1、第3课时充分必要条件的综合应用1.能够分清充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的关系.2.利用充分必要条件的知识解决与集合、函数、三角函数、平面向量、数列、不等式、立体几何等问题.上一节课我们共同学习了充分条件、必要条件和充要条件的基本概念,并能简单地进行论证,充分必要条件是一种重要的数学工具,是集合、函数、不等式、三角函数、数列、平面向量等知识的综合交汇点,地位重要,本节课我们将共同探究充分必要条件的综合应用,我们先思考并回答下面几个问题.问题1: 充分条件与必要条件的定义:(1)若pq,则p是q的条件;(2)若qp,则p是q的条件;(3)若pq且qp,则p是q的条件
2、;(4)若pq且q/ p,则p是q的条件;(5)若p/ q且qp,则p是q的条件;(6)若p/ q且q/ p,则p是q的条件.问题2: 充分必要条件与集合间的关系记条件p、q对应的集合分别为A、B,则:若AB,则p是q的条件;若AB,则p是q的条件;若BA,则p是q的条件;若BA,则p是q的条件;若A=B,则p是q的条件;若AB,且AB,则p是q的条件.问题3: 四种命题间的充分必要关系:把p与q分别记作命题的条件与结论,则原命题与逆命题的真假同p与q之间的关系如下:(1)如果原命题真,逆命题假,那么p是q的条件;(2)如果原命题假,逆命题真,那么p是q的条件;(3)如果原命题与逆命题都真,那
3、么p是q的条件;(4)如果原命题与逆命题都假,那么p是q的条件.1.不等式2x2+x-33或x-2B.x|-2x3C.x|-x3D.x|0xb”是“a3b3”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.“x=2k+(kZ)”是“tan x=1”的 条件.(填“充分不必要”“ 必要不充分”或“充分必要”)4.已知集合A=y|y=x2-x+1, x,2,B=x|x+m21.若“xA”是“xB”的充分条件,求实数m的取值范围.充分必要条件的判定已知数列an,“对任意的nN+,点P(n,an)都在直线y=2x+1上”是“数列an为等差数列”的( ).A.充分不
4、必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件充要条件的探求已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m).(1)求点A、B、C能构成三角形的充要条件;(2)求A为直角的充要条件.充要条件的证明设a,b,c为ABC的三边,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90.设等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,则“|q|=”是“S6=7S2”的( ).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件已知关于x的一元二次方程(mZ),mx2-4x+4=0, x2-4mx+4m2-4m-5=0,
5、求方程和的根都是整数的充要条件.设p是不为0和1的实数,Sn=pn+q(nN+)是数列的前n项和.求证:数列是等比数列的充要条件是q=-1.1. “=”是“cos =”的( ).A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知函数y=f(x)的定义域为D,且D关于坐标原点对称,则“f(0)=0”是“y=f(x)为奇函数”的( ).A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.已知条件p:函数g(x)=logm(x-1)为减函数,条件q:关于x的一元二次方程-2x+m=0有解,则p是q的条件.(填“充分不必要”“ 必要不充分”或
6、“充分必要”)4.求一元二次方程ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根的充分必要条件.(2013年天津卷)设a,bR,则“(a-b)a20”是“ab”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考题变式(我来改编):第3课时充分必要条件的综合应用知识体系梳理问题1:(1)充分(2)必要(3)充要(4)充分不必要(5)必要不充分(6)既不充分也不必要问题2:充分充分不必要必要必要不充分充要既不充分也不必要问题3:(1)充分不必要(2)必要不充分(3)充要(4)既不充分也不必要基础学习交流1.D解不等式2x2+x-30得-x1,集合x|-x1的一个子集就是
7、不等式2x2+x-3b3得ab,所以“ab”是“a3b3”的充要条件,选C.3.充分不必要由tan x=1得x=k+(kZ),所以“x=2k+(kZ)”是“tan x=1”的充分不必要条件.4.解:y=x2-x+1=(x-)2+,x,2,y2,A=y|y2,由x+m21得x1-m2,B=x|x1-m2,“xA”是“xB”的充分条件,AB,1-m2,解得m或m-,故实数m的取值范围是(-,-,+).重点难点探究探究一:【解析】因为Pn(n,an)在直线y=2x+1上,所以an=2n+1(nN+),当n2时,an-1=2(n-1)+1=2n-1,于是an-an-1=2(常数).又a1=3,所以数列
8、是首项为3,公差为2的等差数列.反过来,令an=n(nN+),则为等差数列,但点(n,n)不在直线y=2x+1上.【答案】A【小结】在条件和结论的互相推理过程中,一定要注意大前提是什么.探究二:【解析】(1)因为=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m),所以=(3,1),=(2-m,1-m).点A、B、C能构成三角形A、B、C三点不共线,即m.所以点A、B、C能构成三角形的充要条件是“m”.(2)A为直角的充要条件是.=0,所以3(2-m)+(1-m)=0,解得m=.【小结】寻找命题的充分必要条件在推导过程中每一步必须是等价可逆的,这样才能确保所得到的结论是原命题的充要条件.探究
9、三:【解析】充分性:因为A=90,所以a2=b2+c2.于是方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0,所以x2+2ax+(a+c)(a-c)=0,所以x+(a+c)x+(a-c)=0,该方程有两根为x1=-(a+c),x2=-(a-c).同样另一方程x2+2cx-b2=0也可化为x2+2cx-(a2-c2)=0,即x+(a+c)x+(c-a)=0,也有两根x3=-(a+c),x4=-(c-a).可以发现x1=x3,所以方程有公共根.必要性:设x0是方程的公共根,则由+得x0=-(a+c),代入中并整理可得a2=b2+c2.所以A=90.证明完毕.思维拓展应用应用一:A若q=
10、1,则S6=7S2显然不成立.由S6=7S2得=7,即1-q6=7(1-q2),所以q6-7q2+6=0.若|q|=,则q2=2,满足q6-7q2+6=0.当q=-1时,满足q6-7q2+6=0,但|q| ,所以“|q|=”是“S6=7S2”的充分而不必要条件,选A.应用二:方程有实数根的充要条件是=16-44m0且m0,解得m1,且m0,方程有实数根的充要条件是=16m2-4(4m2-4m-5)0,解得m-.所以-m0且0m1,而mZ,故m=-1或m=1.当m=-1时,方程为x2+4x-4=0,无整数根;当m=1时,方程为x2-4x+4=0,方程为x2-4x-5=0,和均有整数根.从而,和均
11、有整数根m=1.反之,m=1,方程为x2-4x+4=0,方程为x2-4x-5=0,和均有整数根,所以和均有整数根的充要条件是m=1.应用三:先证充分性:当q=-1时,Sn=pn-1,S1=p-1;当n2,nN+时,an=Sn-=(p-1),则=(p-1),故=p,所以是等比数列.再证必要性:依题意易知a1=S1=p+q,an=(p-1)(n2,nN+).显然,当n2时,是等比数列,其公比为p.a2=pa1,即p2-p=p2+pq,得q=-1.证明完毕.基础智能检测1.B由cos =,得=+2k或=-+2k,kZ,所以“=”是“cos =”的充分不必要条件,选B.2.D若f(x)=x2,则满足f(0)=0,但f(x)是偶函数;若f(x)=,则函数f(x)是奇函数,但f(0)没有意义,故选D.3.充分不必要函数g(x)=logm(x-1)为减函数,则有0m1,即p:0m1.关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有解,则判别式=4-4m0,解得m1,即q:m1.所以p是q的充分不必要条件.4.解:若方程有一个正根和一个负根,则0,得a0,故充分必要条件是a0.全新视角拓展A(a-b)a20a-b0ab;但当a=0,b=1时,(a-b)a2=0,即ab/ (a-b)a20,故“(a-b)a20”是“ab”的充分而不必要条件.
