1、2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高二（上）第一次联考数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分）1sin20cos10cos160sin10=( )ABCD2某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( )A7B15C25D353正定中学教学处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体800名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查现将800名学生从1到800进行编号，在116中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从4156中
2、应取的数是( )A47B48C54D554在等差数列an中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列前13项的和是( )A13B26C52D565如图是一个容量为200的样本频率分布直方图，则样本数据落在范围13，17）的频数为( )A81B36C24D126若变量x，y满足约束条件，则z=x2y的最大值为( )A4B3C2D17若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为，方差为s2，则( )A=5，s22B=5，s22C5，s22D5，s228某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是( )A4B5C6D79先
3、后连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量（m，n）与向量（1，1）的夹角90的概率是( )ABCD10若函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2xm在0，上有零点，则m的取值范围为( )A1，2+B1，2C1，2+D1，311已知三棱锥ABCD内接于球O，AB=AD=AC=BD=，BCD=60，则球O的表面积为( )AB2C 3D12已知点P（x，y）满足x2+y22，则满足到直线xy+2=0的距离d1，3的点P概率为( )AB+CD+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13平面向量与的夹角为60，=（2，0），|=1，则|+2|=_14如图为甲、乙两名篮球运动员每场比
4、赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是_15在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c、，已知a2c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC 则b=_16某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_三、解答题（本大题共6小题，共70分）17已知函数f（x）=sinxcos（x）+cos2x（1）求函数f（x）的最大值；（2）已知ABC的面积为，且角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=5，求a的值18某校在一次期末数学统测中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于60分到140分之间（满分15
5、0分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组60，70），第二组70，80），第八组130，140，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分 （）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（）估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（可用中值代替各组数据平均值）；（）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名，求他们的分差不小于10分的概率19某种产品的广告费支出x与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据：x24568y3040506070如果y与x之间具有线性相关关系（1）求这些数据的线性回归方程；（2）预测当广告费支出为9百万元时的销售额附：线性回归方程中，20已知关
6、于x的一元二次函数f（x）=ax24bx+1（1）设集合P=1，2，3和Q=1，1，2，3，4，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间1，+）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间1，+）上是增函数的概率21如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA底面ABCD，PA=AD=1，E、F分别为PD、AC的中点（）求证：EF平面PAB；（）求直线EF与平面ABE所成角的大小22在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y212x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B（）求k
7、的取值范围；（）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高二（上）第一次联考数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分）1sin20cos10cos160sin10=( )ABCD【考点】两角和与差的正弦函数 【专题】三角函数的求值【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可【解答】解：sin20cos10cos160sin10=sin20cos10+cos20sin10=sin30=故选：D【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查2某单位有职
8、工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( )A7B15C25D35【考点】分层抽样方法 【分析】先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可【解答】解：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，所以样本容量为故选B【点评】本题考查基本的分层抽样，属基本题3正定中学教学处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体800名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查现将800名学生从1到800进行编号，在116中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从4156
9、中应取的数是( )A47B48C54D55【考点】系统抽样方法 【专题】概率与统计【分析】求出样本间隔l，由系统抽样方法抽取的样本数为x0+（n1）l，nN*，即可得出每一个样本数据【解答】解：样本间隔为80050=16，在从116这16个数中取的数是7，从4156这16个数中取的数是第3或第4个数，第3个时是7+162=39，不在4156之间；第4个时是7+3=55，在4156之间故选：D【点评】本题考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目4在等差数列an中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列前13项的和是( )A13B26C52D56【考点】等差数列的性质；等差数
10、列的前n项和 【专题】等差数列与等比数列【分析】可得a3+a5=2a4，a7+a13=2a10，代入已知可得a4+a10=4，而S13=，代入计算可得【解答】解：由等差数列的性质可得：a3+a5=2a4，a7+a13=2a10，代入已知可得32a4+23a10=24，即a4+a10=4，故数列的前13项之和S13=26故选B【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及整体代入的思想，属中档题5如图是一个容量为200的样本频率分布直方图，则样本数据落在范围13，17）的频数为( )A81B36C24D12【考点】频率分布直方图 【专题】计算题；概率与统计【分析】先求出样本数据落在13，17）内
11、的频率，再求出样本数据落在13，17）内的频数【解答】解：由频率分布直方图可知，样本数据落在13，17）内的频率为=0.12样本数据落在13，17）内的频数为0.12200=24故选C【点评】本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，同时考查频率、频数的关系，属于基础题6若变量x，y满足约束条件，则z=x2y的最大值为( )A4B3C2D1【考点】简单线性规划的应用 【专题】计算题；数形结合【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可【解答】解：画出可行域（如图），z=x2yy=xz，由图可
12、知，当直线l经过点A（1，1）时，z最大，且最大值为zmax=12（1）=3故选：B【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题7若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为，方差为s2，则( )A=5，s22B=5，s22C5，s22D5，s22【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差 【专题】计算题；概率与统计【分析】由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解【解答】解：某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为s2，=5，s2=
13、2，故选：A【点评】本题考查平均数和方差的计算公式的应用，是基础题8某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是( )A4B5C6D7【考点】程序框图 【专题】算法和程序框图【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是计算满足S=100的最小项数【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：是否继续循环 S K循环前/0 0第一圈 是 1 1第二圈 是 3 2第三圈 是 11 3第四圈 是 2059 4第五圈 否最终输出结果k=4故答案为A【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：
14、分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模9先后连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量（m，n）与向量（1，1）的夹角90的概率是( )ABCD【考点】等可能事件的概率；数量积表示两个向量的夹角 【专题】计算题【分析】掷两次骰子分别得到的点数m，n，组成的向量（m，n）个数为36个，与向量（1，1）的夹角90的这个事件包含的基本事件数须将其满足的条件进行转化，再进行研究【解答】解：后连掷两次骰子分别得到点数m，n，所组成的向量（
15、m，n）的个数共有36种由于向量（m，n）与向量（1，1）的夹角90的（m，n）（1，1）0，即mn0，满足题意的情况如下当m=2时，n=1；当m=3时，n=1，2；当m=4时，n=1，2，3；当m=5时，n=1，2，3，4；当m=6时，n=1，2，3，4，5；共有15种故所求事件的概率是=故选D【点评】本题考查等可能事件的概率，考查了概率与向量相结合，以及分类计数的技巧，有一定的综合性10若函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2xm在0，上有零点，则m的取值范围为( )A1，2+B1，2C1，2+D1，3【考点】函数零点的判定定理 【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】由题意可
16、得在0，上，函数 y=2+sin（2x+）的图象与直线y=m 有交点，求出函数 y=2+sin（2x+）的值域，即可得到m的取值范围【解答】解：y=（sinx+cosx）2+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=2+sin（2x+），函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2xm在0，上有零点，故在0，上，函数 y=2+sin（2x+）的图象 与直线y=m 有交点由于 0x，2x+，故当2x+= 时，函数 y=2+sin（2x+）有最小值为2+（）=1，当2x+=时，函数 y=2+sin（2x+）有最大值为2+，故 1m2+，故选A【点评】本题主要考查函数的零点的定义，函数的零
17、点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题11已知三棱锥ABCD内接于球O，AB=AD=AC=BD=，BCD=60，则球O的表面积为( )AB2C3D【考点】球的体积和表面积 【专题】球【分析】画出图形，求出底面三角形的外接圆的半径，求出A到底面BCD的距离，然后取得外接球的半径，即可求解表面积【解答】解：如图：底面BCD中，BD=，BCD=60，GB=r=1，AB=AD=AC=BD=，ABCD是圆锥，AG平面BCD，并且经过球的球心O，则AG=，设球的半径为R，OB2=OG2+GB2，即，解得R=，球O的表面积为：4R2=故选：D【点评】本题考查的表面积的求法，几何体的外接球与几何
18、体的关系，考查空间想象能力以及计算能力12已知点P（x，y）满足x2+y22，则满足到直线xy+2=0的距离d1，3的点P概率为( )AB+CD+【考点】几何概型 【专题】概率与统计【分析】根据平行线的距离公式求出满足条件的直线对应的区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行求解即可【解答】解：设与直线xy+2=0平行的直线方程为xy+c=0，若两平行直线的距离d=1，则d=1，解得c=或c=3，此时直线方程为xy+=0或xy+3=0，圆心（0，若两平行直线的距离d=3，则d=3，解得c=或c=5，此时直线方程为xy=0或xy+5=0，若满足到直线xy+2=0的距离d1，3的点P，则P对
19、应的区域为阴影部分，则第二象限，三角形OAB的面积S=1，则第二象限内弓型的面积S=1=1，则阴影部分的面积为22（1）=+2，则满足到直线xy+2=0的距离d1，3的点P概率为=+，故选：B【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，利用平行线的距离公式，结合对应区域的面积是解决本题的关键二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13平面向量与的夹角为60，=（2，0），|=1，则|+2|=2【考点】向量的模 【专题】计算题；平面向量及应用【分析】根据平面向量数量积的定义，求出的值，再求向量的模长即可【解答】解：由题意得，|=2，|=1，向量与的夹角为60，=21cos60=1，|+2
20、|=2故答案为：2【点评】本题考查了平面向量数量积的定义以及向量模长的计算问题，是基础题目14如图为甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是58【考点】茎叶图 【专题】计算题；概率与统计【分析】由茎叶图可知甲得分数据共有13个，出现在中间第7位的数据是32，乙得分的中位数是32乙得分数据共有13个，出现在中间第7位的数据是26，乙得分的中位数是26，即可得出结论【解答】解：由茎叶图可知甲得分数据共有13个，出现在中间第7位的数据是32，乙得分的中位数是32乙得分数据共有13个，出现在中间第7位的数据是26，乙得分的中位数是26两数之和32+26=58故答案为：5
21、8【点评】本题考查茎叶图和中位数，本题解题的关键是看清所给的数据的个数，计算中位数时，看清是有偶数个数字还是奇数个数字，选择出中位数15在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c、，已知a2c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC 则b=4【考点】余弦定理；正弦定理 【专题】计算题；解三角形【分析】利用余弦定理、正弦定理化简sinAcosC=3cosAsinC，结合a2c2=2b，即可求b的值【解答】解：sinAcosC=3cosAsinC，2c2=2a2b2a2c2=2b，b2=4bb0b=4故答案为：4【点评】本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档
22、题16某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【考点】由三视图求面积、体积 【专题】空间位置关系与距离【分析】几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，结合直观图分别求出直三棱柱的体积和消去的三棱锥的体积，相减可得几何体的体积【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图：直三棱柱的体积为222=4消去的三棱锥的体积为212=，几何体的体积V=4=故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状三、解答题（本大题共6小题，共70分）17已知函数f（x）=sinxcos（x）+cos2x（1）求函数f（x）的最大值；（2）已知ABC的面积为，
23、且角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=5，求a的值【考点】余弦定理；三角函数的最值 【专题】解三角形【分析】（1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）=sin（2x+）+，从而求得函数的最大值（2）根据f（A）=，求得A的值，再根据ABC的面积为，求得bc=4，结合b+c=5求得b、c的值，再利用余弦定理求得a的值【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcos（x）+cos2x=sinx（cosx+sinx）+（2cos2x1）sinxcosx+cos2x=（sinxcosx+cos2x）+=sin（2x+）+，故函数的最大值为+=（2）由题意可得f（A）=sin（2
24、A+）+，sin（2A+）=再根据2A+（，），可得2A+=，A=根据ABC的面积为bcsinA=，bc=4，又b+c=5，b=4、c=1，或b=1、c=4利用余弦定理可得a2=b2+c22bccosA=13a=【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的值域，余弦定理，属于中档题18某校在一次期末数学统测中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于60分到140分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组60，70），第二组70，80），第八组130，140，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部
25、分 （）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（）估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（可用中值代替各组数据平均值）；（）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名，求他们的分差不小于10分的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图；众数、中位数、平均数 【专题】概率与统计【分析】（）根据所有频率之和等于1求出第七组的频率，然后绘图即可；（）利用平均数计算公式计算即可；（）一一列举所有满足从中任取2人的所有基本事件，找到分差在以上的基本事件，利用概率公式计算即可【解答】解：（）由频率分布直方图知第七组频率为：f7=1（0.004+0.012+0.016+0.03
26、+0.02+0.006+0.004）10=0.08；直方图如图所示 （）该校这次考试的平均成绩为：650.04+750.12+850.16+950.3+1050.2+1150.06+1250.08+1350.04=97，（）第六组有学生3人，分别记作A1，A2，A3，第八组有学生2人，分别记作B1，B2；则从中任取2人的所有基本事件为 （A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，A2），（A1，A3），A2，A3），（B1，B2）共10个分差在以上，表示所选2人来自不同组，其基本事件有6个：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1
27、），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），所以从中任意抽取2人，分差在以上的概率P=【点评】本题主要考查了频率分布直方图、平均数、古典概型的概率问题，属于基础题19某种产品的广告费支出x与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据：x24568y3040506070如果y与x之间具有线性相关关系（1）求这些数据的线性回归方程；（2）预测当广告费支出为9百万元时的销售额附：线性回归方程中，【考点】线性回归方程 【专题】概率与统计【分析】（1）由表中数据，我们不难求出x，y的平均数，及xi2的累加值，及xiyi的累加值，代入回归直线系数计算公式，即可求出回归直线方程（2）将x=9百万元代入
28、回归直线方程，解方程即可求出相应的销售额【解答】解：（1）=（2+4+5+6+8）=5，=（30+40+50+60+70）=50.=145，=1390，=7，=5075=15，8分因此，所求回归直线方程为：=7x+15；（2）当x=9时，=79+15=78即当广告费支出为9百万元时，销售额为78百万元12分【点评】本题考查的知识点是散点图及回归直线方程的求法，难度不大，注意计算时要小心，不要算错20已知关于x的一元二次函数f（x）=ax24bx+1（1）设集合P=1，2，3和Q=1，1，2，3，4，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间1，+）上是增函数的概率；（2
29、）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间1，+）上是增函数的概率【考点】等可能事件的概率 【专题】计算题【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是35，满足条件的事件是函数f（x）=ax24bx+1在区间1，+）上为增函数，根据二次函数的对称轴，写出满足条件的结果，得到概率（2）本题是一个等可能事件的概率问题，根据第一问做出的函数是增函数，得到试验发生包含的事件对应的区域和满足条件的事件对应的区域，做出面积，得到结果【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是35=15，函数f（x）=ax24bx+1的图象的对称轴为，要使f（x）
30、=ax24bx+1在区间1，+）上为增函数，当且仅当a0且，即2ba若a=1则b=1，若a=2则b=1，1；若a=3则b=1，1；事件包含基本事件的个数是1+2+2=5所求事件的概率为（2）由（）知当且仅当2ba且a0时，函数f（x）=ax24bx+1在区是间1，+）上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为构成所求事件的区域为三角形部分由得交点坐标为，所求事件的概率为【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到21如图所示，在四棱锥PABCD中，底面AB
31、CD为正方形，侧棱PA底面ABCD，PA=AD=1，E、F分别为PD、AC的中点（）求证：EF平面PAB；（）求直线EF与平面ABE所成角的大小【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定 【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用【分析】（）取PA中点M，AB中点N，连接MN，NF，ME，容易证明四边形MNFE为平行四边形，所以EFMN，所以得到EF平面PAB；（）分别以向量的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz可以确定点P，A，B，C，D，E，F的坐标，从而确定向量的坐标，设平面ABE的法向量为，根据即可求得一个法向量，根据法向量和向量的夹角和EF与平面AB
32、E所成的角的关系即可求出所求的角【解答】解：（）证明：分别取PA和AB中点M，N，连接MN、ME、NF，则NFAD，且NF=，MEAD，且ME=，所以NFME，且NF=ME所以四边形MNFE为平行四边形；EFMN，又EF平面PAB，MN平面PAB，EF平面PAB；（）由已知：底面ABCD为正方形，侧棱PA底面ABCD，所以AP，AB，AD两两垂直；如图所示，以A为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，所以：P（0，0，1），A（0，0，0，），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），；，；设平面ABE法向量，则；令b=1，则c=1，a=0；为平面
33、ABE的一个法向量；设直线EF与平面ABE所成角为，于是：；所以直线EF与平面ABE所成角为【点评】考查线面平行的判定定理，通过建立空间直角坐标系，用向量的方法求一直线和平面所成的角，以及两非零向量垂直的充要条件22在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y212x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B（）求k的取值范围；（）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由【考点】直线和圆的方程的应用；向量的共线定理 【专题】计算题；压轴题【分析】（）先把圆的方程整理成标准方程，进而求得圆心，设出直线方程代入圆方程整理后，根据判
34、别式大于0求得k 的范围，（）A（x1，y1），B（x2，y2），根据（1）中的方程和韦达定理可求得x1+x2的表达式，根据直线方程可求得y1+y2的表达式，进而根据以与共线可推知（x1+x2）=3（y1+y2），进而求得k，根据（1）k的范围可知，k不符合题意【解答】解：（）圆的方程可写成（x6）2+y2=4，所以圆心为Q（6，0），过P（0，2）且斜率为k的直线方程为y=kx+2代入圆方程得x2+（kx+2）212x+32=0，整理得（1+k2）x2+4（k3）x+36=0 直线与圆交于两个不同的点A，B等价于=4（k3）2436（1+k2）=42（8k26k）0，解得，即k的取值范围为（）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由方程，又y1+y2=k（x1+x2）+4 而所以与共线等价于（x1+x2）=3（y1+y2），将代入上式，解得由（）知，故没有符合题意的常数k【点评】本题主要考查了直线与圆的方程的综合运用常需要把直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理和判别式求得问题的解
