1、第4讲不等式与合情推理研考点考向破重点难点考点1 不等式的性质及解法考法全练1已知x，yR，且xy0，若ab1，则一定有()A Bsin axsin byClogaxlogby Daxby解析：选D对于A选项，不妨令x8，y3，a5，b4，显然，A选项错误；对于B选项，不妨令x，y，a2，b，此时sin axsin 20，sin bysin ，显然sin axsin by，B选项错误；对于C选项，不妨令x5，y4，a3，b2，此时logaxlog35，logbylog242，显然logaxlogby，C选项错误；对于D选项，因为ab1，所以当x0时，axbx，又xy0，所以当b1时，bxby，
2、所以axby，D选项正确综上，选D2(一题多解)(2019高考全国卷)若ab，则()Aln(ab)0 B3a3bCa3b30 D|a|b|解析：选C法一：不妨设a1，b2，则ab，可验证A，B，D错误，只有C正确法二：由ab，得ab0，但ab1不一定成立，则ln(ab)0不一定成立，故A不一定成立因为y3x在R上是增函数，当ab时，3a3b，故B不成立因为yx3在R上是增函数，当ab时，a3b3，即a3b30，故C成立因为当a3，b6时，ab，但|a|b|，所以D不一定成立故选C3设x表示不超过x的最大整数(例如：5.55，5.56)，则不等式x25x60的解集为()A(2，3) B2，4)C
3、2，3 D(2，3解析：选B不等式x25x60可化为(x2)(x3)0，解得2x3，即不等式x25x60的解集为2x3.根据x表示不超过x的最大整数，得不等式的解集为2x4.故选B4已知函数f(x)若不等式f(x)5mx恒成立，则实数m的取值范围是_解析：作出函数f(x)的大致图象如图所示，令g(x)5mx，则g(x)恒过点(0，5)，由f(x)g(x)恒成立，由数形结合得m0，解得0m.答案：5(2019高考浙江卷)已知aR，函数f(x)ax3x.若存在tR，使得|f(t2)f(t)|，则实数a的最大值是_解析：f(t2)f(t)a(t2)3(t2)(at3t)2a(3t26t4)2，因为存
4、在tR，使得|f(t2)f(t)|，所以2a(3t26t4)2有解因为3t26t41，所以a有解，所以a，所以a的最大值为.答案：规律方法 (1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2bxc0(a0)，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集(2)简单分式不等式的解法0(0)f(x)g(x)0(0)0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.(3)不等式恒成立问题的解题方法f(x)a对一切xI恒成立f(x)mina；f(x)a对一切xI恒成立f(x)maxa.f(x)g(x)对一切xI恒成立f(x)的图象在g(x)的
5、图象的上方解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等 考点2 基本不等式及其应用考法全练1(一题多解)(2019长沙模拟)若a0，b0，abab，则ab的最小值为()A2 B4C6 D8解析：选B法一：由于abab，因此ab4或ab0(舍去)，当且仅当ab2时取等号，故选B法二：由题意，得1，所以ab(ab)2224，当且仅当ab2时取等号，故选B法三：由题意知a(b1)，所以abb2b1224，当且仅当ab2时取等号，故选B2已知向量a(x1，3)，b(1，y)，其
6、中x，y都为正实数若ab，则的最小值为()A2 B2C4 D2解析：选C因为ab，所以abx13y0，即x3y1.又x，y为正实数，所以(x3y)2224，当且仅当x3y时取等号所以的最小值为4.故选C3(2019高考天津卷)设x0，y0，x2y5，则的最小值为_解析：因为x0，y0，所以0.因为x2y5，所以224.当且仅当2时取等号所以的最小值为4.答案：44(2019洛阳模拟)已知x0，y0，且1，则xyxy的最小值为_解析：因为1，所以2xyxy，所以xyxy3x2y，因为3x2y(3x2y)7，且x0，y0，所以3x2y74，所以xyxy的最小值为74.答案：745已知ab0，则a的
7、最小值为_解析：因为ab0，所以a23，当且仅当a，b时等号成立答案：3规律方法利用不等式求最值的4个解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，可以通过凑系数后得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用基本不等式求最值即化为ymBg(x)(A0，B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值(4)“1”的代换：先把已知条件中的等式变形为“1”的表达式，再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积，通过变形构造和或积为定值的
8、代数式求其最值提醒(1)基本不等式ab2成立的条件是a0，b0，而不等式a2b22ab对任意实数a，b都成立，因此在使用时要注意其前提条件(2)对多次使用基本不等式时，需考虑等号是不是能同时成立(3)对于含有x(a0)的不等式，不能简单地利用x2，而是要根据x的取值范围判断能否取到最小值2，若不能，需要利用函数的单调性求其最小值 考点3 线性规划问题考法全练1(2019高考天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z4xy的最大值为()A2 B3C5 D6解析：选C由约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示因为z4xy可化为y4xz，所以作直线l0：y4x，并进行平移，显然当l0过点A(
9、1，1)时，z取得最大值，zmax4(1)15.故选C2(2019江西八所重点中学联考)已知实数x，y满足，则z的最小值是()A B2C D2解析：选C作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示目标函数z1，其中表示点P(1，3)和点(x，y)的连线的斜率结合图象得目标函数z1在点A处取得最小值，由，得，即A(3，2)，所以目标函数z的最小值为1，故选C3(2019洛阳市统考)如果点P(x，y)满足，点Q在曲线x2(y2)21上，则|PQ|的取值范围是()A1，1 B1，1C1，5 D1，5解析：选D作出点P满足的线性约束条件表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为点Q所在圆的圆心为M(0
10、，2)，所以|PM|取得最小值的最优解为(1，0)，取得最大值的最优解为(0，2)，所以|PM|的最小值为，最大值为4，又圆M的半径为1，所以|PQ|的取值范围是1，5，故选D4某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克，B原料3千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A，B原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为()A1 800元 B2 100元C2 400元 D2 700元解析：选C设生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，每天的利润为z元根据题意，有z300x400y.作
11、出所表示的可行域，为图中阴影部分中的整点，作出直线3x4y0并平移，当直线经过点A(0，6)时，z有最大值，zmax40062 400，故选C5(2019广州市综合检测(一)已知关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02，则m的取值范围是_解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可得，故A，所以m，解得m.作出直线x2y2，由可得，即B，因为存在点P(x0，y0)，使得x02y020，即直线x2y20与平面区域有交点，则需满足m，所以m，所以m的取值范围是.答案：6(2019湖南省湘东六校联考)若变量x，y满足，且zaxy的最小值为1，则实数a的
12、值为_解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，若a3，则直线zaxy经过点B(1，2)时，z取得最小值，由a21，得a1，与a3矛盾；若0a3，则直线zaxy经过点A(2，5)时，z取得最小值，由2a51，解得a2；若a0，则直线zaxy经过点A(2，5)或C(3，2)时，z取得最小值，此时2a51或3a21，解得a2或a，与a0矛盾综上可知实数a的值为2.答案：2规律方法常见的3种目标函数(1)截距型：形如zaxby，求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值(2)距离型：形如z(xa)2(yb)2，设动点P(x，y)，定点
13、M(a，b)，则z|PM|2.(3)斜率型：形如z，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则zkPM.提醒含参数的线性规划问题，参数位置一般有两种形式：一是目标函数中含有参数，这时可以准确作出可行域，这类问题一般特征是其最优解是可知的，因此解题时可充分利用目标函数的斜率特征加以转化；二是约束条件中含参，可行域的边界线一般有一条是动态的，所以要充分依据目标函数及最值等条件数形结合处理，有时还得进行分类讨论 考点4 合情推理考法全练1(2019高考全国卷)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同
14、且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A甲、乙、丙 B乙、甲、丙C丙、乙、甲 D甲、丙、乙解析：选A依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A2(2019重庆市七校联合考试)某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行某公司有A，B，C，D，E五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A
15、，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是()A今天是周四 B今天是周六CA车周三限行 DC车周五限行解析：选A在限行政策下，要保证每天至少有四辆车可以上路行驶，周一到周五每天只能有一辆车限行由周末不限行，B车昨天限行知，今天不是周一，也不是周日；由E车周四限行且明天可以上路可知，今天不是周三；由E车周四限行，B车昨天限行知，今天不是周五；从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，如果今天是周二，A，C两车连续行驶到周五，只能同时在周一限行，不符合题意；如果今天是周六，则B车周五限行，A，C两车连续行驶到周二，只能同时在周三限行，不符合题意，所以今天是周四故
16、选A3(2019南昌市第一次模拟测试)我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中，第n行的所有数之和为2n1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前55项和为()A4 072 B2 026C4 096 D2 048解析：选A由题意，在“杨辉三角”中，令行数为n，则(2n1)55，解得n12，则前12行的和为121222112121，所以去除所有为1的项后的数列的前55项和为2122124 072，故选A4(2019安徽省考试试题)在平面几何中，与三角形的三条边所
17、在直线的距离相等的点有且只有四个类似的，在立体几何中，与正四面体的四个面所在平面的距离相等的点()A有且只有一个 B有且只有三个C有且只有四个 D有且只有五个解析：选D如图1所示，与ABC的三条边所在直线的距离相等的点为O1，O2，O3，O4，其中O1是ABC的内切圆的圆心，O2是与AC，AB的延长线和线段BC都相切的圆的圆心，O3是与CA，CB的延长线和线段AB都相切的圆的圆心，O4是与BC，BA的延长线和线段AC都相切的圆的圆心类似的，如图2所示，正四面体PABC的内切球的球心到四个面所在平面的距离相等，将正四面体PABC延拓为正四面体PDEF，所得三棱台ABCDEF内存在一个球，其球心到
18、平面ABC，平面PDE，平面PEF，平面PDF的距离相等，同理，分别将四面体APBC，BPAC，CPAB进行延拓均可得到一个满足题意的点，因此满足题意的点有且只有五个，故选D规律方法(1)破解归纳推理题的思维3步骤发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)检验，得结论：对所得的一般性命题(猜想)进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧(2)破解类比推理题的3个关键会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质
19、，得出一个明确的猜想会检验，即检验猜想的正确性要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力 练典型习题提数学素养一、选择题1已知a0b，则下列不等式一定成立的是()Aa2ab B|a|b|C D解析：选C通解：当a1，b1时，满足a0b，此时a2ab，|a|b|，所以A，B，D不一定成立因为a0b，所以ba0，ab0，所以0，所以一定成立，故选C优解：因为a0b，所以0，所以一定成立，故选C2若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是()A62 B72C64 D74解析：选D因为log4(3a4b)log2，所以log22(3a4b)log2，所以log2
20、(3a4b)log2，所以log2(3a4b)2log2，所以log2(3a4b)log2ab，所以3a4bab，即1，故ab(ab)774.故选D3(一题多解)(2019武汉调研)设实数x，y满足，则zx3y的最大值为()A15 BC5 D6解析：选D法一：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示作出直线x3y0并平移，可知当直线经过点A时z取得最大值，由可得，故A(0，2)，此时zmax066.故选D法二：作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域的顶点坐标为A(0，2)，B，C(5，0)，分别代入目标函数，对应的z的值为6，5，故z的最大值为6，故选D4(一题多解)设函数f(x)则满足不等
21、式f(x22)f(x)的x的取值范围是()A(，1)(2，)B(，)(，)C(，)(2，)D(，1)(，)解析：选C法一：因为当x0时，函数f(x)单调递增；当x0时，f(x)0，故由f(x22)f(x)得，或解得x2或x，所以x的取值范围是(，)(2，)，故选C法二：取x2，则f(222)f(2)，所以x2不满足题意，排除B，D；取x1.1，则f(1.1)22)f(0.79)0，f(1.1)0，所以x1.1不满足题意，排除A，故选C5(2019重庆调研)甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙获奖”乙说：“甲、丙都未获奖”丙说：“我获奖了”丁说：
22、“是乙获奖”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是()A甲 B乙C丙 D丁解析：选D假设获奖的同学是甲，则甲、乙、丙、丁四位同学的话都不对，因此甲不是获奖的同学；假设获奖的同学是乙，则甲、乙、丁的话都对，因此乙也不是获奖的同学；假设获奖的同学是丙，则甲和丙的话都对，因此丙也不是获奖的同学从前面推理可得丁为获奖的同学，此时只有乙的话是对的，故选D6(一题多解)若关于x的不等式x22ax10在0，)上恒成立，则实数a的取值范围为()A(0，) B1，)C1，1 D0，)解析：选B法一：当x0时，不等式10恒成立，当x0时，x22ax102ax(x21)2a，又2，当且仅当x1时，取等号，所
23、以2a2a1，所以实数a的取值范围为1，)法二：设f(x)x22ax1，函数图象的对称轴为直线xa，当a0，即a0时，f(0)10，所以当x0，)时，f(x)0恒成立；当a0，即a0时，要使f(x)0在0，)上恒成立，需f(a)a22a21a210，得1a0.综上，实数a的取值范围为1，)，故选B7(2019昆明模拟)下面是(ab)n(nN)*，当n1，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式(ab)111 (ab)2121 (ab)31331 (ab)41441 (ab)5151051(ab)61615201561借助上面的表示形式，判断与的值分别是()A5，9 B5，10C6，10
24、D6，9解析：选C由题意知，题中的二项式系数表示形式为杨辉三角数阵，杨辉三角数阵中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，易得6，10.故选C8某班级有一个学生A在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑完一圈，在学生A开始跑步时，在教室内有一个学生B，往操场看了一次，以后每50秒他都往操场看一次，则该学生B“感觉”到学生A的运动是()A逆时针方向匀速前跑B顺时针方向匀速前跑C顺时针方向匀速后退D静止不动解析：选C令操场的周长为C，则学生B每隔50秒看一次，学生A都距上一次学生B观察的位置(弧长)，并在上一次位置的后面，故学生B“感觉”到学生A的运动是顺时针方向匀速后退的，故选C
25、9已知实数x，y满足.若z|2x2y1|，则z的取值范围是()A B0，5C0，5) D解析：选C通解：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示令t2x2y1，则z|t|.t2x2y1可变形为yxt，作出直线yx，并平移，当直线经过点A时，t取得最小值，所以tmin221；当直线yx向右下方平移，并接近点C(2，1)时，t的值趋近于222(1)15.所以z的取值范围为0，5)，故选C优解：令t2x2y1，则z|t|，易知t2x2y1的最值在可行域的顶点处取得易得A，B，C(2，1)为可行域的顶点，分别将A，B，C三点的坐标代入t2x2y1，对应的t的值为，0，5，又可行域不包括点B，C，所以z的
26、取值范围为0，5)，故选C10已知变量x，y满足约束条件若目标函数zaxby(a0，b0)的最小值为2，则的最小值为()A2 B52C8 D2解析：选A作出约束条件所对应的可行域，如图中阴影部分因为a0，b0，所以0.所以目标函数zaxby在点A(1，1)处取得最小值2，即2a1b1，所以ab2.所以(ab)(42)2(当且仅当，即ba时取等号)故选A11若maxs1，s2，sn表示实数s1，s2，sn中的最大者设A(a1，a2，a3)，B，记ABmaxa1b1，a2b2，a3b3设A(x1，x1，1)，B，若ABx1，则x的取值范围为()A1，1 B1，1C1，1 D1，1解析：选B由A(x
27、1，x1，1)，B，得ABmaxx1，(x1)(x2)，|x1|x1，则化简，得由，得1x1.由，得x1.所以不等式组的解集为1x1，则x的取值范围为1，1故选B12(2019武汉调研)已知函数f(x)x33x24x2，则不等式|f(x1)|f(x)|的解集为()A BC D解析：选A当x0时，f(0)2，|f(0)|2，f(1)13420，|f(1)|0，|f(1)|f(0)|，即x0满足题意，排除C与D选项(不含 x0)；当x1时f(0)2，|f(0)|2，f(1)134210，|f(1)|10，|f(0)|f(1)|，即x1满足题意，排除B选项(不含x1)，故选A二、填空题13若ab0，
28、则a2b2的最小值为_解析：法一：因为2aba2b2，所以(ab)22(a2b2)，由ab0，知a2b2a2b22，当且仅当ab，且a2b2，即ab时，等号成立法二：因为a2b22ab，所以2(a2b2)(ab)2，所以a2b2，所以a2b22，当且仅当ab，且，即ab时，等号成立答案：14(2019河北省九校第二次联考)学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说
29、的话是对的，则获得一等奖的作品是_解析：若获得一等奖的是A，则甲、乙、丙、丁四位同学说的话都错；若获得一等奖的是B，则乙、丙两位同学说的话对，符合题意；若获得一等奖的是C，则甲、丙、丁三位同学说的话都对；若获得一等奖的是D，则只有甲同学说的话对，故获得一等奖的作品是B.答案：B15我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式1中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1x求得x.类比上述过程，则_解析：令 x(x0)，两边平方，得32x2，即32xx2，解得x3，x1(舍去)，故3.答案：316若x，y满足约束条件目标函数z2x3y的最小值为2，则a_，z的最大值是_解析：x，y满足约束条件的可行域如图，目标函数z2x3y经过可行域内的点A时，z取得最小值，经过点B时，z取得最大值由解得A(1，0)又点A在直线xa上，可得a1.由解得B，则z的最大值是z213.答案：1
