1、高考数学模拟考试卷(十五)一、 选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1(5分)已知集合,若,则实数的取值范围为AB,CD,2(5分)若复数满足,其中为虚数单位,则复数的虚部为A1BCD3(5分)已知,则ABCD4(5分)设非零向量,满足,则ABC2D5(5分)人的心脏跳动时,血压在增加或减少,血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数为标准值设某人的血压满足函数式,其中为血压(单位:,为时间(单位:,则下列说法正确的是A收缩压和舒张压均高于相应的标准值B收缩压和舒张压均低于相应的标准值C收缩压高
2、于标准值,舒张压低于标准值D收缩压低于标准值,舒张压高于标准值6(5分)在平面直角坐标系中,已知点和圆,在圆上任取一点,连接,则直线的斜率大于的概率是ABCD7(5分)已知抛物线的焦点为,准线为,过的直线与抛物线交于点,与交于点,若,则A2B3C4D68(5分)球面上两点之间的最短连线的长度,就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度(大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆),我们把这个弧长叫做两点的球面距离已知正的顶点都在半径为2的球面上,球心到所在平面距离为,则,两点间的球面距离为ABCD二、 选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全
3、部选对的得5分,部分选对的对2分,有选错的得0分。9(5分)已知函数,的部分图象如图所示,则下列选项正确的是A函数的最小正周期为B,为函数的一个对称中心CD函数向右平移个单位后所得函数为偶函数10已知,下列选项中正确的为A若,则B若,则C若,则D若,则11(5分)已知函数,若,则ABCD12(5分)设随机变量表示从1到这个整数中随机抽取的一个整数,表示从1到这个整数中随机抽取的一个整数,则A当时,B当时,C当且时,D当时,的数学期望为三、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13(5分)的展开式中的常数项为(用数字作答)14(5分)已知向量,若,且,则,15(5分)已知数列是公差为的等
4、差数列,设,若存在常数,使得数列为等比数列,则的值为16(5分)在平面直角坐标系中,设抛物线与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为,抛物线的焦点恰与双曲线的右顶点重合,轴,则 ;若,则四、 解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(10分)在中,角,的对边分别为,且(1)求角的大小;(2)设为边上一点,求面积的最小值18(12分)已知数列的首项为,是的前项和()若求数列的通项;()若,证明:19(12分)为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果,某药物研究所科研人员从某市随机选取20000名志愿者,并将该疫苗注射到这些人体内,独立环境下试验一段时间后检测这些人的某项
5、医学指标值,统计得到如表频率分布表:医学指标值,频率0.050.10.150.40.20.060.04()根据频率分布表,估计20000名志愿者的该项医学指标平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示);()若认为注射该疫苗的人群的此项医学指标值服从正态分布,用()中的平均值近似代替,且,且首次注射疫苗的人该项医学指标值不低于14时,则认定其体内已经产生抗体;现从该市随机抽取3人进行第一次疫苗注射,求能产生抗体的人数的分布列与期望20(12分)如图,在四边形中,沿将翻折到的位置,使得(1)作出平面与平面的交线,并证明平面;(2)点是棱上异于,的一点,连接,当二面角的余弦值为时,求此时三棱锥的
6、体积21(12分)已知抛物线的焦点是,若过焦点的直线与相交于,两点,所得弦长的最小值为4(1)求抛物线的方程;(2)设,是抛物线上两个不同的动点,为坐标原点,若,为垂足,证明:存在定点,使得为定值22(12分)已知函数,(1)若恒成立,求的最大值;(2)若函数存在两个极值点,求的取值范围;设曲线在处的切线方程为当时,试比较与的大小,并说明理由高三模拟考试卷(十五)答案1解:,且,的取值范围为:,故选:2解:由,得,故选:3解:,故,故选:4解:非零向量,满足,可得,解得故选:5解:,即为收缩压为126,舒张压为76,读数为标准值,收缩压高于标准值、舒张压低于标准值,即选项符合,故选:6(解:当
7、直线的倾斜角为时,斜率,当沿着圆弧顺时针运动时,斜率小于,由得所求概率故选:7解:如图所示:过点作准线于,过点作准线于,则,又因为,即,所以,所以,过作,则,由可得:,又因为,所以,即点到准线的距离为3,所以由抛物线定义可得,故选:8解:设正的中心为,连结,是正的中心,、三点都在球面上,平面,球的半径,球心到平面的距离为,得,两点间的球面距离为:故选:9解:根据函数,的部分图象,可得,所以,故正确;由,可得,由点,在函数图像上,可得,可得,解得,因为,可得,可得,因为,故错误;由于,故正确;将函数向右平移个单位后所得函数为为偶函数,故正确故选:10解:当,时,满足,但,错误,:若,则,即,即,
8、正确,:若,则,由于,所以,所以,故正确,:若,则即可,当,故错误故选:11解:因为,定义域为,所以为奇函数,又,所以在上单调递增,由,可得,所以,所以,故正确;又因为函数在上单调递增,所以,故正确;由,取特殊值,可判断,错误故选:12解:当时,因此不正确;当时,;,时,;,时,因此正确当且时,因此正确当时,的分布列为:12,的分布列为:12因此正确故选:13解:展开式的通项公式为令得得常数项为故答案为2414解:根据题意,向量,则,若,则,解可得:或,又由,则,则,则有,故,故答案为:15解:数列是公差为的等差数列,可得,由于数列为等比数列,所以,即故答案为:16解:抛物线的焦点恰与双曲线的
9、右顶点重合,即,轴,且点在渐近线上,又在抛物线上,联立,且,则有,解得,由抛物线的定义知,故答案为:2;217解:(1)由正弦定理知,又,(2)由(1)知,在中,由余弦定理知,在中,由余弦定理知,由角分线定理知,化简得,当,即时,为等腰三角形,其面积为定值;当时,有,当且仅当时,等号成立,的面积,面积的最小值为18()解:由得:当时,即,时,又,当时,数列的通项公式为()证明:若得:,各式相加得:,又,19解:();()由,且正态密度曲线关于对称,所以,由题意可得,随机变量,1,2,3,且,所以,所以随机变量的分布列为:0123所以随机变量的数学期望为20解:(1)如图,延长,相交于,连接,则
10、为平面与平面的交线证明:在中,则,由,得平面,又,平面,则,由,得,可得,又,平面,即平面;(2)由(1)知,以点为坐标原点,分别以,所在直线为,轴建立空间直角坐标系,则,0,1,1,0,0,设,则,设是平面的一个法向量,则,取,可得,是平面的一个法向量,由,解得,点是的中点,21解:(1)设直线的方程为,联立得,所以,所以,当时,,解得,所以抛物线的方程为设直线的方程为,因为,则,即,又,所以,解得,联立,得,所以,则直线的方程为,所以直线过定点,记作点,当点与点不重合时,为直角三角形,当为的中点时,当点与点重合,为中点时,所以存在点,使得为定值222解:(1)函数,定义域为,当时,在上恒成立,所以在上恒成立,令,则,取可知,这与恒成立矛盾,不符合题意;当时,在上恒成立,当时,在上恒成立,即,令,则,令,解得,当时,故单调递增,当时,故单调递减,所以,所以,解得综上所述,的取值范围为,所以的最大值为;(2)函数,则,要使存在两个极值点,则在上有两个不相等的正根,故,解得,故的取值范围为;因为,所以,故,令,则,故在上单调递增,又,所以当时,即;当时,即;当时,即