1、课时评价作业基础达标练1.（2020海南海口海南中学高二期中）已知P 是椭圆E ：x2a2+y2b2=1(ab0) 上异于点A(-a,0),B(a,0) 的一点,E 的离心率为32 ,则直线AP 与BP 的斜率之积为( )A.-34 B.34C.-14 D.14答案： C2.直线l 与抛物线C ：y2=2x 交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若直线OA,OB 的斜率分别为k1,k2, 且满足k1k2=23 ,则直线l 过定点( )A.(-3,0)B.(0,-3)C.(3,0)D.(0,3)答案：A3.(多选题)已知动点P 在左、右焦点分别为F1、F2 的双曲线C:x2-y23=1 上运动,则
2、下列结论正确的是( )A.双曲线C 的离心率为2B.当P 在双曲线C 的左支上时,|PF1|PF2|2 的最大值为14C.点P 到两渐近线的距离之积为定值D.双曲线C 的渐近线方程为y=33x答案： A ; C解析：在双曲线C ：x2-y23=1 中,实半轴长a=1 ,虚半轴长b=3 ,半焦距c=2 ,双曲线的离心率e=ca=2 ,渐近线方程为y=3x ,故A中结论正确,D中结论错误;当P 在双曲线C 的左支上时,|PF1|c-a=1,|PF2|=2a+|PF1|=|PF1|+2 ,故|PF1|PF2|2=|PF1|(|PF1|+2)2=|PF1|PF1|2+4|PF1|+4=1|PF1|+4
3、|PF1|+4124+4=18 ,当且仅当|PF1|=4|PF1|, 即|PF1|=2 时等号成立,所以|PF1|PF2|2 的最大值为18 ,故B中结论错误;设P(x0,y0), 则x02-y023=1, 即3x02-y02=3, 又渐近线方程为3x+y=0 和3x-y=0, 故P(x0,y0) 到渐近线的距离之积为|3x0+y0|(3)2+12|3x0-y0|(3)2+(-1)2=3x02-y024=34 ,为定值,故C中结论正确.4.（2021辽宁锦州联合校高二期末）直线l:4x-3y-4=0 与抛物线y2=4x 和圆(x-1)2+y2=1 从左到右的交点依次是A ,B ,C ,D ,则
4、|AB|CD| 的值为( )A.116 B.18 C.14 D.12答案： A解析：由已知得抛物线y2=4x 的焦点为(1,0)(也是圆的圆心),直线l:4x-3y-4=0 过点(1,0),由y2=4x, 4x-3y-4=0,整理得4x2-17x+4=0 ,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1=14,x2=4,所以|AB|CD|=|AF|-1|DF|-1=(x1+1)-1(x2+1)-1=x1x2=116 .5.（2020安徽安庆一中高二期末）已知椭圆C ：x24+y23=1 ,三角形ABC 的三个顶点都在椭圆C 上,设它的三边AB,BC,AC 的中点分别为D,E,M, 且三边所在直
5、线的斜率分别为k1,k2,k3 (均不为0),O 为坐标原点,若直线OD,OE,OM 的斜率之和为1,则1k1+1k2+1k3= ( )A.-43 B.-1813 C.-32 D.-3答案： A解析：设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则x124+y123=1,x224+y223=1,两式相减得(x2-x1)(x2+x1)4=-(y2-y1)(y2+y1)3则x2+x1y2+y1=-4(y2-y1)3(x2-x1), 所以1kAB=-43kOD,同理可得1kAC=-43kOM,1kBC=-43kOE,所以1k1+1k2+1k3=-43(kOD+kOM+kOE)=-43 .素
6、养提升练6.（2021辽宁盘锦大洼高级中学高二期末）已知抛物线C1:y2=2px(p0) 与椭圆C2:x24+y23=1 有一个相同的焦点,过点A(2,0) 且与x 轴不垂直的直线l 与抛物线C1 交于P,Q 两点,P 关于x 轴对称的点为M .（1）求抛物线C1 的方程;（2）试问：直线MQ 是否过定点？若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.答案： （1）由题意可知抛物线C1 的焦点为椭圆C2 的右焦点,坐标为(1,0),所以p=2 ,所以抛物线C1 的方程为y2=4x .（2）因为点P 与点M 关于x 轴对称,所以设直线PQ 的方程为y=k(x-2),P(x1,y1),Q(x2,y2
7、), 则M(x1,-y1),将直线PQ 的方程代入y2=4x 得k2x2-4(k2+1)x+4k2=0, 所以x1x2=4,设直线MQ 的方程为y=mx+n ,代入y2=4x 得m2x2+(2mn-4)x+n2=0,所以x1x2=n2m2=4,因为x10,x20, 所以nm=2, 即n=2m,所以直线MQ 的方程为y=m(x+2) ,所以直线MQ 过定点(-2,0).7.（2021四川绵阳南山中学高二期中）已知点P(x,y)(x0) 到点(12,0) 的距离比到y 轴的距离大12 ,点P 的轨迹为曲线C ,过点(2,0)的直线l 交C 于A ,B 两点.（1）求曲线C 的方程;（2）证明：以线
8、段AB 为直径的圆过原点O .答案： （1）由题意得(x-12)2+y2-x=12 ,化简得y2=2x ,所以曲线C 的方程为y2=2x .（2）证明：当l 的斜率不存在时,直线l:x=2,A(2,2),B(2,-2) ,则OAOB=22-22=0 ;当l 的斜率存在时,设l:y=k(x-2)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立得y=k(x-2),y2=2x, 整理得k2x2-(4k2+2)x+4k2=0,0,x1+x2=4k2+2k2,x1x2=4,OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-2)(x2-2)=(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2=(1+k
9、2)4-2k24k2+2k2+4k2=0.综上所述,OAOB=0,OAOB ,故以线段AB为直径的圆过原点O .8.（2021辽宁朝阳凌源联合校高二期中）已知抛物线C ：y2=2px(p0) 的焦点为F ,过F 且斜率为43 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,B 在x 轴的上方,且点B 的横坐标为4.（1）求抛物线C 的标准方程;（2）设点P 为抛物线C 上异于A ,B 的点,直线PA 与PB 分别交抛物线C 的准线于E,G 两点,x 轴与准线的交点为H ,求证：|HG|HE| 为定值.答案： （1）由题意得F(p2,0) ,因为点B 的横坐标为4,且B 在x 轴的上方,所以B(4,8
10、p) ,因为直线AB 的斜率为43 ,所以8p4-p2=43 ,整理得p+32p-8=0 ,即(p-2)(p+42)=0 ,解得p=2 (负值舍去),所以抛物线C 的标准方程为y2=4x .（2）证明：由(1)得B(4,4) ,F(1,0) ,准线方程为x=-1 ,直线l 的方程为y=43(x-1) ,由y=43(x-1),y2=4x, 解得x=14, y=-1 或x=4,y=4, 所以A(14,-1) .设点P(n24,n),n-1且n4 ,所以直线PA:y+1=4n-1(x-14) ,令x=-1 ,得y=-n+4n-1 ,即|HE|=|-n+4n-1|, 同理可得|HG|=|4n-4n+4| ,所以|HG|HE|=|-n+4n-1|4n-4n+4|=4 ,所以|HG|HE| 为定值4.
