1、课堂探究探究一 求函数的极值用导数研究函数的极值的步骤及应对策略：(1)求定义域，并求导数f(x)；(2)解方程f(x)0；(3)列出表格在判断f(x)的符号时，可借助决定导函数符号的图象直观解决；也可判断导函数中各因式的符号；还可用特值法判断，要灵活、快速、准确；(4)由表格获得结论实质上表格反映的就是函数的草图，下结论时应注意“极值”和“极值点”的区别【典型例题1】求下列函数的极值：(1)f(x)x312x；(2)f(x)sin x(1cos x)(0x2)思路分析：解：(1)函数f(x)的定义域为R；f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f
2、(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)1616从表中可以看出，当x2时，函数有极大值，且f(2)(2)312(2)16.当x2时，函数有极小值，且f(2)2312216.(2)f(x)cos x(1cos x)sin x(sin x)cos xcos2xsin2xcos xcos2x(1cos2x)2cos2xcos x1(2cos x1)(cos x1)令f(x)0，得cos x或cos x1.当0x2时，x1，x2，x3.当x在区间(0,2)内变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)000f(x)极大值0极小值故当x时，f(x)有极大值为
3、；当x时，f(x)有极小值为.探究二 已知函数的极值求参数的值或范围1已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和已知极值(或极值之间的关系)列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性2对于可导函数f(x)，若它有极值点x0，则必有f(x0)0，因此函数f(x)有极值的问题，往往可以转化为方程f(x)0有根的问题，从而可借助方程的知识进行求解【典型例题2】已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，求常数a，b的值思路分析：本题考查已知极值求参数值的问
4、题求导，分别建立关于a，b的方程组，注意验证以及对根的取舍解：f(x)在x1时有极值0，且f(x)3x26axb，即解得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)，当x(，3)时，f(x)为增函数；当x(3，1)时，f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)为增函数；f(x)在x1时取得极小值a2，b9.【典型例题3】若函数f(x)x36bx3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是_解析：f(x)3x26b，因为f(x)在(0,1)内有极小值，所以，函数f(x)应满足条件即解得0b
5、.答案：探究三 函数极值的综合应用涉及方程f(x)k的解的个数问题，时常转化成函数yf(x)与yk两函数图象的交点个数问题，求解时可利用导数，求出yf(x)的单调区间及极值，画出草图，借助图象求出解的个数【典型例题4】若函数f(x)ax3bx4，当x2时函数f(x)有极值.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)k有三个不等实根，求实数k的取值范围解：(1)由题意可知f(x)3ax2b，于是经检验a，b4符合题意故所求函数f(x)的解析式为f(x)x34x4.(2)由(1)知f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下
6、：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)因此，当x2时，f(x)有极大值；当x2时，f(x)有极小值，则f(x)的图象大致如图所示，要使关于f(x)k的方程有三个不等实根，则使k应满足k.探究四 易错辨析易错点：不理解f(x)0的根与函数极值点的关系【典型例题5】已知关于x的函数f(x)x3bx2cxbc，如果函数f(x)在x1处取得极值，则b_，c_.错解：f(x)x22bxc，由f(x)在x1处取得极值，可得解得或错因分析：函数在一点处的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而非充分条件错解中忽略了对得出的两组解进行检验而出错，一般地，根据极值条件求参数的值的问题时，在得到参数的两组解后，应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验，考察每一组解所对应的函数在该点处是否能取得极值，从而进行取舍正确：f(x)x22bxc，由f(x)在x1处取得极值，可得解得或若b1，c1，则f(x)x22x1(x1)20，此时f(x)没有极值；若b1，c3，则f(x)x22x3(x3)(x1)，当3x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0，所以当x1时，f(x)有极大值.故b1，c3即为所求答案：13
