1、数学人教B必修2第二章2.3.4圆与圆的位置关系1根据给定的两圆的方程，会用代数法和几何法判断圆与圆的位置关系2了解两圆的五种位置关系，并能运用两圆位置关系解决有关实际问题圆与圆位置关系的判定1几何法若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系_|r1r2|d_d_【做一做11】两圆x2y29和x2y28x6y90的位置关系是()A相离 B相交 C内切 D外切【做一做12】已知两圆的半径分别为方程x27x120的两个根，如果圆心距O1O28，则两圆的位置关系是()A外离 B外切 C内切 D相交【做一做13】
2、两圆x2y2r2与(x2)2(y1)2r2(r0)外切，则r的值是()A B5 C D22代数法设两圆方程分别为C1：x2y2D1xE1yF10(DE4F10)，C2：x2y2D2xE2yF20(DE4F20)，联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数_个_个_个两圆的位置关系_或_或_【做一做2】利用代数法判断圆x2y24x6y0和圆x2y26x0的位置关系一些特殊圆的方程的设法剖析：(1)圆心为定点(a，b)的同心圆系方程为(xa)2(yb)2r2，其中a，b为定值，r是参数(2)半径为定值r的圆系方程为(xa)2(yb)2r2，其中a，b
3、为参数，r0是定值(3)过圆C：x2y2DxEyF0与直线AxByC0的交点的圆系方程为x2y2DxEyF(AxByC)0(R)(4)过圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20交点的圆系方程为x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1，R)，此圆系中不含圆C2.题型一 由两圆的位置关系确定参数问题【例1】已知圆C1：x2y22mx4ym250，圆C2：x2y22x2mym230，m为何值时，(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含？分析：充分利用两圆位置关系的判定公式(几何法)反思：圆心距为|C1C2|，两圆半径为r1，r2，则两圆外切
4、|C1C2|r1r2；两圆内含|C1C2|r2r1|，转化为方程或不等式的问题来解决题型二 两圆的公共弦问题【例2】已知两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在直线的方程；(3)求公共弦的长度分析：只有当两圆相交时，才能将两圆方程相减得到公共弦所在直线的方程，并求公共弦的长度反思：求两相交圆的公共弦所在直线的方程及公共弦长时，一般不用求交点的方法，常用两方程相减法消去二次项，得到公共弦的方程，再由勾股定理求弦长题型三 圆与圆的综合性问题【例3】求圆心在直线xy40上，且过两圆x2y24x60和x2y24y60的交点的圆的方程分析：解法一
5、：先解出圆与圆的交点的坐标，再利用圆的性质与已知条件确定圆心；解法二：解出两圆交点的坐标，利用待定系数法；解法三：设出符合条件的圆系方程求解反思：在解有关圆的问题时，要尽量结合圆的相关性质，这样可减少运算量解法一侧重于用圆的性质；而解法二、三侧重于用方程形式的求解题型四 易错辨析【例4】已知集合A(x，y)|x2y24，B(x，y)|(x3)2(y4)2a2，若AB中有且仅有一个元素，求a的值错解：由题意AB中有且仅有一个元素可知两圆相切，O1O25a2或5a2.a3或a7.错因分析：把a误认为正数而导致丢解1圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是()A相离 B相交 C外切
6、 D内切2圆O1：x2y24x4y70和圆O2：x2y24x10y130的公切线有()A2条 B3条 C4条 D0条3若a2b21，则圆(xa)2y21与圆x2(yb)21的位置关系为_4若圆x2y24与x2y22axa210相内切，则a_.5求半径为1，且与圆x2y24相切的动圆圆心的轨迹方程答案：基础知识梳理1dr1r2dr1r2r1r2d|r1r2|r1r2|【做一做11】B【做一做12】A由方程x27x120得两个根分别为3和4，故两圆半径之和为7，而两圆心之间的距离为8，故这两圆外离【做一做13】C2210相交外切内切外离内含【做一做2】解：联立方程得2x6y0，即x3y.把代入并整
7、理，得y0或y.当y0时，x0；当y时，x.综上可知，两圆相交于两点，这两点坐标分别为(0,0)，.典型例题领悟【例1】解：配方得C1：(xm)2(y2)29，C2：(x1)2(ym)24.(1)由圆C1与圆C2外切，得32.即(m1)2(m2)225，解得m15，m22.(2)由圆C1与圆C2内含，得32，即(m1)2(m2)21.解得2m1.【例2】解：(1)将两圆方程配方化为标准方程，得C1：(x1)2(y5)250，C2：(x1)2(y1)210.则圆C1的圆心为(1，5)，半径r15，圆C2的圆心为(1，1)，半径r2.又|C1C2|2，r1r25，r1r25，r1r2|C1C2|r
8、1r2.两圆相交(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x2y40.(3)解法一：两方程联立，得方程组两式相减得x2y4，把代入得y22y0，所以y10，y22.故所以交点坐标为(4,0)和(0,2)所以两圆的公共弦长为2.解法二：两方程联立，得方程组两式相减得x2y40，即两圆相交弦所在直线的方程由x2y22x10y240，得(x1)2(y5)250，其圆心为C(1，5)，半径r5.圆心C到直线x2y40的距离为d3.设公共弦长为2l，由勾股定理r2d2l2，得5045l2，解得l，所以公共弦长为2.【例3】解法一：由得到两圆公共弦所在直线方程为yx.由解得或所以两圆x2y24x60和x
9、2y24y60的交点分别为A(1，1)，B(3,3)，线段AB的垂直平分线方程为y1(x1)由得所以所求圆的圆心为(3，1)，半径长为4.所以所求圆的方程为(x3)2(y1)216.解法二：同解法一，求得A(1，1)，B(3,3)设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则由得所以所求圆的方程为(x3)3(y1)216.解法三：设经过两圆交点的圆系方程为x2y24x6(x2y24y6)0(1)，即x2y2xy60，所以圆心坐标为.又圆心在直线xy40上，所以40，即.所以所求圆的方程为x2y26x2y60.【例4】正解：由AB中有且仅有一个元素，可知两圆相切，O1O25|a|2或5|a|2|，
10、解得a3，或a7.综上，知a的值为3或7.随堂练习巩固1B2B由x2y24x4y70，得圆心和半径分别为O1(2,2)，r11.由x2y24x10y130，得圆心和半径分别为O2(2,5)，r24.因为d(O1，O2)5，r1r25，即r1r2d(O1，O2)，所以两圆外切，由平面几何知识得两圆有3条公切线3相交圆(xa)2y21的圆心为(a,0)，半径r11；圆x2(yb)21的圆心为(0，b)，半径r21，圆心距d1.|r1r2|dr1r22，两圆相交41两圆的圆心和半径分别为O1(0,0)，r12，O2(a,0)，r21，由两圆内切可得d(O1，O2)r1r2，即|a|1，所以a1.5解：设动圆圆心为M，若两圆内切，则圆心距d|21|1，由圆的定义M点轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，圆的方程为x2y21；若两圆外切，则圆心距d|21|3，由圆的定义M点轨迹是以O为圆心，3为半径的圆，方程为x2y29.综上，动圆圆心的轨迹方程为x2y21或x2y29.
