1、考点43 直线、平面垂直的判定与性质1如图, 在正方体中, , 过直线的平面平面,则平面截该正方体所得截面的面积为（ ）A B C D 【答案】D 2已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，是边长为2的等边三角形，若球的体积为，则直线与平面所成角的正切值为A B C D 【答案】A【解析】取的中点，则为所求线面角，利用勾股定理求出即可得出答案 3某四棱锥的三视图如图所示，其中每个小格是边长为1的正方形，则最长侧棱与底面所成角的正切值为（ ）A B C D 【答案】A 4如图，四棱锥中，/，为正三角形. 若，且与底面所成角的正切值为.（1）证明：平面平面；（2）是线段上一点，记（），是否存在实
2、数，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2） 5如图，在斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，.（）求证：平面平面；（）求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）设为平面的法向量，则 6如图所示：四棱锥,底面为四边形，平面平面,（1）求证： 平面；（2）若四边形中，是否在上存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在求的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）1【解析】（1）设，连接,，为中点又， 解， 7已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，ABC=900，BC=2，AC=，且AA1A1C，A
3、A1=A1C（）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小。 ，由图形得侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角为锐角，侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小为600【点睛】（1）用几何法求空间角时，要体现出“一作、二证、三计算”的步骤，即先作出所求的角，然后通过解三角形得到所求角的大小（或某一三角函数值）（2）用向量法求空间角时，在求得两向量的夹角后，还要注意向量的夹角和所求空间角的关系，即要把向量的夹角转化为所求的空间角8（题文）（题文）在三棱锥中，（1）求证：；（2）点为上一动点，设为直线与平面所形成的角，求的最大值【答案】(1)见解析；
4、（2）.则，设， ，即， ， 9如图，在三棱柱中， .(I)求证：;(II)在棱 上取一点 M, ,若与平面所成角的正弦值为，求.【答案】（1）见解析（2） 10如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F分别为AC，DC的中点(1)求证：EFBC；(2)求二面角EBFC的正弦值【答案】（1）见解析（2）则cos |cosn1，n2|，因此sin ，即二面角EBFC的正弦值为. 11如图，已知四棱锥的底面为菱形，（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2） 12如图，在棱长为的正方体中，分别在棱，上，且.（1）已知为棱上一点，且，求
5、证：平面.（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）过作于点，连，则.易证：，于是.由 13如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面， （1）证明：；（2）若直线 与平面所成角为30，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】.则， 设平面的法向量为.则， ， 由图可知二面角的余弦值. 14如图，、分别是正三棱柱的棱、的中点，且棱，.（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，试求.【答案】（1）见解析；（2）. 15如图，已知四棱锥中，平面平面，平面平面，为上任意一点，为菱形对角线的交点。（1）证明：平面平面；（2）若，当四棱锥的体积被平面分
6、成3：1两部分时，若二面角的大小为，求的值。【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）过点作于点G，由于平面面，所以面面，故；同理，过点作于，则面，面,且 解法二：如图建立坐标系，设则，设则面的法向量为，设面面的法向量为，则 16如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，DPC30，AFPC于点F，FECD，交PD于点E.(1)证明：CF平面ADF；(2)求二面角DAFE的余弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】 (1)证明：PD平面ABCD，AD平面ABCD，PDAD又CDAD，PDCDD，AD平面PCD又PC平面PCD，ADPC又AFPC，ADAFA，PC平面ADF，即CF平面ADF.
7、(2)设AB1，则在RtPCD中，CD1， 17如图，是的中点，四边形是菱形，平面平面，.（1）若点是线段的中点，证明：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）. 18在四棱锥中， 为等边三角形，底面为等腰梯形，满足， ，且平面平面 （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值 【答案】（1）详见解析（2） 19在四棱锥中，底面为正方形，, （1）证明：；（2）若与底面所成的角为，,求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2） 20在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，.（）证明：；（）若底面是以为直角顶点的直角三角形，且，求二面角的正弦值.【答案】(1)见解析
8、;(2). 21如图，在底面为等边三角形的斜三棱柱中， ，四边形为矩形，过作与直线平行的平面交于点.(1)证明: ；(2)若直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值 .【答案】（1）见解析（2）因为，所以.设平面的法向量为.由，得，令，得，所以平面的一个法向量为. 22如图，在四棱柱中，侧棱底面，是的中点.（1）求证：平面；（2）设点在线段上，且，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】 23等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足(如图1).将沿折起到的位置,使二面角为直二面角,连结、 (如图2).（1）求证:平面;（2）在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出线段的长; 若不存在,请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）以为 24如图1,在正方形中，是的中点，点在线段上,且.若将 分别沿折起，使两点重合于点,如图2. 图1 图2(1)求证:平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）证明：设正方形的边长为4，由图1知, , , ,即 25在三棱锥中，与共斜边，且与平面所成角正弦值为，则到平面的距离为_.【答案】或【解析】
