1、十四平面的基本事实与推论(25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共20分,多选题全部选对得4分,选对但不全得2分,有选错的得0分)1.(多选题)下列说法不正确的是()A.梯形的四个顶点共面B.三条平行直线共面C.有三个公共点的两个平面重合D.三条直线两两相交,可以确定3个平面【解析】选BCD.因为梯形有两边平行,所以梯形确定一个平面,所以A是正确的;三条平行直线不一定共面,如直三棱柱的三条平行的棱,所以B不正确;有三个公共点的两个平面不一定重合,如两个平面相交,三个公共点都在交线上,所以C不正确;三条直线两两相交,可以确定的平面个数是1或3,所以D不正确.2.已知点A,直线a,平面,以下命题
2、表达正确的个数是()Aa,aA;Aa,aA;Aa,aA;Aa,aA.A.0B.1C.2D.3【解析】选A.错,如图:a符号不对;错,如图:A符号书写不对.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,如果P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么在正方体中过点P,Q,R的截面图形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【解析】选D.如图,延长PQ分别交CB,CD的延长线于点M,N,连接MR,交BB1于点E,交CC1的延长线于点H,连接NH,分别交D1D,D1C1于点F,G,则六边形QPERGF为截面图形.4.(2020浙江高考)已知空间中不过同一点的三条直线m,n,l,则“m,n,l在
3、同一平面”是“m,n,l两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.已知m,n,l两两相交,可以推出m,n,l在同一个平面,反之,已知m,n,l在一个平面,可以推出m,n,l两两相交,或者mn,l与m,n相交等多种情况,故“m,n,l在同一平面”是“m,n,l两两相交”的必要不充分条件.5.如图所示,平面平面=l,A,B,C,Cl,直线ABl=D,过A,B,C三点确定的平面为,则平面,的交线必过()A.点AB.点BC.点C,但不过点DD.点C和点D【解析】选D.由已知,得点C和点D既在平面内又在平面内,故在与的交线上.二、填空题(每
4、小题4分,共8分)6.设平面与平面相交于l,直线a,直线b,ab=M,则M_l.【解析】因为ab=M,a,b,所以M,M.又因为=l,所以Ml.答案:【补偿训练】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,试根据图形填空:(1)平面ABB1A1平面A1B1C1D1=_;(2)平面A1C1CA平面ABCD=_;(3)平面A1C1CA平面D1B1BD=_;(4)平面A1B1C1D1,平面B1C1CB,平面ABB1A1的公共点为_.答案:(1)A1B1(2)AC(3)OO1(4)B17.空间三条直线,如果其中一条直线和其他两条直线都相交,那么这三条直线能确定的平面个数是_.【解析】如图,在正方体
5、ABCD-A1B1C1D1中,AA1AB=A,AA1A1B1=A1,直线AB,A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1).AA1AB=A,AA1A1D1=A1,直线AB,AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1).三条直线AB,AD,AA1交于一点A,它们可以确定三个平面(平面ABCD,平面ABB1A1和平面ADD1A1).答案:1或2或3三、解答题(共22分)8.(10分)如图所示,已知E,F与G分别为正方体ABCD-A1B1C1D1棱AB,B1C1与DA的中点,试过E,F,G三点作正方体ABCD-A1B1C1D1的截面.【解析】作法:(1)连接GE并延
6、长交CB的延长线于M,交CD的延长线于N,连接MF,交棱B1B于点H,连接HE;(2)延长EH交A1B1的延长线于点R.连接FR,FR交D1C1于Q;(3)连接QN交D1D于点K,连接KG.六边形KGEHFQ就是所要作的截面.9.(12分)如图所示,在空间四边形各边AD,AB,BC,CD上分别取E,F,G,H四点,如果EF,GH交于一点P,求证:点P在直线BD上.【证明】因为EFGH=P,所以PEF且PGH.又因为EF平面ABD,GH平面CBD,所以P平面ABD,且P平面CBD,所以P平面ABD平面CBD,因为平面ABD平面CBD=BD,所以PBD,所以点P在直线BD上.(35分钟70分)一、
7、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.(多选题)已知,为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理正确的是()A.Aa,A,Ba,BaB.M,M,N,N=MNC.A,A=AD.A,B,M,A,B,M,且A,B,M不共线,重合【解析】选ABD.选项C中,与有公共点A,则它们有过点A的一条交线,而不是点A,故C错.2.空间中有A,B,C,D,E五个点,已知A,B,C,D在同一个平面内,B,C,D,E在同一个平面内,那么这五个点()A.共面B.不一定共面C.不共面D.以上都不对【解析】选B.若B,C,D共线,则这五个点不一定共面;若B,C,D不
8、共线,则这五个点一定共面.3.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为()A.3B.4C.5D.6【解析】选C.既与AB共面又与CC1共面的棱有CD,BC,BB1,AA1,C1D1,共5条.4.有下列四种叙述:空间四点共面,则其中必有三点共线;空间四点不共面,则其中任何三点不共线;空间四点中有三点共线,则此四点必共面;空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面.其中正确叙述的序号是()A.B.C.D.【解析】选B.因为四棱柱中每个面都有四个点,但这四个点中没有三点是共线的,所以错;因为空间任何三点不共线但四点可以共面,所以错.【补偿训练】经过空间
9、任意三点作平面()A.只有一个B.可作两个C.可作无数个D.只有一个或有无数个【解析】选D.若三点不共线,只可以作一个平面;若三点共线,则可以作出无数个平面.二、填空题(每小题4分,共16分)5.平面,相交,在,内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定_个平面.【解析】如果这四点在同一平面内,那么确定一个平面;如果这四点不共面,则任意三点可确定一个平面,所以可确定四个平面.答案:1或46.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是_.C1,M,O三点共线;C1,M,O,C四点共面;C1,O,A,M四点共面;D1,D,O
10、,M四点共面.【解析】连接A1C1,AC,则ACBD=O,因为A1C平面C1BD=M.所以三点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,所以均正确,不正确.答案:7.有下列命题:空间三点确定一个平面;有3个公共点的两个平面必重合;空间两两相交的三条直线确定一个平面;等腰三角形是平面图形;垂直于同一直线的两条直线平行;一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交.其中正确命题的序号是_.【解析】由平面的基本事实1知,不共线的三点才能确定一个平面,所以命题错,中当三个公共点共线时,两平面可以不重合,中空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点,若为三个交点,
11、则这三条直线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面.因为在正方体ABCD-ABCD中,直线BBAB,BBBC,但AB与BC不平行,所以错.因为在正方体ABCD-ABCD中,ABCD,BBAB=B,但BB与CD不相交,所以错.答案:8.设P表示一个点,a,b表示两条直线,表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确命题的序号是_.Pa,Pa;ab=P,ba;ab,a,Pb,Pb;=b,P,PPb.【解析】当a=P时,Pa,P,但a,所以错;a=P时,错;如图,因为ab,Pb,所以Pa,所以由直线a与点P确定唯一平面,又因为ab,所以由a与b确定唯一平面,但经过直线a与点P,所以与重合,所
12、以b,故正确;两个平面的公共点必在其交线上,故正确.答案:三、解答题(共38分)9.(12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是BD的中点,对角线AC1与过A1B,D的平面交于点P,求证:点A1,P,O在同一直线上.【证明】如图,连接AC,A1C1,因为O是BD的中点,所以O是AC的中点,即OAC,又因为AC平面ACC1A1,所以O平面ACC1A1.因为PAC1,又因为AC1平面ACC1A1,所以P平面ACC1A1,所以A1,P,O都在平面ACC1A1内.又因为A1,P,O都在平面A1BD内,所以A1,P,O都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上,即A1,P,O三点共线.10
13、.(12分)已知三个平面两两相交,有三条交线,求证:若这三条交线不平行,则它们交于一点.【解题指南】证明三线共点的基本思路是先证其中两条直线有交点,再证该交点在第三条直线上.对于证空间中多线共点,平面几何中证多线共点的思维方法仍然适用,只是在思考中应考虑空间图形的特点.【解析】已知:如图,设三个平面为,且=c,=b,=a.且a,b,c不平行.求证:a,b,c三线交于一点.证明:因为=c,=b,所以b,c.因为b,c不相互平行,所以b,c交于一点.设bc=P,因为Pc,c,所以P.同理,P.因为=a,所以Pa.故a,b,c交于一点P.11.(14分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分
14、别为D1C1,B1C1的中点,ACBD=P,A1C1EF=Q,如图所示:(1)求证:D,B,E,F四点共面;(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置.【解析】(1)由于CC1和BF在同一个平面内且不平行,故必相交.设交点为O,则OC1=C1C.同理直线DE与CC1也相交,设交点为O,则OC1=C1C,故O与O重合.由此可证得DEBF=O,故D,B,F,E四点共面(设为);(2)由于AA1CC1,所以A1,A,C,C1四点共面(设为).PBD,而BD,故P.又PAC,而AC,所以P,所以P.同理可证得Q,从而有=PQ.又因为A1C,所以A1C与平面的交点就是A1C与PQ的交点.连接A1C,则A1C与PQ的交点R就是所求的交点.
