1、创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 等差、等比数列的综合问题多以解答题的形式出现，涉及等差、等比数列的定义，通项公式及前 n 项和公式，难度适中，求解此类问题要重视方程思想的应用典题 1(2015湖北高考)设等差数列an的公差为 d，前 n项和为 Sn，等比数列bn的公比为 q.已知 b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当 d1 时，记 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 Tn.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学
2、听前试做(1)由题意有10a145d100，a1d2，即2a19d20，a1d2，解得a11，d2或a19，d29.故an2n1，bn2n1或an192n79，bn929n1.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学(2)由 d1，知 an2n1，bn2n1，故 cn2n12n1，于是 Tn132 522 723 9242n12n1，12Tn12 322 523 7242n32n1 2n12n.可得12Tn212 122 12n22n12n32n32n，故 Tn62n32n1.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学(1)正确区分等差数列和等比数列，其中公比等于 1 的等比
3、数列也是等差数列(2)等差数列和等比数列可以相互转化，若数列bn是一个公差为 d 的等差数列，则abn(a0，a1)就是一个等比数列，其公比 qad；反之，若数列bn是一个公比为 q(q0)的正项等比数列，则logabn(a0，a1)就是一个等差数列，其公差 dlogaq.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学(2016临沂八校联考)已知数列an是公差不为零的等差数列，a12，且 a2，a4，a8 成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)若bn(1)nan是等比数列，且 b27，b571，求数列bn的前 n 项和 Tn.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 解：(
4、1)设数列an的公差为 d(d0)，因为 a12，且 a2，a4，a8 成等比数列，所以(3d2)2(d2)(7d2)，可得 d2，故 ana1(n1)d22(n1)2n.(2)令 cnbn(1)nan，设数列cn的公比为 q，因为 b27，b571，an2n，所以 c2b2a2743，c5b5a5711081，所以 q3c5c2813 27，故 q3，所以 cnc2qn233n23n1，即 bn(1)nan3n1，创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 所以 bn3n1(1)n2n.故 Tnb1b2b3bn(30313n1)246(1)n2n，当 n 为偶数时，Tn13n13 2
5、n23n2n12；当 n 为奇数时，Tn13n13 2n12 2n3n2n32.所以 Tn3n2n12，n为偶数，3n2n32，n为奇数.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 任何数列问题都离不开数列的通项公式或求和公式，因此数列的通项或求和问题是每年的必考热点，既有客观题也有解答题典题 2(2015天津高考)已知数列an满足 an2qan(q 为实数，且 q1)，nN*，a11，a22，且 a2a3，a3a4，a4a5 成等差数列(1)求 q 的值和an的通项公式；(2)设 bnlog2a2na2n1，nN*，求数列bn的前 n 项和创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复
6、习数学 听前试做(1)由已知，有(a3a4)(a2a3)(a4a5)(a3a4)，即 a4a2a5a3，所以 a2(q1)a3(q1)又因为 q1，所以 a3a22.由 a3a1q，得 q2.当 n2k1(kN*)时，ana2k12k12n12；当 n2k(kN*)时，ana2k2k2n2.所以，an的通项公式为 an2n12，n为奇数，2n2，n为偶数.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学(2)由(1)得 bnlog2a2na2n1 n2n1，nN*.设bn的前 n 项和为 Sn，则 Sn1 1202 1213 122(n1)12n2n 12n1，12Sn1 1212 1223
7、 123(n1)12n1n 12n，上述两式相减，得12Sn112 122 12n1 n2n1 12n112 n2n2 22n n2n，整理，得 Sn4n22n1，nN*.所以，数列bn的前 n 项和为 4n22n1，nN*.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学(1)一般数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，本题选用的是错位相减法，常用的还有分组求和，裂项求和创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 (2016合肥模拟)已知数列an1an的前 n 项和 Sn2n12，a10.(1)求数列an1an的通
8、项公式；(2)求数列an的通项公式创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 解：(1)设 an1anbn.当 n2 时，bnSnSn1(2n12)(2n2)2n.当 n1 时，b1S12，满足 n2 时 bn 的形式所以 an1anbn2n.(2)由(1)得 an1an2n，则 an2an12n1.两式相减得 an2an2n.当 n 为奇数时，ana1(a3a1)(a5a3)(an2an4)(anan2)021232n42n2212n11222n3 23.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 当 n 为偶数时，由(1)知 a10，a2a12，得 a22.ana2(a4a
9、2)(a6a4)(an2an4)(anan2)222242n42n22222n2221222n3 23.综上所述，数列an的通项公式是 an2n3 23，n为奇数，2n3 23，n为偶数.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 数列与不等式的综合问题是高考的热点且多出现在解答题中，考查方式主要有三种：(1)判断数列问题中的一些不等关系；(2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；(3)考查与数列问题有关的不等式的证明典题 3(2015四川高考)设数列an(n1,2,3，)的前 n 项和 Sn满足 Sn2ana1，且 a1，a21，a3 成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)记
10、数列1an 的前 n 项和为 Tn，求使得|Tn1|11 000成立的 n 的最小值创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 听前试做(1)由已知 Sn2ana1，有anSnSn12an2an1(n2)，即 an2an1(n2)从而 a22a1，a32a24a1.又因为 a1，a21，a3 成等差数列，即 a1a32(a21)，所以 a14a12(2a11)，解得 a12.所以数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列故 an2n.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学(2)由(1)得 1an 12n，所以 Tn12 122 12n12112n1121 12n.由|Tn
11、1|11 000，得1 12n1 1 000.因为 295121 0001 024210，所以 n10.于是使|Tn1|11 000成立的 n 的最小值为 10.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学(1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学(2016昆明模拟)在数列an中，a135，an12 1an，设 bn1an1，数列bn的前 n 项和是 Sn.(1)证明数列bn是等差数列，并求 Sn；(2)比较 an 与 Sn7
12、的大小创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 解：(1)bn1an1，an12 1an，bn11an111an11bn1，bn1bn1，数列bn是公差为 1 的等差数列由 a135，bn1an1得 b152，Sn5n2 nn12n22 3n.(2)由(1)知，bn52n1n72.由 bn1an1得 an1 1bn1 1n72.anSn7n22 3n6 1n72.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 当 n4 时，yn22 3n6 是减函数，y 1n72也是减函数，当 n4 时，anSn7a4S470.又a1S1739100，a2S27830，a3S37720，nN*，
13、anSn70，anSn7.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 数列是特殊的函数，以函数为背景的数列综合问题体现了在知识交汇点处的命题特点，难度多为中等或中等偏上，多涉及求数列的通项公式、数列的前 n 项和、数列的最值问题等典题 4 设等差数列an的公差为 d，点(an，bn)在函数 f(x)2x的图象上(nN*)(1)证明：数列bn为等比数列；(2)若 a11，函数 f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2 1ln 2，求数列anb2n的前 n 项和 Sn.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 听前试做(1)证明：由已知，bn2an0.当
14、n1 时，bn1bn 2an1an2d.所以，数列bn是首项为 2a1，公比为 2d 的等比数列(2)函数 f(x)2x 在(a2，b2)处的切线方程为 y2a2(2a2ln 2)(xa2)，它在 x 轴上的截距为 a2 1ln 2.由题意，a2 1ln 22 1ln 2，解得 a22.所以，da2a11，ann，bn2n，anb2nn4n.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 于是，Sn14242343(n1)4n1n4n，4Sn142243(n1)4nn4n1.因此，Sn4Sn4424nn4n14n143n4n113n4n143.所以，Sn3n14n149.创 新 方 案 系
15、 列 丛 书新课标高考总复习数学 求解这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确转化；对于函数的有关性质，主要利用函数的单调性或有界性来求解数列中的最值但由于数列是一类特殊的函数，所以借助函数的性质研究数列问题，一定要注意数列中的自变量只能取正整数这一特点创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 函数 f(x)对任意 xR 都有 f(x)f(1x)12.(1)数列an满足：anf(0)f1n f2n fn1nf(1)，数列an是等差数列吗？请给予证明；(2)令 bn44an1，Tnb21b22b23b2n，Sn3216n，试比较 Tn 与 Sn 的大小创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 解：(1)令 x1n，得 f1n f11n 12，即 f1n fn1n12.anf(0)f1n fn1nf(1)又 anf(1)fn1nf1n f(0)，两式相加 2anf(0)f(1)f1n fn1nf(1)f(0)n12.所以 ann14，nN*.又 an1ann114n14 14.故数列an是等差数列创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学(2)bn44an14n，Tnb21b22b2n161 122 132 1n2161 112 1231nn1161112 1213 1n11n1621n 3216n Sn，所以 TnSn.
