1、课堂导学三点剖析一、利用基本不等式证明不等式【例1】 a,b,cR,求证:a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c),当且仅当a=b=c时取等号.思路分析:由于a4+b42a2b2,说明了运用基本不等式,可以找到左式与中间式的关系.同样地,a2b2+b2c22ab2c,而ab2c就是右式中的一项.证明：a4+b42a2b2,b4+c42b2c2,c4+a42a2c2,2(a4+b4+c4)2(a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2.又a2b2+b2c22ab2c,b2c2+c2a22bc2a,c2a2+a2b22a2bc,2(a2b
2、2+b2c2+c2a2)2(ab2c+bc2a+a2bc),即a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).以上各式当且仅当a=b=c时取等号.温馨提示 在证明不等式的一些题目时,若有和大于或等于积的形式,可考虑用均值不等式来证明,有时需要多次使用基本不等式才能解决问题. 本题中,字母a,b,c是可轮换的(即ab,bc,ca式子不变),这称为轮换对称式,轮换对称式的证明都可用此技巧.各个击破类题演练1已知a,b,c(0,+),求证:a+b+c.证明:a,b,c(0,+),=2a.同理,=2b,=2c,()+(a+b+c)2(a+b+c).a+b+c.变式提升1设a,b,c为不全相等的正数,
3、求证:3.证明:左式=(+)+()+()-3,+2,)2 2,又a,b,c为不全相等的正数,故等号不可能同时取得,(+)+()+()6.因此原不等式成立.二、利用基本不等式证明条件不等式【例2】 已知x,y0,且x+y=1,求证:(1+)(1+)9.思路分析:最突出的一点,要证的不等式中有四个“1”,而已知条件x+y=1,又一个“1”,如何用好这些“1”呢?证法一:(1+)(1+)=1+=1+=3+=3+=5+2()5+2=9.原不等式成立.证法二：(1+)(1+)=原不等式成立.证法三:设x=cos2,y=sin2,(0,),(1+)(1+)=(2+tan2)(2+cot2)=5+2(tan
4、2+cot2)5+2=9.温馨提示 在运用基本不等式时,活用“1”,巧用“1”,解法就会非常简洁.类题演练2已知x0,y0,且x+4y=1,求证:(1)=8+;(2)16.证明:(1)x+4y=1,=8+,即=8+;.(2)法一:x0,y0,且由(1)可知=16,即有16.法二:x0,y0,x+4y=1,x+4y.()(x+4y)16=16.16.变式提升2已知a0,b0,a+b=1,求证:2.证明:,(1+a+1+b+)=2,当且仅当a=b=时取等号.原不等式成立.三、利用基本不等式解决某些综合问题【例3】 设a0,a1,t0,试比较logat与loga的大小.思路分析:两式先化为同底对数l
5、oga与loga，由于t0,应用均值不等式知，下一步只要运用对数函数y=logax的单调性，就可以比较它们的大小了.解:t0,由均值不等式得,当且仅当t=1时取等号.当t=1时，loga=loga,即loga=logat;当0.当0a1时，函数y=logax是减函数，logaloga,即loga1时，函数y=logax是增函数,logaloga,即logalogat.综上所述，当0a1时，logatloga.温馨提示 函数式的大小比较,除了利用求差比较法或均值不等式定理比较之外,还要注意应用函数的重要性质单调性.指数函数,对数函数因底数范围不同,而单调性不同,要注意分类讨论.类题演练3已知x,y,z是互不相等的正数，且x+y+z=1.试比较(-1)(-1)(-1)与8的大小关系.解析:-1=,-1=,-1=,(-1)(-1)(-1)=8.x,y,z是互不相等的正数，上式中取不到等号，即(-1)(-1)(-1)8.变式提升3已知关于x的方程loga(x-3)=-1+loga(x+2)+loga(x-1)有实根，求实数a的取值范围.解析:由得x3.方程可化为a(x-3)=(x+2)(x-1),a=x-3+77+当且仅当x-3=,即x=3+时取等号.故当方程有解时，a的取值范围是7+,+).
