1、综合测评(满分:150 分;时间:120 分钟)一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合 M=x|-3x1,N=-3,-2,-1,0,1,则 MN=()A.-2,-1,0,1 B.-3,-2,-1,0 C.-2,-1,0 D.-3,-2,-1 2.命题“xR,x2+1 ”的否定是()A.xR,x2+1 B.xR,x2+1 C.xR,x2+1 D.xR,x2+10 成立,则实数 a 的取值范围是 ()A.+B.(1,8)C.(4,8)D.4,8)8.函数 y=-的图象与函数 y=sin x(-2x4)的图象
2、所有交点的横坐标之和等于()A.2 B.4 C.6 D.8 二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分)9.设 a0,b0,下列不等式中恒成立的是()A.a2+1a B.a2+96a C.(a+b)()()()4 10.已知函数 f(x)=Asin(x+)+B(A0,0,0f(b),a,b 不为零,则下列不等式成立的是()A.a3b3 B.(a-b)(a+b)0 C.ea-b1 D.ln|0 12.已知函数 f(x)=-若方程 f(x)=m 有四个不同的实根 x1
3、,x2,x3,x4,且满足x1x2x3x4,则下列说法正确的是()A.x1x2=1 B.=1 C.x3+x4=12 D.x3x4(27,29)三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在题中横线上)13.若角 的顶点在坐标原点,始边为 x 轴的非负半轴,终边所在直线过点(3,-4),则 sin()=.14.若幂函数 f(x)=(m2-5m+7)xm在 R 上为增函数,则 logm =.15.已知 f(x)为定义在 R 上的偶函数,当 x0 时,f(x)=2x,则当 x0 时,f(x)=;若 f(1-2x)0,0,|0.对选择的 g(x)和任意 x2,4,不等式 fg
4、(x)0 恒成立,求实数 a 的取值范围.答案全解全析 全书综合测评 一、单项选择题 1.C 因为集合 M=x|-3x1,N=-3,-2,-1,0,1,所以 MN=0,-1,-2,故选 C.2.C 全称量词命题的否定为存在量词命题 命题的否定为 xR,x2+10 时,f(x)0,故对应题图;(4)y=x2x既不是奇函数也不是偶函数,故它的图象没有对称性,故对应题图.故选 A.7.D 对任意的实数 x1,x2,x1x2,都有 -0 成立,函数 f(x)在 R 上单调递增,-(-)解得 a4,8).故选 D.8.D 作出函数 y=-与函数 y=sin x(-2x4)的图象如图所示,易知两图象均关于
5、点(1,0)成中心对称,结合图象可知两函数图象共有 8 个交点,设其从左到右分别为 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,则x1+x8=x2+x7=2,x3+x6=2,x4+x5=2,所以所有交点的横坐标之和为 8.二、多项选择题 9.ACD a2+1-a=(-)+0,故 A 恒成立;a2+9-6a=(a-3)20,故 B 不恒成立;(a+b)()=1+12+2 =4,当且仅当 =,即 a=b 时取等号,故 C 恒成立;a+2,b+2,()()4,当且仅当 a=,b=,即 a=b=1 时取等号,故 D 恒成立.故选 ACD.10.BCD 由题表可得 A+B=2B=2,A+B=5A=3
6、,=-=2,+=,f(x)=3sin()+2,故 A 错误;令 g(x)=3sin(),g(-)=3sin(-)=-3,直线 x=-是函数 g(x)图象的一条对称轴,即为 f(x)图象的一条对称轴,故 B 正确;g(-)=3sin(-)=0,(-)是函数 g(x)图象的一个对称中心,(-)是函数 f(x)图象的一个对称中心,故 C 正确;函数 f(x)的图象先向左平移 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度后所得图象对应的函数为 y=3sin()+2-2=-3sin2x,易知该函数为奇函数,故 D 正确.故选 BCD.11.BD 易知 f(x)的定义域为x|x0.因为 f(-x)=log2|-
7、x|+(-x)2-2=log2|x|+x2-2=f(x),所以 f(x)是偶函数.当 x0 时,f(x)=log2x+x2-2,为增函数,所以当 xf(b),且 a,b 不为零,可知|a|b|0.当 a=-2,b=1 时,a3b3,ea-b=e-30|a|b|0,故 B 选项正确.ln|0|1|a|b|0,故 D 选项正确.故选 BD.12.BCD 方程 f(x)=m 的实根等价于函数 y=f(x)与 y=m 图象的交点的横坐标.如图,作出函数 y=f(x)与 y=m 的图象.依题意得,|log2(x1-1)|=|log2(x2-1)|且 1x12x23,2(x1-1)+log2(x2-1)=
8、0,即(x1-1)(x2-1)=1,x1x2-x1-x2+1=1,+=1,故选项 A 错误,选项 B 正确;易知 x3,x4是方程 x2-6x+=m(0m1)的两根,即方程 x2-12x+29-2m=0 的两根,x3+x4=12,x3x4=29-2m(27,29),故选项 C,选项 D 均正确.故选 BCD.三、填空题 13.答案-解析 由题意可得 cos=-=,所以 sin()=-cos=-.14.答案 4 解析 函数 f(x)=(m2-5m+7)xm是幂函数,m2-5m+7=1,解得 m=3 或 m=2.f(x)在 R 上是增函数 m=3.m +2lg5+lg4+=log3 +lg25+l
9、g4+=log3 +lg100+=+2+=4.15.答案 2-x;x|-1x2 解析 设 x0,因为当 x0 时,f(x)=2x,所以 f(-x)=2-x,又函数 f(x)为定义在 R 上的偶函数,所以 f(-x)=f(x)=2-x,所以当 x0 时,f(x)=2-x.由题意得|1-2x|3,解得-1x2,故 x 的取值范围是x|-1x0),则 +t2-2m()+2m2-6=0,即()-2m()+2m2-8=0 在 t +上有解.令 h=+t(h2),则 g(h)=h2-2mh+2m2-8=0 在 h +上有解,易知函数 g(h)的图象的对称轴为 h=m,当 m2 时,g(h)g(m),g(m
10、)=m2-2m2+2m2-80,m2;当 m2 时,g(h)g(2),g(2)=4-4m+2m2-80,-m2.综上,1-m2.四、解答题 17.解析(1)集合 A=|-=(-3)+所以RA=-3,6.集合 B=xR|2x2-(a+10)x+5a0=xR|(2x-a)(x-5)0.(2 分)因为 BRA,且 5RA=-3,6,所以只需-3 6,(4 分)所以-6a12.(5 分)(2)由(1)可知 BRA 的充要条件是 a-6,12.(7 分)选择-7,12)-6,12且-6,12-7,12),则 a-7,12)是 BRA 的既不充分又不必要条件.(10分)选择 -6,12-6,12,但-6,
11、12(-6,12,则 a(-6,12是 BRA 的充分不必要条件.(10 分)选择 -6,12,但-6,12(6,12,则 a(6,12是 BRA 的充分不必要条件.(10 分)18.解析(1)由题意可设函数 f(x)=ax2+bx+c(a0).f(0)=2,c=2.(2 分)f(x+1)-f(x)=2x-1,a(x+1)2+b(x+1)+2-ax2-bx-2=2x-1,即 2ax+a+b=2x-1.-(4 分)f(x)=x2-2x+2.(6 分)(2)令 g(t)=f(2t)=(2t)2-22t+2=(2t-1)2+1.(8 分)t-1,3,t ,t-1-,t-1)20,49,(10 分)g
12、(t)1,50.(11 分)当 t-1,3时,y=f(2t)的值域为1,50.(12 分)19.解析(1)由题图可知 A=2,=即 T=所以=,所以 f(x)=2sin().因为 f(0)=1=2sin,|,所以=.所以函数 f(x)=2sin().(2 分)由题图得 f(x0)=2sin()=2,所以 x0+=+2k kZ,解得 x0=+4k kZ.因为在 y 轴右侧的第一个最高点的坐标为(x0,2),所以 x0=.(4 分)(2)令-+2k x+2k kZ,得-+4k x +4k kZ,所以函数的单调增区间为-+4k +4k(kZ).(7 分)x-x+-,-sin()1,(10 分)-2s
13、in()2.函数 f(x)的值域为-,2.(12 分)20.解析(1)易知花圃的 EF 边的长为(x-10)米,花圃与的一边长为(-)米,其邻边长为-米,(2 分)所以 S=(-)-+x-10)=10350-15().(4 分)又 -所以 50 x200,(6 分)故 S=10350-15(),x50,200.(8 分)(2)由基本不等式可得 x+2 =200,当且仅当 x=,即 x=100 时,等号成立,(10 分)故当 x=100 时,Smax=7350,(11 分)即矩形展览场地 BC 的长为 100 米时,花圃占地总面积 S 取得最大值,最大为 7350 平方米.(12 分)21.解析
14、(1)证明:因为 x0是方程 f(x)=-x 的根,所以 =-x0,即 x0=-.(2 分)所以 g()=log2 =x0=-,(4 分)所以 是方程 g(x)=-x 的根.(5 分)(2)由题意知,方程 2x-1=-x,log2(x-1)=-x 的根分别为 x1,x2,即方程 2x-1=-(x-1),log2(x-1)=-(x-1)的根分别为 x1,x2.令 t=x-1,则 2t=-t,log2t=-t.设方程 2t=-t,log2t=-t 的根分别为 t1=x1-1,t2=x2-1.(7 分)由(1)知 t1是方程 2t=-t 的根,是方程 log2t=-t 的根.(8 分)令 h(t)=
15、log2t+t-,则 是 h(t)的零点,又因为 h(t)是 +上的增函数,所以 是 h(t)的唯一零点,即 是方程 log2t=-t 的唯一根.(10 分)所以 =t2,所以 t1+t2=t1+=,即(x1-1)+(x2-1)=,所以 x1+x2=+2=.(12 分)22.解析(1)当 a=5 时,f(x)=x2-5x-6.令 x2-5x-60,得 x-1 或 x6.(1 分)所以 3x-1(舍去)或 3x6,所以 x1+log32,所以 fg2(x)0 的解集为1+log3 +.(3 分)(2)令 t=g4(x)=cosx,xR,则 t-1,1,令 h(t)=t2-at-6,t-1,1,则 h(t)的最小值即为函数 y=fg4(x)的最小值.当-1 1,即-2a0,满足条件.当 x2,4时,m1,2,故 f(m)0 在1,2上恒成立.(10 分)故 -解得 a-1,所以实数 a 的取值范围是 a-1.(12 分)
