1、课堂探究探究一 向量数量积的计算求平面向量的数量积时，常用到以下结论：(1)a2|a|2；(2)(xayb)(mcnd)xmacxnadymbcynbd，其中x，y，m，nR，类似于多项式的乘法法则；(3)(ab)2a22abb2；(4)(abc)2a2b2c22ab2bc2ac同时还要注意几何性质的应用，将向量适当转化，转化的目的是用上已知条件【例1】 已知两个单位向量e1与e2的夹角为60，求：(1)e1e2；(2)(2e1e2)(3e12e2)；(3)(e1e2)2解：(1)e1e2|e1|e2|cos 60(2)由(1)可知e1e2，|e1|e2|1，所以(2e1e2)(3e12e2)
2、63e2e14e1e226|e1|2342|e2|262(3)(e1e2)2(e1e2)(e1e2)e1e2e2e12e1e21113误区警示 利用(ab)2a22abb2时，不要将式中的ab写成|a|b|探究二 求向量的模利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)a2aa|a|2或|a|；(2)|ab|【例2】 已知向量a，b满足|a|b|1，且|3a2b|3，求|3ab|的值分析：通过数量积ab来探求已知条件|3a2b|3与目标式|3ab|之间的关系解：因为|a|b|1，所以|a|2|b|21又因为|3a2b|3，所以(3a2b)29，所以9|a|212ab
3、4|b|29，将|a|2|b|21，代入有ab，而(3ab)29|a|26ab|b|296112，所以|3ab|探究三 向量在几何中的应用向量作为一种工具在解决几何问题中有着广泛的应用，将几何问题转化为向量问题是极其关键的一步，同时注意向量的数量积及向量的运算律的运用；在应用时还要注意向量的相关概念与一些几何概念的区别，如，向量的夹角与直线的夹角【例3】 在等腰直角三角形ABC中，C是直角，CACB，D是CB中点，E是AB上一点，且AE2EB，求证：ADCE证明：如图=(+)(+)=+=-|0，所以，即ADCE【例4】 ABC三边长为a，b，c，以A为圆心，r为半径作圆，如图所示，PQ为直径，
4、试判断P，Q在什么位置时，有最大值？分析：由三角形法则构造与的数量积，然后转化为在实数范围内求最大值解：因为，即，所以()()r2()r2|cosBACr2bccosBACr2当与同向时，最大且最大值为|ra即当与共线且同方向时，有最大值bccosBACarr2探究五 易错辨析易错点：向量与实数的混用【例5】 已知a，b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直求a与b的夹角错解：由题意，得即得46ab23b2因为b0，所以a，把它代入得a2b2，则|a|b|，设a与b的夹角为，则cos ，因为0180，所以60错因分析：在求出2abb2之前是正确的，此式子说明ab与是两个相等的数，两边同时约去b，即两边同除以b是错误的，因为向量没有除法，结果正确只是巧合正解：因为a3b与7a5b垂直，所以(a3b)(7a5b)0，即7|a|216ab15|b|20同理由a4b与7a2b垂直可得7|a|230ab8|b|20，则得46ab23|b|2，所以ab，代入得|a|2|b|2所以|a|b|设a，b夹角为，则cos ，所以60
