1、2019-2019学年数学北师大版九年级上册2.5一元二次方程的根与系数之间的关系 同步训练一、选择题1.若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（） A.-2B.2C.4D.-32.设a，b是方程x2+x2019=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（） A.2019B.2019C.2019D.20193.下列一元二次方程中，两个实数根之和为1的是( ) A.x+x+2=0B.x+x-2=0C.x-x+2=0D.x-x-2=04.如果一元二次方程x2-3x-1=0的两根为x1、x2 ， 那么x1+x2=（） A.-3B.3C.-1D.15.在RtABC中，斜边AB=5，
2、而直角边BC，AC之长是一元二次方程x2-（2m-1）x+4（m-1）=0的两根，则m的值是（ ） A.4B.-1C.4或-1D.-4或16.已知m，n是关于x的一元二次方程x22tx+t22t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（ ） A.7B.11C.12D.167.关于x的一元二次方程：x24xm2=0有两个实数根x1、x2 ， 则m2（ ）=（ ） A.B.C.4D.48.关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正.给出三个结论：这两个方程的根都是负根； (m-1)2+(n-1
3、)22；-12m-2n1.其中正确结论的个数是（ ） A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题9.已知关于x的一元二次方程x2+kx6=0有一个根为3，则方程的另一个根为_ 10.已知实数m，n满足3m2+6m5=0，3n2+6n5=0，且mn，则 _. 11.若x1 ， x2是一元二次方程x2+3x5=0的两个根，则x12x2+x1x22的值是_ 12.设m、n是一元二次方程x2+2x7=0的两个根，则m2+3m+n=_ 13.关于x的一元二次方程x2+2x2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是_ 14.通过学习，爱好思考的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，即一元
4、二次方程ax2+bx+c=0（a0），当b24ac0时有两个实数根：x1= ，x2= ，于是：x1+x2= ，x1x2= 、这就是著名的韦达定理请你运用上述结论解决下列问题：关于x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根分别为x1 ， x2 ， 且x12+x22=1，则k的值为_ 三、解答题15.已知关于x的一元二次方程x2xm2-2m0有一个实根为-1，求m的值及方程的另一个实根. 16.已知关于x的方程（ 的两根之和为 ，两根之差为1，其中a,b,c是ABC的三边长 （1）求方程的根； （2）试判断ABC的形状 17.关于x的一元二次方程 有两个不等实根 （1）求实数k的取值范围 （
5、2）若方程两实根 满足 ，求k的值 18.已知关于x的一元二次方程（x-1）（x-4）=p2 ， p为实数 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）p为何值时，方程有整数解（直接写出三个，不需说明理由） 19.设x1 ， x2是一元二次方程2x2x30的两根，求下列代数式的值 （1）x12x22； （2）； （3）x12x223x1x2. 20.已知关于x的一元二次方程x22x+m1=0有两个实数根x1 ， x2 （1）求m的取值范围； （2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值 21.已知在关于x的分式方程 和一元二次方程（2k）x2+3mx+（3k）n=0中，k、m、n均为实数，
6、方程的根为非负数 （1）求k的取值范围； （2）当方程有两个整数根x1、x2 ， k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程的整数根； （3）当方程有两个实数根x1、x2 ， 满足x1（x1k）+x2（x2k）=（x1k）（x2k），且k为负整数时，试判断|m|2是否成立？请说明理由 答案解析部分一、选择题 1.【答案】A 【考点】根与系数的关系 【解析】解答: 设一元二次方程的另一根为 ， 则根据一元二次方程根与系数的关系，得-1+ =-3，解得： =-2故选A分析: 根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根2.【答案】C 【考点】一元二次方程的解，根与系数的
7、关系 【解析】【解答】解：a是方程x2+x2019=0的根，a2+a2019=0，a2=a+2019，a2+2a+b=a+2019+2a+b=2019+a+b，a，b是方程x2+x2019=0的两个实数根，a+b=1，a2+2a+b=20191=2019故选C【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2=a+2019，则a2+2a+b=2019+a+b，然后根据根与系数的关系得到a+b=1，再利用整体代入的方法计算3.【答案】D 【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：A=1412=70，方程无实数根，故不符合题意；B两根之和=1，故不符合题意；
8、C=1412=70，方程无实数根，故不符合题意；D两根之和=1，故符合题意故答案为：D【分析】根据根与系数的关系和根的判别式可求解。（1）=1412=70，则方程无实数根；（2）两根之和=1；（3）=1412=70，则方程无实数根；（4）=141（-2）=90，且两根之和=1。4.【答案】B 【考点】根与系数的关系 【解析】解答：根据题意可得x1+x2= =3，故选B分析: 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式5.【答案】A 【考点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：如图设BC=a，AC=b根据题意得a+b=2m-1，ab=4（m-1）由勾股定理可
9、知a2+b2=25，a2+b2=（a+b）2-2ab=（2m-1）2-8（m-1）=4m2-12m+9=25，4m2-12m-16=0，即m2-3m-4=0，解之得m1=-1，m2=4a+b=2m-10，即m ，m=4故答案为：A【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出a+b和ab，利用勾股定理可得出a2+b2=25，再将方程左边转化为（a+b）2-2ab，然后整体代入建立关于m的方程，解方程求出m的值，再由a+b0，确定m的值。6.【答案】D 【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：m，n是关于x的一元二次方程x22tx+t22t+4=0的
10、两实数根，m+n=2t，mn=t22t+4，（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7方程有两个实数根，=（2t）24（t22t+4）=8t160，t2，（t+1）2+7（2+1）2+7=16故答案为：D【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出m+n和mn，再将代数式转化为mn+2（m+n）+4，整体代入，可得出（t+1）2+7，然后由b2-4ac0，求出t的取值范围，就可得出答案。7.【答案】D 【考点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：x24xm2=0有两个实数根x1、x2 ， ，则m2（ ）= = =4故答案为：D【分析】利用一元二
11、次方程根与系数的关系，求出x1+x2和x1x2的值，再将代数式的括号里的分式通分，然后整体代入求值。8.【答案】D 【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】根据根与系数的关系，关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0的两根积为2n，而两个整数根且乘积为正，得n0，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0的两根和为-2n且两根是同号，故关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0的两根都是负数.同理关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0的两根也都是负数.故正确. 两根方程都有两个整数根0即4m2-8n0 4n2-8m0 的m2-2n0，n2-2m
12、0 (m-1)2+(n-1)2=m2-2m +1+n2-2n+1=m2-2n+1+ n2-2m+12 故正确. 设x1、x2是方程x2+2mx+2n=0的两根，根据根与系数的关系得x1+x2=-2m，x1x2=2n方程的两个根都是负数且为整数，x1-1， x2-1 （x1+1）（x2+1）0 得x1x2+ x1+x2+10 ，2n-2m+10 2m-2n1 同理设y1、y2是方程y2+2ny+2m=0的两根, 得y1y2+ y1+y2+10 2m-2n+10 2m-2n-1故正确故答案为：D.【分析】根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数，可对作出判断；根据根的判别式，以及题意可
13、以得出m2-2n0以及n2-2m0，进而得解，可对作出判断；可以采用根与系数关系进行解答，据此即可得解。二、填空题 9.【答案】2 【考点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：设方程的另一个根为a，则根据根与系数的关系得：a+（3）=k，3a=6，解得：a=2，故答案为：2【分析】设方程的另一个根为a，利用方程的两根之和建立关于k的方程，解方程求出k的值。10.【答案】- 【考点】利用分式运算化简求值，一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：两个不相等的实数m，n满足3m2-6m=4，3n2-6n=4，可以把m，n看作是方程3x2-6x-4=0的两个根，mn=- m+n
14、=-2 = = =- 【分析】根据题意可把m，n看作是方程3x2-6x-4=0的两个根，求出mn和m+n的值，再将通分转化为， 然后整体代入求值。11.【答案】15 【考点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：x1 ， x2是一元二次方程x2+3x5=0的两个根，x1+x2=3，x1x2=5，x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=5（3）=15，故答案为：15【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2和x1x2的值，再将x12x2+x1x22分解因式得出x1x2（x1+x2），然后整体代入求值。12.【答案】5 【考点】根与系数的关系 【解析】【解答】解：设
15、m、n是一元二次方程x2+2x7=0的两个根， m+n=2，m是原方程的根，m2+2m7=0，即m2+2m=7，m2+3m+n=m2+2m+m+n=72=5，故答案为：5【分析】根据根与系数的关系可知m+n=2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案13.【答案】m 【考点】根的判别式，根与系数的关系，解一元一次不等式 【解析】【解答】解：设x1、x2为方程x2+2x2m+1=0的两个实数根， 由已知得： ，即 解得：m 故答案为：m 【分析】设x1、x2为方程x2+2x2m+1=0的两个实数根由方程有实数根以及两根之积为负可得出
16、关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论14.【答案】-1 【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：x1 ， x2为一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根，=k24（k+1）0，且x1+x2=k，x1x2=k+1，解得：k22 或k2+2 ，又x12+x22=1，即（x1+x2）2x1x2=1，（k）2（k+1）=1，即k2k2=0，解得：k=1或k=2（舍），故答案为：1【分析】利用一元二次方程根的判别式求出k的取值范围，再利用根与系数的关系求出x1+x2=k，x1x2=k+1，将x12+x22=1转化为（x1+x2）2x1x2=
17、1，然后代入建立关于k的方程，求出方程的解，结合k的取值范围，得出k的值。三、解答题 15.【答案】解：把x1代入方程，得 11m2-2m0.解得m10,m22.设方程的另一个根为x2,则由一元二次方程根与系数的关系可得 1x21.x20. 【考点】一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】将x=-1代入方程求出m的值，再将m的值代入方程，解方程可求解。或利用一元二次方程根与系数的关系，建立方程组，即可解答。16.【答案】（1）解：设方程的两根为 ，则 解得 （2）解：当 时， ，所以c=a.当x=-1时， 即a+c-2b-c+a=0所以a=b.所以a=b=c.所以ABC
18、为等边三角形 【考点】一元二次方程的根与系数的关系，等边三角形的判定 【解析】【分析】（1）根据题意列出关于 x 1 , x 2的方程组，解方程组，就可求出方程的两根。（2）分别将x=0和x=-1代入方程，得出a=b，a=c，就可得出a、b、c的关系，可得出结论。17.【答案】（1）解：原方程有两个不相等的实数根，=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-30，解得：k ；（2）解：k ，x1+x2=-（2k+1）0，又x1x2=k2+10，x10，x20，|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=2k+1，|x1|+|x2|=x1x2 ， 2k+1=k2
19、+1，k1=0，k2=2，又k ，k=2 【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】（1）根据原方程有两个不相等的实数根，可得出b2-4ac0，建立关于k的不等式，求解即可。（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1x2的值，再根据（1）中k的取值范围确定x1+x20，x1x20，从而可得出x10，x20，再化简|x1|+|x2|=-（x1+x2）=x1x2 ， 然后整体代入建立关于k的方程，利用因式分解法求出符合条件的k的值。18.【答案】（1）解：原方程可化为x2-5x+4- p2=0，=（-5）2-4（4- p2）=4 p2+90，
20、不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根（2）解：方程有整数解，x1x2=4- p2为整数即可，当p=0，2时，方程有整数解 【考点】一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】（1）将原方程转化为一元二次方程的一般形式，再证明0，即可解答。（2）根据方程有整数解，可得出4- p2为整数，可得出k的值。19.【答案】（1）解：由题意得：x1x2，x1x2- ；x12x22(x1x2)22x1x2()2-2（-）（2）解： = =- （3）解：x12x223x1x2=（x1+x2）2-5x1x2=()2-5（-）= 【考点】代数式求值，一元二
21、次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得出x1x2和x1x2的值（1）将原式配方转化为(x1x2)22x1x2 ， 再代入求值。（2）将原式通分转化为， 再代入求值。（3）将原式配方转化为（x1+x2）2-5x1x2 ， 再代入求值。20.【答案】（1）解：原方程有两个实数根，=（2）24（m1）0，整理得：44m+40，解得：m2（2）解：x1+x2=2，x1x2=m1，x12+x22=6x1x2 ， （x1+x2）22x1x2=6x1x2 ， 即4=8（m1），解得：m=m= 2，符合条件的m的值为 【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与
22、系数的关系 【解析】【分析】（1）根据方程由两个实数根，可得出b2-4ac0，建立关于m的不等式，求解即可。（2）利用一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2=2，x1x2=m1，可得出x12+x22=（x1+x2）22x1x2 ， 再根据x12+x22=6x1x2建立关于m的方程，然后求出符合条件的m的值。21.【答案】（1）解：关于x的分式方程 的根为非负数，x0且x1，又x= 0，且 1，解得k1且k1，又一元二次方程（2k）x2+3mx+（3k）n=0中2k0，k2，综上可得：k1且k1且k2（2）解：一元二次方程（2k）x2+3mx+（3k）n=0有两个整数根x1、x2 ， 且k=
23、m+2，n=1时，把k=m+2，n=1代入原方程得：mx2+3mx+（1m）=0，即：mx23mx+m1=0，0，即=（3m）24m（m1），且m0，=9m24m（m1）=m（5m+4）0，则m0或m ；x1、x2是整数，k、m都是整数，x1+x2=3，x1x2= =1 ，1 为整数，m=1或1，由（1）知k1，则m+21，m1把m=1代入方程mx23mx+m1=0得：x23x+11=0，x23x=0，x（x3）=0，x1=0，x2=3；（3）解：|m|2成立，理由是：由（1）知：k1且k1且k2，k是负整数，k=1，（2k）x2+3mx+（3k）n=0且方程有两个实数根x1、x2 ， x1+
24、x2= = =m，x1x2= = n，x1（x1k）+x2（x2k）=（x1k）（x2k），x12x1k+x22x2k=x1x2x1kx2k+k2 ， x12+x22x1x2+k2 ， （x1+x2）22x1x2x1x2=k2 ， （x1+x2）23x1x2=k2 ， （m）23 n=（1）2 ， m24n=1，n= ，=（3m）24（2k）（3k）n=9m248n0，把代入得：9m248 0，m24，则|m|2，|m|2成立 【考点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】（1）先求出分式方程的解，再由再由此方程的根为非负数及x1，求出k的取值范围；再由方程是一元二次方程，可得出2k0，求出k的取值范围，综上所述，可得出k的取值范围。（2）先把k=m+2，n=1代入方程化简，由方程有两个整数实根得是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和-1，再根据方程有两个整数根得.0,得出m0或m,符合题意，分别把m=1和-1代入方程后解出即可。（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=-1，化简已知所给的等式，并将两根和积代入计算得出m的等式，并由根的判别式组成两式可作出判断。
