1、课时提升作业 十三用数学归纳法证明不等式举例一、选择题(每小题6分,共18分)1.用数学归纳法证明不等式+n2+1对于nn0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()A.2B.3C.5D.6【解析】选C.当n4时,2nn2+1.于是n0应取5.【补偿训练】用数学归纳法证明2nn2(n5,nN+)成立时第二步归纳假设的正确写法是()A.假设n=k时命题成立B.假设n=k(kN+)时命题成立C.假设n=k(k5)时命题成立D.假设n=k(k5)时命题成立【解析】选C.由题意知n5,nN+,所以应假设n=k(k5)时命题成立.3.(2016长春高二检测)证明1+(nN*),假设当n=k时
2、成立,当n=k+1时,左端增加的项数为()A.1项B.k-1项C.k项D.2k项【解析】选D.当n=k时,不等式左端为1+,当n=k+1时,不等式左端为1+,左端增加了+,共2k项.二、填空题(每小题6分,共12分)4.用数学归纳法证明“2n+1n2+n+2(nN+)”时,第一步的验证为_.【解析】当n=1时,21+112+1+2,即44成立.答案:21+112+1+25.(2016南昌高二检测)已知1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c对一切nN*都成立,则a=_,b=_,c=_.【解析】当n=1时,3a-3b+c=1,当n=2时,18a-9b+c=7,当n=3时,81a
3、-27b+c=34,解得,a=,b=c=.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)6.(2016广州高二检测)证明:1+(nN*).【证明】(1)当n=1时,不等式为11,显然成立.(2)假设当n=k时不等式成立,即1+.那么,当n=k+1时,1+,而+-=0,即+,所以1+,即当n=k+1时不等式也成立.综合(1)(2)得,不等式对一切正整数n都成立.7.(2016济南高二检测)求证:+(n2,nN+).【解题指南】本题由n=k到n=k+1时的推证过程中,n=k时,首项是,尾项是,分母是从k+1开始的连续正整数,因而当n=k+1时,首项应为,尾项是,与n=k时比较,后面增加,共三项,而不只
4、是增加一项,且还减少了一项.【证明】(1)当n=2时,左边=+=,不等式成立.(2)假设n=k(k2,kN+)时,不等式成立,即+,则当n=k+1时,+=+=+=.所以当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2),知原不等式对一切n2且nN+都成立.8.数列an满足Sn=2n-an(nN+).(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an.(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.【解析】(1)a1=1,a2=,a3=,a4=,由此猜想an=(nN+).(2)当n=1时,a1=1,结论成立.假设n=k(k1)时,结论成立,即ak=,那么当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1
5、)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.所以2ak+1=2+ak,所以ak+1=.这表明当n=k+1时,结论成立.所以an=(nN+).一、选择题(每小题5分,共10分)1.用数学归纳法证明:1+1)第一步验证n=2时,左边的项为()A.1B.1+C.D.1+【解析】选D.当n=2时,左边最后一项为=,所以左边的项为1+.2.(2016济南高二检测)已知数列的前n项和为Sn,且Sn=2n-an(nN*),若已经算出a1=1,a2=,则猜想an=()A.B.C.D.【解析】选D.因为a1=1,a2=,由S3=1+a3=6-a3,所以a3=,同理,a4=.猜想,得an=.二、填空题(每小题5
6、分,共10分)3.(2016太原高二检测)在ABC中,不等式+成立;在四边形ABCD中,不等式+成立;在五边形ABCDE中,不等式+成立.猜想在n边形A1A2An中,类似成立的不等式为_.【解析】由题中已知不等式可猜想:+(n3且nN*).答案:+(n3且nN*)4.设a,b均为正实数,nN+,已知M=(a+b)n,N=an+nan-1b,则M,N的大小关系为_.【解析】由贝努利不等式(1+x)n1+nx(x-1,且x0,n1,nN+),知当n1时,令x=,所以1+n,所以1+n,即(a+b)nan+nan-1b,当n=1时,M=N,故MN.答案:MN三、解答题(每小题10分,共20分)5.(
7、2016苏州高二检测)已知函数f(x)=x3-x,数列an满足条件:a11,且an+1f(an+1),证明:an2n-1(nN+).【证明】由f(x)=x3-x,得f(x)=x2-1.因此an+1f(an+1)=(an+1)2-1=an(an+2).(1)当n=1时,a11=21-1,不等式成立.(2)假设当n=k(k1)时,不等式成立,即ak2k-1.当n=k+1时,ak+1ak(ak+2)(2k-1)(2k-1+2)=22k-1.又k1,所以22k2k+1,所以当n=k+1时,ak+12k+1-1,即不等式成立.根据(1)和(2)知,对任意nN+,an2n-1都成立.6.在数列an中,a1=2,an+1=an+2n+1(nN+).(1)求证an-2n为等差数列.(2)设数列bn满足bn=2log2(an+1-n).(nN+)证明:(nN+).【证明】(1)由an+1=an+2n+1得(an+1-2n+1)-(an-2n)=1,因此an-2n是等差数列.(2)an-2n=(a1-2)+(n-1)=n-1,即an=2n+n-1,bn=2log2(an+1-n)=2n.下面用数学归纳法证明.当n=1时,左端=右端,不等式成立;假设n=k(k1)时不等式成立,即,当n=k+1时,=.由知不等式对于一切nN+都成立.
