1、5.4.3 正切函数的性质与图象课标解读课标要求素养要求1.理解正切函数的周期性、单调性.2.掌握正切函数的性质及其应用.1.直观想象会画正切函数的图象,能利用图象求解相关问题.2.数学运算能利用正切函数的性质求解相关问题.自主学习必备知识 教材研习教材原句要点一 周期性由诱导公式tan(x+)=tanx ,xR ,且x2+k ，kZ 可知,正切函数是 周期函数 ,周期是 . 要点二 奇偶性由诱导公式tan(-x)=-tanx,xR ,且x2+k,kZ 可知,正切函数是 奇函数 .要点三 正切曲线正切函数y=tanx,xR,x2+k ，kZ 的图象,我们把它叫做 正切曲线 .要点四 单调性正切
2、函数在每一个区间(-2+k,2+k)(kZ) 上都 单调递增 .要点五 值域正切函数的值域是 实数集R .自主思考1.tan(k+x)(kZ) 与tanx 有什么关系?答案：提示 tan(k+x)=tanx(kZ).2.正切曲线与直线x=k+2,kZ 有公共点吗?答案：提示 没有.正切曲线是由被直线x=k+2(kZ) 隔开的无穷多支曲线组成的.3.观察正切曲线，正切函数值是有界的吗?答案：提示不是,正切函数没有最大值和最小值.名师点睛1.一般地,函数y=Atan(x+) 的最小正周期为T=| ,常常利用此公式来求周期.2.画正切函数y=tanx,x-2,2 的简图时取的三个关键点为(4,1),
3、(0,0),(-4,-1) ,两条平行线为x=2,x=-2 .3.正切函数y=tanx （xR ,且xk+2,kZ ）的图象与性质如表所示：解析式y=tanx图象定义域xxR,且x2+k,kZ值域R周期奇偶性奇对称中心(k2,0),kZ单调性在开区间(-2+k,2+k)(kZ) 内都是增函数互动探究关键能力 探究点一 正切（型）函数的定义域、值域精讲精练例 求下列函数的定义域和值域.（1）y=tan(x+4); （2）y=3-tanx .答案：（1）由x+4k+2,kZ 得xk+4,kZ,所以函数y=tan(x+4) 的定义域为xxk+4,kZ ,其值域为(-,+) .（2）由3-tanx0
4、得,tanx3 .结合y=tanx 的图象(图略)可知,在(-2,2) 上,满足tanx3 的x 应满足-2x3,所以函数y=3-tanx 的定义域为x|k-2xk+3,kZ ,其值域为0,+) .解题感悟1.求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数ytanx 有意义,即x2+k,kZ .2.求正切型函数yAtan(x+)(A0,0) 的定义域时,要将“x+ ”视为一个整体.令x+k+2,kZ ,求解x .迁移应用1.求函数y=tan2(3x+3)+tan(3x+3)+1 的定义域和值域.答案：由3x+3k+2,kZ ,得xk3+18,kZ ,所以函数的
5、定义域为xxk3+18,kZ .设t=tan(3x+3) ,则tR ,y=t2+t+1=(t+12)2+3434,所以原函数的值域是34,+) .探究点二 正切（型）函数的相关性质精讲精练类型1 周期性例1 分别求下列函数的最小正周期.（1）y=3tan(2x+3)(x12+k2,kZ) ;（2）y=|tan12x|(x+2k,kZ) .答案：（1）y=3tan(2x+3)=3tan(2x+3+)=3tan2(x+2)+3 ,x12+k2,kZ ,令y=f(x) ,则f(x+2)=f(x) ,所以y=3tan(2x+3),x12+k2,kZ 的最小正周期为2 .（2）函数y=|tan12x|,
6、x+2k,kZ 的图象如图所示.所以函数的最小正周期T=2 .解题感悟求函数f(x)=Atan(x+)(A,0) 的周期的三种方法：（1）定义法：由恒等式f(x+T)f(x) 确定周期T ;（2）公式法：由T=| 计算;（3）图象法：画出函数图象,确定基本单位,求最小正周期.类型2 奇偶性例2 判断下列函数的奇偶性.（1）y=tanx(-4x4) ;（2）y=xtan2x+x4 .答案：（1）因为函数的定义域-4,4) 不关于原点对称,所以它既不是奇函数也不是偶函数.（2）定义域为x|xk2+4,kZ ,关于原点对称,因为函数f(-x)=(-x)tan2(-x)+(-x)4=xtan2x+x4
7、=f(x) ,所以它是偶函数.解题感悟与正切函数有关的函数的奇偶性问题的解决策略判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对称,则该函数无奇偶性,若对称,再判断f(-x) 与f(x) 的关系.类型3 图象的对称性例3 函数y=tan(x+5) 图象的一个对称中心是( )A.(0,0)B.(5,0)C.(45,0) D.(,0)答案： C解析：令x+5=k2,kZ ,得x=k2-5,kZ ,所以函数y=tan(x+5) 图象的对称中心是(k2-5,0),kZ ,令k=2 ,可得函数图象的一个对称中心为(45,0) .解题感悟正切函数图象的对称中心是(k2,0)(kZ) ,不
8、存在对称轴.迁移应用1.函数y=tan(3x+4) 图象的对称中心为 .答案：(3k2-34,0),kZ解析：由3x+4=k2,kZ ,解得x=3k2-34,kZ .所以函数图象的对称中心是(3k2-34,0),kZ .2.求下列函数的最小正周期.（1）y=2tan(6-13x)(x2+3k,kZ) ;（2）y=|tan2x|(x4+k2,kZ) .答案：（1）因为=-13 ,所以T=|=3 .（2）y=|tan2x|=|tan(2x+)|=|tan2(x+2)|,x4+k2,kZ .令y=f(x) ,则f(x+2)=f(x) ,所以y=|tan2x|,x4+k2,kZ 的最小正周期为2 .3
9、.判断函数f(x)=sinx+tanx 的奇偶性.答案：函数的定义域为x|xk+2,kZ ,且其关于原点对称,因为函数f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sinx-tanx=-f(x) ,所以它是奇函数.探究点三 正切（型）函数的单调性精讲精练类型1 正切（型）函数的单调区间例1 求函数y=3tan(12x-4) 的单调区间.答案：由k-212x-4k+2(kZ) ,得2k-2x2k+32(kZ) ,所以函数y=3tan(12x-4) 的单调递增区间是(2k-2,2k+32)(kZ) ,无单调递减区间.解题感悟求函数y=Atan(x+) (A0,0, 且A, 都是常数)的单调区间的方
10、法：（1）若0 ,由于y=tanx 在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的思想,令k-2x+k+2,kZ ,求x 的取值范围即可.（2）若0 ,可先利用诱导公式先把y=Atan(x+) 转化为y=Atan-(-x-)=-Atan(-x-), 即把x 的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求x 的取值范围即可.类型2 利用正切函数的单调性比较大小例2 利用正切函数的单调性,比较tan(-134) 与tan(-165) 的大小.答案：因为tan(-134)=-tan4,tan(-165)=-tan5 ,且0542,y=tanx 在(0,2) 上是增函数,所以tan4tan5 ,所以
11、-tan4-tan5 ,即tan(-134)tan(-165) .解题感悟运用正切函数的单调性比较大小的方法（1）运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内;（2）运用单调性比较函数值的大小.迁移应用1.函数y=tan(3x+4) 的单调递增区间是 .答案：(k3-4,k3+12)(kZ)解析：由k-23x+4k+2(kZ) ,得k3-4xk3+12(kZ) .因此,函数y=tan(3x+4) 的单调递增区间是(k3-4,k3+12)(kZ) .2.比较大小：tan(-74) 和tan(-95) .答案：tan(-74)=-tan(2-4)=tan4 ,tan(-95)=-tan(2-5
12、)=tan5 .因为0542,y=tanx 在(0,2) 内单调递增,所以tan4tan5 ,即tan(-74)tan(-95) .评价检测素养提升 1.与函数y=tan(2x+4) 的图象不相交的一条直线是( )A.x=2 B.x=-2C.x=4 D.x=8答案：D2.函数y=tanxa 的最小正周期是( )A.a B.|a| C.a D.|a|答案：B解析：因为y=Atan(x+) 的最小正周期T=| ,所以T=|1a|=|a| .3.函数y=tan(-x),x(-4,3) 的值域为( )A.(-1,3) B.(-,-1)(3,+)C.(-3,1) D.(-,-3)(1,+)答案：C解析：
13、y=tan(-x)=-tanx ,在(-4,3) 上为减函数,所以值域为(-3,1) .4.下列各式中正确的是( )A.tan735tan800 B.tan1tan2C.tan57tan47 D.tan98tan7答案：D解析：tan98=tan(8+)=tan8tan7 .5.已知函数f(x)=2tan(kx-3) 的最小正周期T 满足1T32 ,求正整数k 的值,并写出f(x) 的奇偶性、单调区间.答案：因为1T32 ,所以1k32 ,即23k .因为kN* ,所以k=3 ,则f(x)=2tan(3x-3) ,由3x-32+k,kZ 得x518+k3,kZ ,定义域不关于原点对称,所以f(x)=2tan(3x-3) 是非奇非偶函数.由-2+k3x-32+k,kZ ,得-18+k3x518+k3,kZ .所以f(x)=2tan(3x-3) 的单调递增区间为(-18+k3,518+k3),kZ ,无单调递减区间.
