向量,其数量积为零. 同理,C. PA平面ABCD, ，排除D，选A.【点评】 可用反证法证明不垂直, 假定.PA平面ABCD, , 四边形ABCD是正方形, 这与题设ABBC矛盾.对应训
31、练1.若f (x)sinx是周期为的偶函数，则f (x)可以是sinx, cosx， cotx， tan中的( )A. B. C. D.2.下列五个命题：|a|=a2; ; (ab)2=a2b2; (a- b)2=a2-2ab+b2; 若ab=0,则a=0或b=0.其中正确命题的序号是 （ ）A. B. C. D.3.已知等比数列an的公比为q,下列命题正确的是 （ ）A.若q1, 则an为递增数列 B.若0q1, 则an为递减数列C.若q1时，a1=-10, 则an为递减数列，排除A；当0q=1时，若a1=-10，则an为递增数列，排除B；取q=-20时，原方程无实数解；当n2=-m0时，有
32、一个实数解.故应选D.【说明】 此题容易简单想象成一元二次方程根的存在性问题，用判别式来判定，导致出现思维定势的错误.对于向量的相关知识的考查在近年来的高考试题中常出现，并且有关向量的题目也在不断地创新，不再是书本知识的简单重复.基于此而创作了此题.2要去寻找这样的点是很难叙述的.但我们可以虚拟一些特殊的图形去模拟运动，判断结果.细看题目有四个点，显然可以从四边形旋转所构成的三棱锥模型结构看一下这些长度关系是否合理，来得出需要的结论.在空间中，分别以8、10、13为边长，作如图所示平面四边形，它由ABC和BCD组成，公共边为BC=13cm，AC=BD=10cm，AB=CD=8cm，固定ABC所
33、在的平面，令BCD绕着边BC旋转.显然当D位于 第2题解图ABC所在的平面时，AD最大.由BC=13cm，AC=10cm，AB=8cm，可得cosBAC=-,即可知BAC是钝角，故对于平行四边形（即D在平面ABC内时）ABDC，对角线AD的长小于对角线BC的长，即ADBC=13cm.显然，当点D不在面ABC内时都有AD. 很多学生不知所措时，却有一学生说此题非常简单，不过需找个第三者. 现在他已经指定了一个第三者，就是整数3.因为3，又3，所以.这里的第三者，如同一个渡船，它能把“无关”的两岸经过自己连接起来.这就是数学上的“过渡法”，它是一个“三者牵线，截迂为直”的策略，在不等式中具体表现为
34、传递法.过渡法所用的渡船形式多样，可以是参数，可以是图形，当然也可以是函数、方程、不等式等.典例示范【例1】 已知曲线C ：，求曲线C关于直线x-y+1=0的对称曲线C1的方程.【分析】 一般解法为“轨迹转移法”：（1）设P（x, y)是C1上的动点；（2）求出P（x, y)关于直线x-y+1=0的对称点Q（x, y)， (3)将Q点坐标代入C的方程；（4）用x，y表示x，y，即得C1的方程.此法甚繁，考虑到这里的对称轴直线的斜率为1，因此可以直接从中得到替换式.【解答】 由x-y+1=0得 代入C的方程得即得C1的方程得【点评】 对称轴x-y+1=0本为一条参照定位直线，现在拿来充当替代式，
35、成了名符其实第三者“摆渡”.【例2】 长为2的线段AB在抛物线y=x2上滑动，求AB中点的轨迹方程.【解答】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线y=x2上两点，那么：设AB中点为M(x,y)，那么:，有:|AB| 2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =（1+4x2）（x1-x2）2 =（1+4x2）（x1+x2)2-4x1x2=（1+4x2）4x2-4（2x2-y）已知|AB|=2. （1+4x2)（y-x2)=1所求点M的轨迹方程为：y=x2+【点评】 本解说明:当直线与曲线相交,若已知弦的长度,而目的是求弦中点的轨迹,可以对其两端的坐标实施“设而不求”.【例3】 椭圆(ab0
36、)的右准线是x=1，倾斜角为=的直线l交椭圆于A、B两点，已知AB的中点为M.（1）求椭圆的方程；（2）若P、Q是椭圆上满足|OP|2+|OQ|2=的两点，求证：|kOPkOQ|为定值.【分析】 按常规，应设直线的斜截式方程，并代入椭圆方程，用韦达定理依中点的条件先求直线的截距而后确定椭圆方程.这样也算设而不求，可这种方法计算量仍然太大.请欣赏如下解法：【解】 （1）椭圆的右准线为x=1，即a2=c，b2= a2-c2 = c-c2.所求椭圆应为： 也就是 (1-c)x2+y2= c（1-c） 设弦AB的两端分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则:kAB=，又AB中点为M，x1+x2=-
37、1，y1+y2=以上全代入：1=, 1-c=，c=，代入：x2+y2=所求椭圆方程为：2x2+4y2=1.（2）由（1）知椭圆方程：2x2+4y2=1. 设P、Q的坐标依次为（x1，y1），(x2，y2).有：|OP|2+|OQ|2=, (x+y)+(x+y)= 代入：x+x+-（x+x）=,x+x=.故|kOPkOQ|=为定值.【点评】 本解的优点是：1.为确定椭圆方程，须求两个参数a与b，这里先由准线的条件归为只须求一个参数c；2.无论求椭圆方程或证斜率之积的绝对值为定值，都需要利用弦AB或PQ的端点，这里只是抽象的设定而并不真的去求它，在解题过程中都自然地逐一消失，使“设而不求”的技术达
38、到最佳效果.【例4】 （05湖北卷21题）设A、B是椭圆3x2+y2=上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.（）确定的取值范围，并求直线AB的方程;（）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.【分析】 （1）已知弦的中点求弦所在直线的方程，故（1）可以实施“设而不求”；（2）判断“四点共圆”的最佳方法,是引入平面几何的相应知识.【解答】 （1）点N（1，3）在椭圆3x2+y2=内，312+3212，（12，+）.设AB两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则有：（1）-（2）：3（x1-x2）（x1+x2）+（
39、y1-y2）（y1+y2）=0 （3）N(1，3)是线段AB的中点，x1+x2=2，y1+y2=6. 代入（3）： 例4题解图6（x1-x2）+6（y1-y2）=0，于是kAB=，故直线AB的方程为：y-3= -（x-1），即x+y-4=0.（2）解法1：CD为AB的垂直平分线，且kAB=-1，kCD=1，直线CD：y-3=1（x-1），即x-y+2=0.直线AB的参数方程方程是：代入椭圆方程得：，即2t2+12-=0.（由（1）知12），设此方程之二根为tA，tB，则tAtB =直线CD的参数方程方程是：代入椭圆方程得：，即2t2-6t+12-=0.设此方程之二根为tC ，tD ，则tCtD
40、=由（4），（5）知|tAtB|=|tCtD|，也就是ANBN=CNDN，这就是说，存在12，使得A、B、C、D四点总在同一个圆上.【小结】 按理说,解数学题避免不了“求”,其最终目的（不论是计算题还是证明题）,都是要“求”出最后的结果的.这里说的“不求”,专指可以简化的解题中间过程,用“设”去代替“求”.从宏观上说,“设而不求”是解析几何解题的基本手段.“设而不求”的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度的减少.因此需要做到:（1）凡是不必直接计算就能更简洁的解决问题的,都尽可能实施“设而不求”;（2）“设而不求”不可避免的要设参,消参.而设参的原则是宜少不宜多.（3）“设而不求”的思想还可以
41、应用到三角、立几、代数等数学的其他领域中去,限于篇幅,这里不再多讲.有心的读者,不妨在解题中留心运用.对应训练1.长为2的线段AB在抛物线y=x2上滑动，求AB中点的轨迹方程.2.求过圆x2+y2-2x=0和直线x+2y-3=0的交点，且和直线x+3y-4=0相切的圆的方程.3.已知直线y=-x+1与椭圆(ab0)交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上.（1）求此椭圆的离心率；（2）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上，求此椭圆的方程.4.已知，(a0，a1，x0)，判断f (x)的单调性，并证明你的结论.5.如图,已知直线l：x-ny=0（nN)，圆M：(x
42、+1)2+(y+1)2 =1,抛物线：y=(x-1)2，l交M于A、B，交于C、D，求 第5题图参考答案1.无须设直线的点斜式解方程组.设A(x1，y1)，B (x2，y2)为抛物线y=x2上两点，那么：设AB中点为M(x，y)，那么:有:|AB| 2=（x1-x2）2+（y1-y2）2 =（1+4x2 )（x1-x2)2=（1+4x2)（x1+x2)2-4x1x2=（1+4x2)4x2-4（2x2-y)已知|AB|=2. （1+4x2）（y-x2）=1 所求点M的轨迹方程为：y=2.无须求直线与圆的交点.设所求圆的方程为：x2+y2-2x+(x+2y-3)=0.即x2+y2+（-2）x+2y
43、-3=0 此圆的圆心为D半径R=直线x+3y-4=0与圆相切.化简得：2-4+4=0,=2.代入：x2+y2+4y-6=0 即为所求圆的方程.3.无须先求直线与椭圆交点的坐标.由得AB中点为M,点M在直线x-2y=0上，a2=2b2. 即 a2=2(a2-c2)，a2=2c2, e=容易求得F(c,0)关于直线l：x-2y=0的对称点为F.代入x2+y2=4，得 c2 = 4，从而a2=2c2=8，b2=c2=4.则所求椭圆方程为 4.无须先求函数的解析式.设logax=t，则x= at，（tR).原函数式变形为:f (t)=或(xR).这里a0，无论a1或0a0，故f (x)，从而原函数在其
44、定义域内是增函数.5.无须分别求直线与曲线的交点再求弦长，如图，圆心M(-1，-1)到直线x-ny=0的距离为：|AB| 2=（22= 第5题解图由 设此方程之二根为xC ，xD，则|CD|2=（xC - xD)2+(yC - yD)2=于是：第17计 化归开门 江山一统计名释义整数乘法有口诀：23=6，57=35.这就是整数乘法的法则.分数乘法无口诀，那么分数在怎样作乘法呢？，原来是在进行“转化”，变成了分子分母上的整数乘法.化归思想，连小学生都在用，有一老师问学生：前100个偶数的和为多少？一学生回答：10100.老师问怎么来的？学生回答：由前100个自然数的和来的：2+4+200=2（1
45、+2+100）=25050=10100.这就是数学解题中的“化归法”，复杂向简单化归，陌生向熟悉化归，未知向已知化归.典例示范【例1】 已知数列an中，a1=1，an+1=2an+1.求数列的通项公式及前n项和Sn.【分析】 这个数列既不是等差数列也不是等比数列，但又看到其中既含等差数列又含等比数列：比如把递推式中的常数1去掉，则变成等比数列，把系数2换成1则变成等差数列.为此，破题工作在化归上寻找入口：向等比（等差）数列转换.【解答】 在递推式an+1=2an+1两边加1，化为(an+1+1)=2(an+1)，数列an+1为等比数列，公比q=2. 所以an+1=2n-1(a1+1)，即an=
46、2n-1，且Sn=2n-n-1.【插语】 本数列的一般形式为：an+1=kan+b(k0、1，b0)，有人称其为“等差比数列”.等差、等比数列都是它的特例，分别是k=1，或b=0时的特殊情况.用换元法化归为等比数列的“常数匹配”可用待定系数法求得：设an+1+c=k(an+c)=kan+kcan+1=kan+kc-ckc-c=b，c=对于上题，b=1，k=2，因此解得c=1.【点评】 化归开门体现在本题中：把我们不熟悉的“等差比数列”化归到我们熟悉的等比数列来解.化归采用的办法是换元，实际上是an+1+c=bn+1=kbn.说来也很滑稽，对中学生来讲，不向“等比（等差）”化归，还有什么别的出路
47、呢？【例2】 已知三条抛物线y=x2+4ax-4a+3，y=x2+(a-1)x+a2，y=x2+2ax-2a中至少有一条抛物线与x轴有交点，求实数a的取值范围.【解答】 解答本题如果从正面入手，将要分有一条抛物线、两条抛物线、三条抛物线与x轴有交点的三类七种情况加以讨论，过程十分繁琐.但是如果转化为从反面思考，即考虑三条抛物线都不与x轴相交，则只要解下列不等式组：所以使得原命题成立的实数a的取值范围是a【点评】 很多的数学问题,如果直接从正面入手求解,难度较大,致使解题思路受阻,但如果转化为考虑问题的反面，则往往可以将问题轻松解决.数学解题中的反证法、补集法等体现的就是这种思想.【例2】 已知
48、a，b，c均为正整数，且a2+b2+c2+484a+6b+12c，求的值.【解答】 因为原不等式两边均为正整数，所以不等式a2+b2+c2+480)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p，q，则等于 （ ）A.2a B. C.4a D.3.函数f (x)满足:对任意实数x,y都有f (x)+f (y)=，且当x0.求证：参考答案1.解析 若在三维空间考虑该问题，就显得千头万绪.如右图所示，过直线b上任意一点A作直线aa，a与b确定平面a，把点P移动到A点，问题便转化 第1题解图为过A点作一条直线c与直线a，b所成的角均为，求的取值范围.易知当直线c在平面a内时， 直
49、线c与a，b所成的角最小为，当ca时，直线c与a，b所成的角最大为，故选D.2.解析 一般解法是先求出焦点F坐标为（0，)，然后由直线PQ的方程与抛物线的方程联立，求出p，q的值,运算过程繁杂，容易出错.若把一般性的PQ的直线方程转化为特殊性的方程，即取PQ与x轴平行的方程y=，很快就能选出正确答案C.应当看到相当多的一类选择题与填空题,或者可赋予变量的特殊值,或者可从符合一般条件的特殊点中求得正确的答案,这种从一般到特殊的转化常常能收到事半功倍的效果.3.证明 易证f (x)为奇函数,且当x0时都有f (x)0.先从入手，向题设条件转化:由于故有=再整体处理不等式左端数列的和有依题意，恒有，
50、则故原不等式成立.点评 本题融函数、数列、不等式为一体，正确解答本题的关键是注意整体和式与局部数列的通项的转化.第18计 转换开门 亦必亦充计名释义转换是化归的实施.化归重在理念，转换重在操作.转换是寻找“替身”，由彼及此，“彼”得对“此”全盘负责.因此，转换前面经常冠以“等价”二字，即“等价转换”.从“条件”的角度看问题，转换是在寻找解决问题的充要条件，而化归有时在寻找解决问题的充分条件，甚至是探究中的必要条件.典例示范【例1】 设0a1.【分析】 n=1时，结果显然.在由k到k+1时，关键在如何利用递推式.【解答】 （i)n=1时，a1=1+a1，命题真;(ii)假设n=k时，命题真，即a
51、k1. 对n=k+1，欲使ak+11，只须ak+1=【插语】 因为ak1，所以1来，因此，问题向何处转化，得另寻对象.递推式中，ak出现在分母上，要得到ak+1成立必须找ak的取值范围.【续解】 欲使ak+1=+a1,必须且只须对一切nN+, 都有ak【插语】 以下问题转化为用数学归纳法证明1ak【续解】 （i)n=1,显然有1a1 (ii)假设n=k时，不等式成立，即1ak(1-a)+a=1. 又ak11+a0+a.因为1-a21(1+a)(1-a)11+a 所以+a1+a，即ak+1由（i)(ii)可知，对一切nN+，都有1an0；0显然成立，正确；lg=lg55=lg，则不成立.综上，只
52、有成立.【点评】 本解实施的是虚实转换.使用特殊值使这种转换更为简洁直观.对应训练1.函数y=(xk；kZ)的值域是 ( )A.2，+） B.（1，2 C.（0，4 D. 4，）2.若an是等差数列，首项a10，a2003+a20040，a2003a20040成立的最大自然数n是 ( )A.4005 B.4006 C.4007 D.40083.设复数z满足=i，则|1+z|= ( )A.0 B.1 C. D.24.在棱长为的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ( )A. B. C. D.5.若双曲线2x2-y2=k(k0)的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= ( )A.1 B.4 C.6 D.8参考答案1.D 令u=sin2x，则00，a2003+a20040，a2003a2004|a2004|,在等差数列an中，a2003+a2004=a1+a40060，S4006=0.使Sn0成立的最大自然数n是4006.3.C 利用合分比性质，由，解得z=-i， |1+z|=|1-i|=.4.B 设每个三棱锥的体积为V，则剩下的凸多面体的体积是V=1-8，V= V=1-8V=1-8=5.C 双曲线为，a2=，b2=k，c2=a2+b2=，由条件：c-=2，即=2. b2=2c，得：k=2 k2=6k，k0，k=6.
