1、数学人教B必修1第二章2.1.5用计算机作函数的图象(选学)1结合具体函数，了解函数的奇偶性的含义2会根据奇偶性的定义判断和证明函数的奇偶性3会利用奇偶性来研究函数的定义域、值域、解析式、单调性及函数的图象等1奇、偶函数的概念名称定义奇函数设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有_，且_，则这个函数叫做奇函数偶函数设函数yg(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有_，且_，则这个函数叫做偶函数在奇函数和偶函数的定义中，都要求xD，xD，这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于坐标原点对称【做一做11】函数f(x)，x(0,1)的奇偶性是()A奇函数B
2、偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数【做一做12】下列条件可以说明函数yf(x)是偶函数的是 ()A在定义域内存在x，使得f(x)f(x)B在定义域内存在x，使得f(x)f(x)C对定义域内任意x，都有f(x)f(x)D对定义域内任意x，都有f(x)f(x)2奇、偶函数的图象特征(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以_为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以_为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数(2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以_为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于_对称，则这个函数是偶函数【做一做21】函数f(x)x的图象关于
3、()Ay轴对称B直线yx对称C坐标原点对称D直线yx对称【做一做22】函数f(x)是偶函数，则其图象()A关于原点对称B关于x轴对称C关于y轴对称D关于直线yx对称3(选学)用计算机图形技术作函数图象的指令步骤(1)给_赋值；(2)给出_，求对应的y值；(3)由x和对应的y值组成_集合；(4)建立直角坐标系，并根据_，在直角坐标系中作出对应的_；(5)通过这些_描出函数的图象注意：只要函数的_已知，就能画出函数的图象一、解读函数的奇偶性剖析：(1)函数的奇偶性与单调性的差异奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与
4、函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域中的每一个x，都有f(x)f(x)(或f(x)f(x)，才能说f(x)是奇(偶)函数(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件由函数奇偶性的定义知，若x是定义域中的一个数值，则x必然在定义域中，因此，函数yf(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则函数一定不具有奇偶性如函数y2x在(，)上是奇函数，但在2,3上不具有奇偶性(3)根据函数奇偶性的定义，函数可分为奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是偶函数尤
5、其要注意f(x)0，xA，若定义域A关于原点对称，则它既是奇函数又是偶函数(4)若函数f(x)是奇函数，且在x0处有意义，那么一定有f(0)0.但要注意，反之结论是不一定成立的奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反；若奇函数f(x)在区间a，b(0ab)上有最大值M，最小值m，则f(x)在区间b，a上的最大值为m，最小值为M；偶函数f(x)在区间a，b，b，a(0ab)上有相同的最大(小)值二、判断函数奇偶性的几种方法剖析：判断函数的奇偶性，常用的有定义法、图象法、性质法(1)根据函数奇偶性的定义判断，其基本步骤为：考察定义域是否关于原点对称若函数没有标明定义域，应
6、先找到使函数有意义的x的集合，因为它是判断函数奇偶性的一个重要依据，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数既不是奇函数，也不是偶函数如函数f(x)x41，x1,2，由于它的定义域不关于原点对称，当1x2时，f(x)没有定义，所以它不符合奇、偶函数的定义，故f(x)x41，x1,2是非奇非偶函数判断f(x)与f(x)的关系这是因为定义域关于原点对称的函数也不一定是奇(偶)函数如f(x)x2x，g(x)x31，它们的定义域都是R，因为f(x)(x)2(x)x2xf(x)(或f(x)，所以它是非奇非偶函数同理可证g(x)x31也是非奇非偶函数得出结论(1)定义域关于原点对称，且满足f(
7、x)f(x)f(x)的函数既是奇函数又是偶函数，如f(x)0，xR，f(x)0，x2,2，f(x)0，x(1,1)等，应注意：既是奇函数又是偶函数的函数有无数个(2)分段函数的奇偶性的判断方法的关键是搞清x与x的所在范围及其对应的函数关系式，并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断，而不能以其中一个区间来代替整个定义域(3)判断函数的奇偶性有时可用定义的等价形式f(x)f(x)0或1(f(x)0)来代替(2)有时可以直接借助函数的图象，如：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称等，从而直观地判断函数的奇偶性(3)根据性质来判断函数的奇偶性，偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为
8、偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数(注：利用上述结论要注意各函数的定义域)特别地：F1(x)f(x)f(x)为偶函数，F2(x)f(x)f(x)为奇函数题型一 判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数是奇函数还是偶函数，并说明理由(1)f(x)x32x；(2)f(x)x2|x|1；(3)f(x).分析：用定义判断函数的奇偶性时，先看定义域是否关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系，从而判断函数的奇偶性反思：判断函数奇偶性的主要依据就是奇偶性的定义若一个函数是非奇非偶函数，有时只要说明它的定义域不关于原点对
9、称即可，而不必套用作差法进行检验，或者利用特殊值检验题型二 由奇偶性求函数的解析式【例2】若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，求当x0时，函数f(x)的解析式分析：利用奇函数满足f(x)f(x)，将x0时f(x)的解析式转化到x0上反思：注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为x，则x为另一已知解析式的区间上的变量，通过互化，求得所求区间上的解析式题型三 函数奇偶性的应用【例3】已知函数f(x)，令g(x)f.(1)如图，已知f(x)在区间0，)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据；(2)求证：f(
10、x)g(x)1(x0)分析：先判断f(x)的奇偶性，然后根据图象特征补全图象；证明f(x)g(x)1的关键是先求出g(x)的解析式反思：在研究函数的图象时，要注意对函数性质的研究，这样可避免作图的盲目性和复杂化题型四 奇偶性与单调性的综合应用【例4】函数f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且f.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(1,1)上是增函数；(3)解不等式：f(t1)f(t)0.分析：(1)利用f(0)0与f解出a，b的值即可；(2)利用单调性的定义证明；(3)将f(t1)f(t)0等价化归为f(t1)f(t)f(t)，再利用单调性将抽象不等式化为具体不等式反
11、思：函数的单调性、奇偶性是函数的重要性质，这两部分内容与函数的其他性质经常结合在一起，出现一些难度较大的综合题解题的关键是化归思想及数形结合思想的充分利用题型五 易错辨析【例5】判断函数f(x)的奇偶性错解：当x0时，f(x)(x)2f(x)，当x0时，f(x)(x)3x3f(x)，当x0时，函数f(x)是偶函数；当x0时，函数f(x)是奇函数反思：判断分段函数的奇偶性要注意对定义域内的任意x均要验证其是否满足f(x)f(x)或f(x)f(x)，然后再综合整体情况下结论当然对既不是奇函数也不是偶函数的情况只要举出反例即可1下列函数中，是偶函数的是()Af(x)x2 Bf(x)xCf(x) Df
12、(x)xx32有下列说法：偶函数的图象一定与y轴相交：若yf(x)是奇函数，则由f(x)f(x)可知f(0)0；既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)0，xR；若一个图形关于y轴成轴对称，则该图形一定是偶函数的图象其中不正确的是()A BC D3已知x0时，f(x)x2 011，且知f(x)是定义在R上的偶函数，则当x0时，f(x)的解析式是_4如果奇函数f(x)在区间3,7上是增函数，且最小值是5，那么f(x)在区间7，3上的最_(填“大”或“小”)值为_5判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)2x43x2；(2)f(x)x3；(3)f(x)x1.答案：基础知识梳理1xDf(x)f(x)xD
13、g(x)g(x)【做一做11】C【做一做12】D2(1)坐标原点坐标原点(2)y轴y轴【做一做21】Cf(x)x是奇函数，所以图象关于坐标原点对称【做一做22】C3(1)自变量x(2)计算法则(3)有序数对(4)有序数对点集(5)点集表达式典型例题领悟【例1】解：(1)函数的定义域为R，它关于原点对称，又f(x)(x)32(x)x32x(x32x)，即f(x)f(x)，所以函数f(x)是奇函数(2)函数的定义域为R，它关于原点对称，又f(x)(x)2|x|1x2|x|1，即f(x)f(x)，所以函数f(x)是偶函数(3)因为函数的定义域为x|x1，它不关于原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数
14、也不是偶函数【例2】解：f(x)是奇函数，当x0时，x0，f(x)f(x)(x)1(x)x(1x)，当x0时，f(0)f(0)，即f(0)0.当x0时，f(x)x(1x)【例3】解：(1)f(x)，f(x)的定义域为R.又对任意xR，都有f(x)f(x)，f(x)为偶函数f(x)的图象关于y轴对称，其图象如下图所示(2)证明：g(x)f(x0)，f(x)g(x)1，即f(x)g(x)1(x0)【例4】解：(1)依题意，得即解得f(x).(2)证明：设x1，x2是(1,1)内的任意两个不相等的实数，且1x1x21，则xx2x10，yf(x2)f(x1).1x1x21，x2x1x0，1x120,1
15、x220，且1x1x21，1x1x20.y0.f(x)在(1,1)上是增函数(3)由f(t1)f(t)0，且f(x)为奇函数，得f(t1)f(t)f(t)又f(x)在(1,1)上是增函数，1t1t1，解得0t.【例5】错因分析：不清楚函数奇偶性是函数的整体性质，是对整个定义域而言的“当x0时，函数是偶函数；当x0时，函数是奇函数”这种说法本身就是错误的正解：由已知，得f(x)的定义域关于原点对称当x0时，x0，f(x)(x)3x3，而x0时，f(x)x2，则f(x)x2，所以f(x)f(x)，且f(x)f(x)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数随堂练习巩固1A2D中可举反例f(x)x2
16、2，x(，2)(2，)；中f(x)在x0处可能无定义；中也可以是f(x)0，xA(A为关于原点对称的数集)；中该图形可能不是函数的图象故均错误3f(x)x2 011当x0时，x0，f(x)x2 011.又f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(x)x2 011可化为f(x)x2 011.4大5根据奇函数在对称区间上的单调性一致并结合图象可得f(x)在7，3上为增函数，且在3处取得最大值为f(3)f(3)5.5解：由题意可知，三个函数的定义域均为R，关于原点对称(1)f(x)2(x)43(x)22x43x2f(x)，所以f(x)是偶函数；(2)f(x)(x)3(x3)f(x)，所以f(x)是奇函数；(3)f(x)x1，但f(x)f(x)，且f(x)f(x)，所以f(x)为非奇非偶函数
