1、第2课时 空间中直线、平面的平行课标解读课标要求素养要求1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系。2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理。3.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系。 1.逻辑推理能够推理出直线、平面平行关系.2数学运算会用空间向量的坐标运算，证明直线、平面的平行关系. 自主学习必备知识教材研习教材原句1.线线平行：设u1,u2 分别是不重合的直线l1,l2 的方向向量，则l1l2u1u2R ，使得 u1=u2 .2.线面平行：设u 是直线l 的方向向量，n 是平面 的法向量，la ，则l/ unun=0 .3.面面平行：设n
2、1,n2 分别是不重合的平面, 的法向量，则 n1n2R ，使得n1=n2 .自主思考1.用向量方法证明线线平行时，只需要说明“R ，使得u1=u2 ”就可以吗？提示 不可以，还要说明两直线不重合.2.用向量法证明面面平行时，只需要说明“n1n2 ”就可以吗？提示 不可以，还要说明两个平面不重合.名师点睛1.若两条不重合的直线l1,l2 的方向向量分别为u1=(a1,b1,c1) ，u2=(a2,b2,c2) ，则l1l2u1u2(a1,b1,c1)=(a2,b2,c2) .2.设直线l 的方向向量为a=(a1,b1,c1) ，平面 的法向量为u=(a2,b2,c2) ，则lau=0a1a2+
3、b1b2+c1c2=0 .3.若平面 的法向量为u=(a1,b1,c1) ，平面 的法向量为v=(a2,b2,c2) ，则uv(a1,b1,c1)=(a2,b2,c2) .互动探究关键能力探究点一 证明线线平行精讲精练 例 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E,F 分别为DD1,BB1 的中点.求证：四边形AEC1F 是平行四边形.答案：证明 以点D 为坐标原点，DA,DC,DD1 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，设该正方体的棱长为1，则A(1,0,0),E(0,0,12),C1(0,1,1),F(1,1,12) ，AE=(-1,0,12)
4、,FC1=(-1,0,12),EC1=(0,1,12),AF=(0,1,12) ，AE=FC1,EC1=AF,且FAE,FEC1,AEFC1,EC1AF, 四边形AEC1F 是平行四边形.解题感悟（1）两直线平行 #两直线的方向向量共线.（2）两直线的方向向量共线 两直线平行或重合，所以由两直线的方向向量共线证明两直线平行时，必须指出两直线不重合。迁移应用在长方体ABCD-A1B1C1D1 中，E,F 分别是面对角线B1D1,A1B 上的点，且D1E=2EB1,BF=2FA1 .求证：EFAC1 .答案：证明 如图所示，以D 为原点，DA,DC,DD1 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建
5、立空间直角坐标系.设DA=a,DC=b,DD1=c ，则A(a,0,0),C1(0,b,c),E(23a,23b,c),F(a,b3,23c) ，FE=(-a3,b3,c3),AC1=(-a,b,c),FE=13AC1 .FE 与AC1 不共线，EFAC1 .探究点二 证明线面平行精讲精练 例 在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，M,N 分别是CC1,B1C1 的中点.求证：MN 平面A1BD .答案：证明 如图，以D 为原点，DA,DC,DD1 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),M(0,1
6、,12),N(12,1,1) ，DA1=(1,0,1),DB=(1,1,0),MN=(12,0,12) .设平面A1BD 的法向量为n=(x,y,z),则nDA1=0,nDB=0, 即x+z=0,x+y=0,取x=1 ，则y=-1,z=-1 ， 平面A1BD 的一个法向量为n=(1,-1,-1).MNn=(12,0,12)(1,-1,-1)=0 ，MNn ，MN 平面A1BD .解题感悟证明线面平行的方法：（1）设a 是直线的方向向量，u 是平面的法向量，只需证明au ，即au=0 ；（2）在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可；（3）只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不
7、共线的向量线性表示即可.迁移应用在如图所示的多面体中，EF 平面AEB ，AEEB ，ADEF ，EFBC ，BC=2AD=4 ，EF=3 ，AE=BE=2 ，G 是BC 的中点，求证：AB 平面DEG .答案：证明 EF 平面AEB ，且AE 平面AEB,BE 平面AEB ，EFAE,EFBE .又AEEB ，EB,EF,EA 两两垂直，故以点E 为坐标原点，EB,EF,EA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得E(0,0,0) ，A(0,0,2) ，B(2,0,0) ，C(2,4,0) ，F(0,3,0) ，D(0,2,2) ，G(2,2,0) ，ED
8、=(0,2,2) ，EG=(2,2,0) ，AB=(2,0,-2) .设平面DEG 的法向量为n=(x,y,z) ，则EDn=0,EGn=0, 即2y+2z=0,2x+2y=0,令y=1 ，得z=-1 ，x=-1则n=(-1,1,-1) ，ABn=-2+0+2=0 ，即ABn .AB 平面DEG,AB 平面DEG .探究点三 证明面面平行精讲精练 例 如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD 平面ABCD ，PA=PD ，AB=AD ，PAPD ，ADCD ，BAD=60 ，M 、N 分别为AD 、PA 的中点，证明：平面BMN 平面PCD .答案：证明 连接BD、PM,AB=AD,BAD=
9、60,ABD 是等边三角形.M 为AD 的中点，BMAD .又PA=PD,PMAD .又平面PAD 平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD=AD,PM 平面PAD ，PM 平面ABCD .BM 平面ABCD ，PMBM ，BM,AD,PM 两两垂直，故以点M 为坐标原点，MB、MD、MP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz ，设PA=PD=22a,CD=b ，则A(0,-2a,0) ，B(23a,0,0) ，C(b,2a,0) ，D(0,2a,0) ，P(0,0,2a) ，M(0,0,0) ，N(0,-a,a) ，MN=(0,-a,a) ，MB=(23a
10、,0,0) ，PC=(b,2a,-2a) ，PD=(0,2a,-2a) ，设n1=(x1,y1,z1) 是平面BMN 的法向量，n2=(x1,y1,z1) 是平面PCD 的法向量，由n1MN=0,n1MB=0 得-ay1+az1=0,23ax1=0,令y1=1, 则x1=0,z1=1,n1=(0,1,1) ，由n2PC=0,n2PD=0 得bx2+2ay2-2az2=0,2ay2-2az2=0,令y2=1, 则z2=1,x2=0 ，n2=(0,1,1) ，n1=n2, 平面BMN 平面PCD .迁移应用在长方体ABCD-A1B1C1D1 中，DA=2 ，DC=3 ，DD1=4 ，M ，N ，E
11、 ，F 分别为棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1 的中点.求证：平面AMN 平面EFBD .答案：证明 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0) ，M(1,0,4) ，N(2,32,4) ，D(0,0,0) ，E(0,32,4) ，F(1,3,4) ，AM=(-1,0,4) ，AN=(0,32,4) ，DE=(0,32,4) ，DF=(1,3,4) .设平面AMN ，平面EFBD 的法向量分别为n1=(x1,y1,z1) ，n2=(x2,y2,z2) ，则n1AM=0,n1AN=0, 即-x1+4z1=0,32y1+4z1=0,令x1=1, 得z1=14,y1=-23 ，则n2D
12、E=0,n2DF=0, 即32y2+4z2=0,x2+3y2+4z2=0,令y2=-1, 得z2=38,x2=32 ，n1=(1,-23,14),n2=(32,-1,38) ，n1=23n2 ，即n1n2 ， 平面AMN 平面EFBD .评价检测素养提升1.（2021江苏盐城四校高二期末联考）平面 的一个法向量是（1，2，3），平面 的一个法向量是（3，0，-1），则平面 与 的位置关系是( )A.平行B.相交且不垂直C.相交且垂直D.不能确定答案： C解析：因为(1,2,3)(3,0,-1)=13+20+3(-1)=0 ，所以平面 平面 .2.已知AB=(-3,1,2) ，平面 的一个法向量
13、为n=(2,-2,4) ，点A 不在平面 内，则直线AB 与平面 的位置关系为( )A.AB B.ABC.AB 与 相交但不垂直 D.AB答案： D解析：因为nAB=2(-3)+(-2)1+42=0 ，所以nAB .又点A 不在平面 内，n 为平面 的一个法向量，所以AB ，故选D.3.若直线l 的方向向量为a=(2,2,-1) ，平面 的法向量为=(-6,8,4) ，则直线l 与平面 的位置关系是 .答案： l 或l解析： a=-12+16-4=0,a,l 或l .4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AC=3 ，BC=4 ，AB=5 ，AA1=4 ，点D 是AB 的中点.求证：AC
14、1 平面CDB1 .答案：证明 因为AC=3,BC=4,AB=5 ，所以AC2+BC2=AB2 ，所以ACBC .因为三棱柱ABC-A1B1C1 为直三棱柱，所以C1C 平面ABC ，所以C1CAC,C1CBC ，所以C1C,AC,BC 两两垂直，以C 为原点，CA、CB、CC1 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),D(32,2,0),B1(0,4,4) ，所以AC1=(-3,0,4),CD=(32,2,0),CB1=(0,4,4) ，设平面CDB1 的法向量为n=(x,y,z),则CDn=0,CB1n=0, 即32x+2y=0,4y+4z=0,令x=4 ，则y=-3,z=3 ，所以n=(4,-3,3) ，因为AC1n=0,且AC1 平面CDB1,所以AC1 平面CDB1 .
