1、微专题2 圆锥曲线中的定点、定值问题学习目标1.掌握直线、曲线过定点或两条直线的交点在定曲线上的方法.2.掌握圆锥曲线中定值问题的处理方法,常涉及式子、面积的定值问题.自主检测必备知识一、概念辨析,判断正误1.抛物线x2=ay(a0) 过定点(0,0).( )2.直线(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 过定点(3,1).( )3.设A、P 是椭圆x22+y2=1 上的两点,点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P ),若直线AP、BP 分别交x 轴于点M、N, 则OMON=2 .( )二、夯实基础,自我检测4.（2020江西南昌东湖十中高二期末）已知椭圆x28+y22=1 上一点P(2,1
2、) ,一条直线l 与OP 平行且与椭圆交于A、B 两点,直线PA、PB 分别与x 轴正半轴交于点M、N ,则|OM|+|ON| 的值为( )A.1B.2C.3D.4答案： D5.（2021黑龙江伊春伊美二中高二月考）已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0) 的离心率是63 ,过椭圆上一点M 作直线MA,MB ,分别交椭圆于点A ,B ,且斜率分别为k1,k2 ,若点A ,B 关于原点对称,则k1k2 的值为( )A.12 B.-12 C.13 D.-13答案： D6.抛物线E1:y2=8x 和圆E2:(x-2)2+y2=4 ,直线y=x-2 与抛物线E1 和圆E2 分别交于四个点A、D、B、C
3、 (自上而下的顺序为A、B、C、D ),则|AB|BC|CD| 的值为 .答案： 16解析： 抛物线E1 的焦点为F(2,0) ,准线方程为x=-2 ,圆E2 的圆心坐标为(2,0),半径为2,因为直线y=x-2 经过圆心(2,0),所以|BC|=4 .将y=x-2 与y2=8x 联立,得x2-12x+4=0 ,设A(x1,y1),D(x2,y2), 则x1+x2=12,x1x2=4, 所以|AB|BC|CD|=(|AF|-2)4(|DF|-2)=4(x1+2-2)(x2+2-2)=16 .互动探究关键能力探究点一 圆锥曲线中的直线过定点问题精讲精练例 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab
4、0) 的一个顶点为B(0,1) ,离心率为32 .（1）求椭圆C 的方程;（2）若直线l 与椭圆C 交于M、N 两点,直线BM 与直线BN 的斜率之积为12 ,证明直线l 过定点,并求出该定点的坐标.答案：（1） 椭圆C 的一个顶点为B(0,1),b=1, 又e=32 ,即a2-1a=32 ,a=2 ,故椭圆C的方程为x24+y2=1 .（2）若直线l 的斜率不存在,设M(m,n) ,则N(m,-n) ,此时kBMkBN=n-1m-n-1m=1-n2m2=14m2m2=14 ,与题设矛盾,故直线l的斜率必存在.设l:y=kx+d,M(x1,y1),N(x2,y2),联立得y=kx+d,x24+
5、y2=1, 得(1+4k2)x2+8kdx+4d2-4=0x1+x2=-8kd1+4k2,x1x2=4d2-41+4k2 .kBMkBN=y1-1x1y2-1x2=y1y2-(y1+y2)+1x1x2=(kx1+d)(kx2+d)-(kx1+d+kx2+d)+1x1x2=12 ,(k2-12)x1x2+k(d-1)(x1+x2)+(d-1)2=0, 即d2+2d-3=0,解得d=-3 或d=1 (舍去),l:y=kx-3 ,故直线l过定点(0,-3).解题感悟直线AB 过定点C ：（1）如果没有告知定点,特殊情况下,可以根据对称性得到点C在某个坐标轴上,故求出AB与相应坐标轴的交点即可得结论;
6、一般情况下,将直线AB 的方程看作关于未知量的方程,令每一项系数等于0,得到相应的x,y 的值,即为定点坐标.（2）如果题设告知了定点,将定点坐标代入方程检验或者转化为三点共线问题.迁移应用已知抛物线C ：y2=2px(p0) 过点(1,1).（1）求抛物线C 的方程;（2）O 为坐标原点,A ,B 为抛物线C 上异于原点O 的不同两点,直线OA,OB 的斜率分别为k1,k2, 若k1k2=-2, 求证：直线AB 过定点.答案：（1）因为抛物线C ：y2=2px(p0) 过点(1,1),所以1=2p ,解得p=12 ,所以抛物线C 的方程为y2=x .（2）证明：设点A ,B 的坐标分别为(y
7、12,y1),(y22,y2),所以k1=y1y12=1y1,k2=y2y22=1y2,由题意有k1k2=1y1y2=-2, 得y1y2=-12.当直线AB 的斜率不存在时,此时y1=-y2 ,直线AB 的方程为x=12 .当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y=kx+m(m0) ,由y2=x, y=kx+m, 消去x 后整理得ky2-y+m=0 ,可得y1y2=mk=-12, 得k=-2m,所以直线AB 的方程为y=-2mx+m ,可化为y=-2m(x-12) .由知直线AB 过定点(12,0) .探究点二 圆锥曲线中的圆过定点问题 精讲精练例 （2021重庆复旦中学高二段考）已知
8、点F(1,0) ,直线l:x=-1,M 为平面直角坐标系上的动点,过动点M 作l 的垂线,垂足为点Q ,且满足QF(MQ+MF)=0 ,记M 的轨迹为C .（1）求C 的方程;（2）若过点F 的直线与曲线C 交于P,Q 两点,直线OP,OQ 与直线x=1 分别交于A ,B 两点,试判断以AB 为直径的圆是否过定点.若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.答案：（1）设M(x,y) , 点F(1,0) ,直线l:x=-1,Q(-1,y) ,QF(MQ+MF)=0 ,(2,-y)(-2x,-y)=-4x+y2=0 ,C 的方程为y2=4x .（2）以AB 为直径的圆过定点.设直线PQ 的方
9、程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立得y2=4x, x=my+1, 整理得y2-4my-4=0 ,则=16m2+160,y1+y2=4m,y1y2=-4, 直线OP 的方程为y=y1x1x=4y1x, 同理可得直线OQ 的方程为y=4y2x .令x=1, 得A(1,4y1),B(1,4y2),设AB 的中点T 的坐标为(xT,yT) ,则xT=1,yT=4y1+4y22=2(y1+y2)y1y2=-2m,T(1,-2m) .|AB|=|4y1-4y2|=4|y2-y1|y1y2|=4(y1+y2)2-4y1y24=16m2+16 , 圆的半径r=16m2+162 , 以A
10、B 为直径的圆的方程为(x-1)2+(y+2m)2=4m2+4, 即(x-1)2+y2+4my=4,令y=0, 可得(x-1)2=4, 解得x=3 或x=-1 , 以AB 为直径的圆经过定点(-1,0)和(3,0).迁移应用 已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ,对称轴为x 轴,且C 经过点A(4,6) .（1）求抛物线C 的方程;（2）过(9,0)的直线l 与C 交于M,N 两点,证明：以线段MN 为直径的圆过定点.答案：（1）设C 的方程为y2=2px(p0) ,将点A 的坐标代入方程得62=2p4 ,即p=92 ,所以C 的方程为y2=9x .（2）证明：直线l 的斜率显然不为0,设直线l
11、 的方程为x=my+9,M(x1,y1),N(x2,y2) ,线段MN 的中点为G(x0,y0) .由y2=9x, x=my+9 得y2-9my-81=0 ,则y1+y2=9m,y1y2=-81,所以y0=y1+y22=9m2,x0=x1+x22=9m2+182,且|MN|=1+m2(y1+y2)2-4y1y2=9(1+m2)(4+m2) .以线段MN 为直径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=(|MN|2)2,即x2-9(m2+2)x+y2-9my=0,即x2-18x+y2-9m(mx+y)=0, 令mx+y=0, 则x2-18x+y2=0,因为mR ,所以圆x2-18x+y2-9m
12、(mx+y)=0 过定点(0,0),从而以线段MN 为直径的圆过定点.探究点三 圆锥曲线中的定值问题 精讲精练 例 已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0) 经过点M(2,2103) ,且其右焦点为F2(1,0).（1）求椭圆的方程;（2）若点P 在圆x2+y2=b2 上,且在第一象限,过P 作圆x2+y2=b2 的切线交椭圆于A、B 两点,试问：AF2B 的周长是不是定值？如果是,求出该定值;如果不是,请说明理由.答案： （1）由c=1,4a2+409b2=1,a2=b2+c2, 得a2=9,b2=8, 则椭圆方程为x29+y28=1 .（2）AF2B 的周长是定值.设P(x0,y0)、A(
13、x1,y1)、B(x2,y2),由题意得AF2B 的周长L=|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF2|+|BF2|+|AP|+|BP| ,易知OPAB,|OP|2=b2=8,y2=-89x2+8, 则|AP|2=|OA|2-|OP|2=x12+y12-8=x12-89x12+8-8=19x12 ,又P 在第一象限,则x10 ,则|AP|=x13 ,同理可得|BP|=x23 ,又|AF2|2=(x1-1)2+y12=x12-2x1+1-89x12+8=19x12-2x1+9 ,且x13 ,则|AF2|=19x12-2x1+9=3-13x1, 同理可得|BF2|=3-13x2,L=3-13x1+
14、3-13x2+13x1+13x2=6 ,AF2B 的周长为定值6.解题感悟求圆锥曲线中的定值问题常用的方法：（1）引起变量法：其解题流程为（2）特例法：从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.迁移应用设抛物线C ：y2=4x,F 为C 的焦点,过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点.（1）设l 的斜率为2,求|AB| 的值;（2）求证：OAOB 为定值.答案：（1）依题意得F(1,0) ,所以直线l 的方程为y=2(x-1) .设直线l 与抛物线C 的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=2(x-1),y2=4x 得x2-3x+1=0 ,所以x1+x2=3 ,所以|AB|=|
15、AF|+|BF|=x1+x2+p=3+2=5 .（2）证明：设直线l 的方程为x=ky+1 ,直线l 与抛物线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),由x=ky+1,y2=4x 得y2-4ky-4=0,所以y1+y2=4k,y1y2=-4 .因为OAOB=(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2=-4k2+4k2+1-4=-3 ,所以OAOB 为定值.评价检测素养提升1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0) 的离心率为32 ,其短轴长为2.（1）求椭圆C 的方程;（2）若直线l 与椭圆C
16、交于P,Q 两点（点P,Q 均在第一象限）,且直线OP,l,OQ 的斜率分别为kOP,k,kOQ,且k2=kOPkOQ, 证明：直线l 的斜率为定值.答案： （1）由题意可得ca=32, 2b=2, a2=b2+c2,解得a=2,b=1,故椭圆C的方程为x24+y2=1 .（2）证明：由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l 的方程为y=kx+m(m0) ,由y=kx+m,x24+y2=1, 消去y 后整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0 , 直线l 与椭圆C 交于两点,=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)0 .设点P,Q 的坐标分别为
17、(x1,y1),(x2,y2) ,则x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4(m2-1)1+4k2,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 .k2=kOPkOQ,k2=y1x1y2x2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2x1x2,整理得km(x1+x2)+m2=0,-8k2m21+4k2+m2=0,又m0,k2=14, 点P,Q 都在第一象限,k0 ,即k=-12 ,故直线l的斜率为定值.2.（2021山东德州高二期末）已知抛物线C ：y2=2px(p0) 的焦点为F ,A 为抛物线上一点,O 为坐标原点,OFA 的外接圆与抛物线的准线相切,且外
18、接圆的周长为6 .（1）求抛物线C 的方程;（2）已知点B(-1,0) ,设不垂直于x 轴的直线l 与抛物线C 交于不同的两点M,N ,若MBO=NBO ,证明直线l 过定点,并写出定点坐标.答案：（1）因为OFA 的外接圆与抛物线的准线相切,所以OFA 的外接圆的圆心到准线的距离等于半径,因为外接圆的周长为6 ,所以圆的半径为3,又圆心在OF 的垂直平分线上,|OF|=p2 ,所以p4+p2=3p4=3 ,解得p=4 ,所以抛物线C 的方程为y2=8x .（2）设直线l 的方程为y=kx+b(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),由y2=8x, y=kx+b 得k2x2+(2kb-8)x+b2=0 ,其中=64-32kb0, 则kb2 .所以x1+x2=-2kb-8k2,x1x2=b2k2, 因为MBO=NBO ,所以kBM+kBN=y1x1+1+y2x2+1=0, 即kx1+bx1+1+kx2+bx2+1=0 ,化简得2kx1x2+(k+b)(x1+x2)+2b=0,所以2kb2k2+(k+b)(-2kb-8k2)+2b=0, 所以b=-k,所以直线l 的方程为y=k(x-1) ,所以直线l 恒过定点(1,0).
