1、2.3.1平面向量的基本定理一、学习目标：1.理解平面向量基本定理2会用任意一组基底表示指定的向量3理解向量夹角的概念二、课前导学：(一)基础梳理：1对于向量的数乘a，其长度和方向的规定：(1)|a|a|；(2)当_时，a的方向与a的方向相同；当0；相反(二)预习：1平面向量基本定理(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2.(2)我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_答：不共线; 基底3、在ABC中，向量AB、BC、CA，可形成多少组基底？ （1）非零向量；夹角（2）0，180；0；18
2、0；（3）90。4在平行四边形ABCD中，用AB、AD来表示AC与AB、BD来表示AC，其形式相同吗？ （三）自测1设O是ABCD的对角线交点，则下列向量组：与；与；与；与.其中可作为这个平行四边形所在平面内所有向量的一组基底的是()ABC D解析：选B.与不共线，故可作为平行四边形所在平面内所有向量的一组基底；又，故不可以作为基底；与不共线，故可以；与共线，故不可以作为基底2.如图所示，已知ABCDEF是正六边形，且Aa，Ab，则B等于()A.(ab) B.(ba) Cab D.(ab)解析：选D.连结AD(图略)，则AAAab，BA(ab)3AD与BE分别为ABC的边BC、AC上的中线，且
3、a，b，则等于()A.ab B.ab C.ab Dab解析：选B.设AD与BE交点为F，则a，b，由0，得(ab)，所以2 2()ab.4平面上两个不共线的非零向量a与b，若|ab|ab|，则a与b夹角为_解析：以a、b为邻边作平行四边形，|ab|、|ab|表示平行四边形两条对角线长相等，故是矩形答案：90三、合作探究：探究一、用基底表示向量平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合定理说明了只要选定一个平面内的两个不共线的向量，那么这个平面内的任何向量都可以用这两个向量表示出来，它体现了事物间的相互转化，也为我们今后的解题提供了一种方法例1【思路分析
4、】基底已经选定，所以要表示其他向量，只要利用向量的线性运算，即可写出其线性表达式变式一 本例中，如果把“?ABCD”改为“等腰梯形ABCD，且DC12AB”，用a、b如何表示MC、MA、MB？ 探究二、向量夹角的计算主要是结合图形，指明向量夹角的位置，利用三角形求其角例2、若a0，且b0，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角【思路分析】利用平行四边形法则作出ab与ab，作出其角度变式2 在本例中，求OB与BA夹角 【思维总结】求向量夹角，必须使两向量共起点否则通过平移后求其角小结：求向量夹角，必须使两向量共起点否则通过平移后求其角 *探究三、平面向量基本定理的综合应用例3、如图，已知ABCD中
5、M为AB的中点，N在BD上，3BNBD. 求证：M、N、C三点共线方法技巧1用基底表示平面向量，要充分利用向量加、减法的三角形法则或平行四边形法则，同时结合实数与向量积的定义，解题时要注意解题途径的优化与组合如例12应用平面向量基本定理来证明平面几何问题的一般方法如下：一般先选取一组基底，再根据几何图形的特征应用向量的有关知识解题如例3失误防范1零向量不能作为基底，两个非零向量共线时不能作为平面向量的一组基底只有平面内两个不共线的向量才可作为基底2平面内不共线的两个向量可以作为基底，对于同一个向量，用不同基底表示时，实数对并不一定相同3向量的夹角与多边形内角区分开如例2四、课堂小结 五、课外作
6、业1、1下面三种说法中，正确的是()一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量A BC D解析：选B.由于同一平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面所有向量的基底，故错误，而正确，故选B.2如果e1、e2是平面内所有向量的一组基底，那么()A若实数1、2使1e12e20，则120B空间任一向量a可以表示为a1e12e2，这里1、2是实数C对实数1、2，1e12e2不一定在平面内D对平面中的任一向量a1e12e2，实数1、2有无数对解析：选A.平面内任一向量都可写成e1与e2的线性组
7、合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；C中的向量1e12e2一定在平面内；对平面中的任一向量a，实数1、2是唯一的3设e1、e2是同一平面内的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的为()Ae1和e1e2 Be12e2和e22e1Ce12e2和4e22e1 De1e2和e1e2解析：选C.4e22e12(e12e2)，4e22e1与e12e2是共线向量，e12e2和4e22e1不能作基底4(2010年高考大纲全国卷)ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB.若a，b，|a|1，|b|2，则()A.ab B.ab C.ab D.ab解析：选B.如图所示，12，()(ba)，a(ba)ab.5已知ABC中，D为AB上一点，若2，则_.解析：，由于2， 所以()在ACD中， ()，. 答案：6、已知如图，在ABC中，D为BC的中点，E、F为BC的三等分点，若Aa，Ab，试分别用a，b表示A，A，A.解：ba.AABABa(ba)ab；AABABa(ba)ab；AABABa(ba)ab.
