1、课后导练基础达标1.已知某条曲线的参数方程为(其中a是参数),则该曲线是( )A.线段 B.圆 C.双曲线 D.圆的一部分解析:把a表示出来,化简,得x2-y2=1且由|x|=|a+|1知x-1或x1,易知结果.答案:C2.已知某条曲线的参数方程为(0t5),则该曲线是( )A.线段 B.圆弧C.双曲线的一支 D.射线解析:消去t,得x-3y=5.又0t5,故-1y24.故曲线是线段.答案:A3.若曲线(为参数),则点(x,y)的轨迹是( )A.直线x+2y-2=0B.以(2,0)为端点的射线C.圆(x-1)2+y2=1D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析:x=1+cos2=1+1-2
2、sin2=2-2y,且0x2,0y1,轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段.答案:D4.曲线C的方程为(tR),则曲线C的图象在( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:只需就其方程来判断横、纵坐标的符号即可.答案:A5.直线系方程为xcos+ysin=2,圆的参数方程为(为参数),则直线与圆的位置关系为( )A.相交不过圆心 B.相交且经过圆心C.相切 D.相离解析:圆的普通方程为x2+y2=4,圆心(0,0)到直线xcos+ysin-2=0的距离d=2,等于半径.故直线与圆相切.答案:C6.点P(3,b)在曲线上,则b=_.解析:3=+1,t=2.y1=-5=b
3、,y2=3=b.答案:3或-57.圆(为参数,r0)的直径是4,则圆心坐标是_.解析:2r=4,r=2.圆心是(r,),即(2,1).答案:(2,1)8.动点(2-cos,cos2)的轨迹的普通方程是_.解析:设动点坐标为(x,y),得消去,得y=2(2-x)2-1,即(2-x)2=(y+1).由于|y|cos21,动点轨迹只是抛物线的一部分,即(x-2)2=(y+1)(1x3).答案:y=2(x-2)2-1(1x3)9.已知实数x、y满足条件x2+y2-2x+4y=0,则x-2y的取值范围是_-.解析:由题意可知,(x,y)在圆x2+y2-2x+4y=0上移动.由数形结合思想,圆的参数方程为
4、x-2y=5+(cos-2sin)=5+5sin(-).答案:0,1010.求u=的最小值.解:令P(cos,sin),Q(1,2),则知P为x2+y2=1上任意一点.则u=即是直线的斜率.设过Q与圆x2+y2=1相切的直线方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0.圆心O到切线PQ的距离等于半径1,=1.解之,得k=.u的最小值为.综合运用11.已知实数x、y满足(x+1)2+(y-2)2=16,求3x+4y的最值.解:由数形结合,利用参数方程来解.由题意知,设代入3x+4y=3(-1+4cos)+4(2+4sin)=20cos(+)+5,于是3x+4y的最大值为25,最小值为-15
5、.12.参数方程(为参数)的图形是_.解析:由方程知x2=9cos2+24sincos+16sin2,y2=16cos2-24sincos+9sin2.x2+y2=25.答案:圆13.已知点Q是圆x2+y2=4上的动点,定点P(4,0),若点M分所成的比为12,求点M的轨迹.解:设点Q(2cos,2sin),M(x,y),则由题意得即消去得(x-2)2+(y)2=4,即(x-)2+y2=,故其轨迹为以点(,0)为圆心,为半径的圆.拓展探究14.在ABC中,A、B、C所对的边分别是a、b、c,且c=10,cosAcosB=ba=43,P为ABC的内切圆上的动点,求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最大值与最小值.解:与三角函数中的正、余弦定理相联系.由cosAcosB=ba得.sin2A=sin2B.ab,AB,故2A=2-2B,即A+B=,由此知ABC为直角三角形.又c=10,ba=43,a2+b2=c2,得a=6,b=8.故其内切圆半径为r=2.以顶点C为原点,CA所成直线为x轴,则相应内切圆的参数方程为则该圆上动点P的坐标为(2+2cos,2+2sin).故PA2+PB2+PC2=80-8cos.故所求的最大值与最小值分别为88、72.
