1、5.4 三角函数的图象与性质5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课标解读课标要求素养要求1.了解正弦函数、余弦函数图象的来历,掌握“五点法”,能画出正弦函数、余弦函数的图象.2.了解正弦、余弦函数图象的区别与联系,掌握正、余弦函数图象的简单应用.直观想象会用正弦函数、余弦函数的图象解答问题.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 正弦曲线正弦函数的图象叫做 正弦曲线 ,是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.要点二 余弦曲线余弦函数y=cosx,xR 的图象叫做 余弦曲线 .它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.自主思考1.在确定正弦函数的图象形状时,应抓住哪些关键点？答案：提示
2、应抓住五个关键点：(0,0),(2,1),(,0),(32,-1),(2,0) .2.如何画余弦函数的图象？答案：提示 在平面直角坐标系中描出y=cosx 的图象在0,2 上的五个关键点：(0,1),(2,0),(,-1),(32,0),(2,1) ,再用光滑的曲线将它们连接起来,将所得的图象不断向左、向右平移（每次移动2 个单位长度）,就可得到余弦函数的图象.名师点睛1.“五点法”作图中的“五点”分别是函数图象的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点,这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法.2.函数y=sinx,x0,2 的图象是函数y=sinx,xR 的图象的一部分.函数y=cosx,x0
3、,2 的图象是函数y=cosx,xR 的图象的一部分.3.函数y=sinx(xR) 的图象向左平移2 个单位长度得到y=cosx(xR) 的图象.互动探究关键能力探究点一 正弦曲线的应用精讲精练 例 已知函数y=sinx 的部分图象如图所示,完成下列各题.（1）点A 的坐标为 ;（2）|BD|= ,|AE|= .答案：（1）(-2,0)（2）2 ; 72解题感悟先明确正弦曲线在0,2上的五个关键点的坐标,再计算两点间的距离迁移应用 1.已知函数y=f(x)=sinx,x-2,2 .（1）计算f(-2) 与f(-54) 的值;（2）若2f(x)=1 ,求x 的值.答案： （1） f(-2)=si
4、n(-2)=-sin2=-1 .f(-54)=sin(-54)=-sin54=-sin(+4)=sin4=22 .（2）若2f(x)=1 ,则f(x)=sinx=12(x-2,2) ,结合图象（图略）得,x=6,56,-116,-76 .探究点二 利用“五点法”作函数图象精讲精练 例 用“五点法”作出y=2+cosx,x0,2 的简图.答案： 列表：x02322cosx10-1012+cosx32123答案： 描点并用光滑的曲线将它们连接起来,如图所示.解题感悟“五点法”作形如y=Asinx+B （或y=Acosx+B),x0,2 的图象时,其步骤如下:（1）列表:取x=0,2,32,2;（2
5、）描点:将表中的点（x ,y ）标在平面直角坐标系内;（3）连线:用光滑的曲线将所描的点连接起来.在连线过程中要注意曲线的“凸性”.迁移应用 1.用“五点法”作出函数y=1+2sinx,x0,2 的简图.答案： 列表：x02322sinx010-101+2sinx131-11答案：在平面直角坐标系中描出这五个点：(0,1),(2,3),(,1),(32,-1),(2,1) ,然后用平滑的曲线顺次连接起来,就得到y=1+2sinx,x0,2 的图象.如图.探究点三 函数图象的综合应用精讲精练类型1 与函数图象有关的交点问题 例1 已知函数f(x)=sinx+2|sinx|,x0,2 的图象与直线
6、y=k 有且仅有两个不同的交点,则实数k 的取值范围是 .答案： （1,3）解析：由题意,得f(x)=sinx+2|sinx|=3sinx,x0,),-sinx,x,2,画出函数的图象,如图.由图象可知,当k(1,3) 时,函数f(x)=sinx+2|sinx|,x0,2 的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点.解题感悟函数式中含有绝对值符号,首先应去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,并画出函数图象,然后利用数形结合法平移直线y=k, 求得参数的取值范围.作图应准确,注意端点值是否满足条件类型2 利用函数图象解不等式例2（1）函数f(x)=lg(sinx)+16-x2 的定义域为 .（2
7、）不等式12sinx32 的解集为 .答案： （1）-4,-)(0,)（2）x|6+2kx3+2k或23+2kx56+2k,kZ解析：（1）由题意,得sinx0,16-x20,即sinx0,-4x4,作出y=sinx 的图象,如图所示.结合图象可得x-4,-)(0,) .（2）作出正弦函数y=sinx 在0,2 上的图象,作出直线y=12 和y=32 ,如图所示.由图可知,在0,2 上,当6x3或23x56 时,不等式12sinx32 成立,所以原不等式的解集为x|6+2kx3+2k或23+2kx0cosx-120 即sinx0cosx12解得,2kxsinx) .在同一平面直角坐标系内分别画
8、出正弦、余弦曲线,再比较两个函数的图象,上方的画成实线,下方的画成虚线,则实线部分即为f(x) 的图象,如图.由函数图象,得f(x)=sinxcosx 的值域是-22,1 .思：解这类问题的关键是用新定义将f(x) 转化为分段函数.根据正弦曲线和余弦曲线确定图象交点的位置,根据曲线的最低点和最高点求函数的值域,过程中体现了数学建模与直观想象的核心素养.迁移应用1. （2021河南八市高一测评）定义maxa,b 为实数a,b 中的最大值,则函数f(x)=max1+sinx,1-sinx 的值域为 .答案： 1,2解析： 在平面直角坐标系中画出函数y=1+sinx 和y=1-sinx 图象,如下图所示：由定义可知,当取两个函数的最大值时,函数f(x)=max1+sinx,1-sinx 的图象如下图所示：由图象可知,函数f(x) 的值域为1,2.
