1、石家庄市第一中学20182019 学年度第一学期期中考试高二年级数学(理)试题命题人：胡海芳审核人：刘春香第 I 卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的,请将答案涂在答题卡上1已知集合 M = x 3 - x 0 ， N = 1, 2, 3, 4, 5 ，则 M I N = （）A1, 2, 3B3, 4, 5C1, 2D4, 52已知命题 p : -1 x 2, q : log 2 x 0 ,j p )的部分图象如图所示，为得到函数 y = sinwx2的图象,只需将函数 f ( x) 的图
2、象()A向右平移2p个长度单位B向右平移3p个长度单位3C向左平移p个长度单位D向左平移6p个长度单位38九章算术是中国古代的数学专著， 其中有“更相减损术”是用来求两个数的 最大公约数的，下图是实现该算法的程序 框图执行该程序框图，若输入的y = 168, x = 72 ，则输出的 2k d 为（ ）A12B 24C 36D 99. 若不等式 x 2 + 2 x 1且b 1 ”是“ ab 1 ”的充要条件；已知平面向量 a, b ,“ a 1 且 b 1 ”是“ a + b 1 ”的必要不充分条件；已知 a, b R ，“ a2 + b2 1 ”是“ a + b 1 ”的充分不必要条件；00
3、命题 p：“ $x R , e x0 x+ 1 ”的否定为 p ：“ x R, e x 0, b 0) 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 P ，使 (OP + OF2 ) F2 P = 0 （ O 为坐标原点），且| PF1 |=则该双曲线的离心率为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤3 | PF2 | ，17(本小题满分 10 分）已知圆 O : x 2 + y 2 = 9 及点 C (2,1) ，过点 C 的直线 l 与圆 O 交于 P, Q 两点， 当 DOPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程18. (本小题满分 12 分）已知两个数列an ，bn ，其中数列an
4、是公差为 d 的等差数列，点 ( an , bn ) 在函数 f ( x) = 2x 的图象上 (n N*) 若 a = 1 ，则点 ( a , 2b ) 在函数 f ( x) = 2x 的图象上.1 8 7（）求数列an 和bn 的通项公式 an , bn ； a （）求数列n 的前 n 项和T n bn 19(本小题满分 12 分）在 DABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a = 2b cos B( b c ).（）证明： A = 2B ;（）若 a 2 + c 2 = b 2 + 2ac sin C ，求角 A .20.(本小题满分 12 分）如图四棱锥
5、P - ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，M 为 PC 的中点，已知 DAB = 60 ， AB = 2 ，PA = PD = MB = 2 （）证明：平面 PAD 平面 ABCD ；（）求二面角 D - PC - B 的余弦值21. (本小题满分 12 分）已知向量 a= (cos 3x , sin 3x ), b= (cos x ,- sin x ) ，函数 f ( x) = a b - m a + b + 1 ，2222 p px - 3 , 4 , m R . p()当 m = 0 时，求 f () 的值；6（）若 f ( x) 的最小值为 - 1 ，求实数 m 的值； p p（）
6、是否存在实数 m ，使函数 g ( x) =f ( x) + 24 m2 ， x -, 有四个不同49的零点？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由22(本小题满分 12 分）2 2 3 4 xy已知椭圆+a2b2= 1(a b 0) 的离心率为 e =3 ，连接椭圆的四个顶点得到的2菱形的面积为 4 ()求椭圆的方程；（）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B 已知点 A 的坐标为 (-a, 0) ，点 Q(0, y0 ) 在线段 AB 的垂直平分线上，且 QA QB = 4 求 y0 的值石家庄市第一中学20182019学年度第一学期期中考试高二年级数学(理)试题答案一、
7、选择题：C B B B D C B B C D C C二、填空题：132 14 15 16.三、解答题：17解：当直线的斜率不存在时，的方程为，则，的坐标分别为，所以. . 2分当直线的斜率存在时，设的方程为，则圆心到直线的距离为， . 4分且， . 6分则当且仅当，即时，取得最大值. . 8分因为，所以的最大值为，此时，由，解得或， 则直线的方程为或. . 10分18. 解：()由已知得，所以，解得， 2分所以. 6分（）数列的通项公式为，所以，因此，.所以，. 12分19解:()证明:中,由,得, 2分，,或, 若,则,这与“”矛盾, ; 6分() 由余弦定理得, 8分，,或,当时,则这与
8、“”矛盾,;当时,由()得, 12分20.解：()取的中点连接，由，故，又，为的中点，所以，故，所以平面，得，又/,所以，2分在直角三角形中，斜边上的中线，所以斜边，在三角形中，,，即，又,所以平面，又平面，所以平面平面. 4分（）由()知，两两垂直，故以为原点，以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，以的方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， . 8分设为平面的一个法向量， 则，即，可取， 设为平面的一个法向量，则，即，可取. . 10分 所以二面角的余弦值为 . 12分21. 解：()当时，则； .4分（），则，令，则，则，对称轴，当，即时，当时，函数取得最小值此时最小值，得（舍），当，
9、即时，当时，函数取得最小值此时最小值，得，当，即时，当时，函数取得最小值此时最小值，得（舍），综上,若的最小值为，则实数 .9分（）令，得或，方程或在上有四个不同的实根，则，得，则，即实数的取值范围是 .12分22解：()由，得，再由，得，-2分 由题意可知，即解方程组，得，所以椭圆的方程为 .4分（）由()知，且直线的斜率必存在设点的坐标为，直线的斜率为，则的方程为于是，两点的坐标满足方程组 由方程消去并整理，得 由，得，从而设线段的中点为， 则点的坐标为 .6分以下分两种情况：当时，点的坐标为，线段的垂直平分线为轴，于是， 由，得.8分当时，线段的垂直平分线方程为令，解得 由，整理得故， .10分所以 综上，或. .12分
