1、曲线和方程一、单选题1直角坐标平面中，已知两点，若点满足，其中且，则点的轨迹方程为（ ）ABCD【答案】D【分析】设点，由平面向量数乘的坐标表示可得，即可得解.【详解】设点，则，因为，所以，所以，所以，又，所以，即点的轨迹方程为.故选：D.2已知曲线的参数方程若以下曲线中有一个是，则曲线是（ ）ABCD【答案】B【分析】消参把参数方程化为普通方程，再有确定的取值范围即可确定轨迹【详解】由，消参化简可得，因此B正确故选B【点睛】本题考查参数方程向普通方程的转化以及方程的轨迹，注意参数的取值范围3在平面直角坐标系xOy中，设点集，则G中的点都落在曲线（ ）A上B上C上D上【答案】B【分析】根据方程
2、的解与曲线上的点的关系解答即可。【详解】，所以上点在上，故A错误；上点在上，故B对；上点在，故C错误；与曲线方程不同，故D错误；故选：B【点睛】本题考查方程的解与曲线上的点的关系，属于基础题。4已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为.若 ,其中为常数,则动点M的轨迹不可能是 （）A圆B椭圆C抛物线D双曲线【答案】C试题分析：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系，设M（x，y），A（-a，0）、B（a，0）；因为，所以y2=（x+a）（a-x），即x2+y2=a2，当=1时，轨迹是圆当0且1时，是椭圆的轨迹方程；当0时，是双曲线的轨迹方程;当=0时，是直
3、线的轨迹方程；综上，方程不表示抛物线的方程故选C考点：轨迹方程的求法,圆锥曲线方程。点评：中档题，判断轨迹是什么，一般有两种方法，一是定义法，二是求轨迹方程后加以判断。二、填空题5已知两定点，则到点距离等于到点的距离的2倍的动点的轨迹方程为_.【答案】【分析】设，利用两点间距离公式表示出，整理可得结果.【详解】设动点的坐标为 即，整理可得：即动点的轨迹方程为：故答案为【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够动点坐标表示出已知的等量关系，属于基础题.6已知定点和曲线上的动点，则线段的中点的轨迹方程为_【答案】【分析】通过中点坐标公式，把点的坐标转移到上，把点的坐标代入曲线方程，整理可得
4、点的轨迹方程。【详解】设点的坐标为，点，因为点是线段的中点，所以解得，把点的坐标代入曲线方程可得，整理得，所以点的轨迹方程为故答案为：【点睛】本题考查中点坐标公式，相关点法求轨迹方程的方法，属于中档题。7关于曲线，给出下列四个结论：曲线是双曲线； 关于轴对称；关于坐标原点中心对称； 与轴所围成封闭图形面积小于2则其中正确结论的序号是_（注：把你认为正确结论的序号都填上）【答案】试题分析：对应，曲线，不符合双曲线的标准方程，故不是双曲线，错误；对应，若点在双曲线上，则有，点关于轴对称点，也满足，故曲线关于轴对称，正确；对应若点在双曲线上，则有，点关于原点对称点，则不满足，故曲线不关于原点对称，错
5、误；对于由图可得与轴所围成封闭图形面积小于2，正确；故答案.考点：命题的真假性的判断.8设动点的轨迹为抛物线，点为定点.若线段的中点为点，则点的轨迹方程为_.【答案】【分析】设点，可得出点，再将点的坐标代入抛物线的方程，化简即可得出点的轨迹方程.【详解】设点、，由中点坐标公式得，可得，由于点在抛物线上，即，所以，化简得.因此，点的轨迹方程为.故答案为：.【点睛】本题考查利用相关点法求轨迹方程，考查计算能力，属于中等题.9以下关于圆锥曲线的命题中：双曲线与椭圆有相同的焦点；设、是两个定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线的一支；设点、分别是定圆上一个定点和动点，为坐标原点，若，则动点的轨迹为
6、圆；其中真命题是_.（写出所有真命题的序号）【答案】【分析】根据双曲线和椭圆的几何性质即可得解；根据双曲线的定义即可得解；根据平面向量的加法法则，可知点为弦的中点，再判定点的轨迹即可【详解】在双曲线中，在椭圆中，且焦点均在轴上，所以正确；由双曲线的定义知，只有当时，动点的轨迹才为双曲线的一支，即错误；若，则点为弦的中点，由垂径定理可知，所以动点的轨迹是圆，即正确；所以真命题为.故答案为：【点睛】本题考查命题真假的判断，涵盖的知识点有圆锥曲线的定义与几何性质、平面向量运算，考查综合运用知识的能力10在中，点、分别在轴、轴的正半轴上运动，且点位于第一象限，则点到原点的距离的最大值是_.【答案】5；
7、【分析】由向量数量积的运算可得，由点的轨迹可得点在以为直径的圆周上运动，再求解即可.【详解】解：由，则，即,又点、分别在轴、轴的正半轴上运动，即，则点在以为直径的圆周上运动，又,则，当且仅当为直径时取等号，即点到原点的距离的最大值是5，故答案为：5 .【点睛】本题考查了向量数量积的运算，重点考查了点的轨迹方程，属中档题.11动点到点的距离比到它到轴的距离大，动点的轨迹方程是_；【答案】【分析】设 ，根据题意得 ，两边平方化简，再去绝对值求解.【详解】设 ，根据题意得 ，两边平方化简整理得 ，当 时，当 时，综上： .故答案为：【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的求解，还考查了运算求解的能力，属
8、于中档题.12关于曲线，有如下结论：曲线关于原点对称；曲线关于坐标轴对称；曲线是封闭图形；曲线不是封闭图形，且它与圆无公共点；曲线与曲线有个交点，这点构成正方形.其中有正确结论的序号为_【答案】【分析】根据点关于点对称及点关于坐标轴对称的性质判断，联立方程构造方程组，判断方程的解的情况，即可判断有无交点【详解】对于，将方程中的换成，换成方程不变，故正确；对于，将方程中的换成或换成方程不变，故正确；对于，由方程得，故曲线不是封闭图形，故错误；对于，联立曲线与方程组无解，无公共点，故正确；对于，当，时，联立曲线与只有一解根据对称性，共有4个交点，这点构成正方形，故正确故答案为【点睛】本题考查曲线与
9、方程，属于综合题13已知曲线到两定点距离乘积为常数的动点的轨迹，以下结论正确的是_.（1）曲线一定经过原点；（2）曲线与轴有且只有两个交点；（3）曲线关于轴对称，但不关于轴对称；（4）的面积不大于8.【答案】（2）【分析】设出点坐标，根据到两点距离乘积为列方程，化简后求得曲线的轨迹方程，由此对四个结论进行分析，从而得出正确结论的序号.【详解】设，由于到两点距离乘积为，所以.对于（1），将代入式左边得，故曲线不过原点，（1）错误.对于（2），对式令得，由于，所以，所以曲线与轴有两个交点.（2）正确.对于（4），由于（2）正确，所以不一定能围成三角形，故（4）错误.对于（3），将代入得，故曲线关于
10、轴对称.将代入得，故曲线关于轴对称.故（3）错误.综上所述，正确结论的序号为（2）.故填：（2）【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查化归与转化的数学思想方法，考查曲线的对称性，属于中档题.三、解答题14记平面上动点到两条相交于原点的直线，的距离分别是，研究满足下列条件下动点的轨迹方程.（1）已知直线，的方程为：，若，求方程；（2）已知直线，的方程为：，求的值，使得满足条件：的动点的轨迹方程恰为圆的标准方程形式.【答案】（1）（2）【分析】（1）设点，根据点到直线距离公式，计算，再根据，求解即可（2）设点，根据点到直线距离公式，计算，再根据，代入整理得，求解即可.【详解】解：（1）设点
11、，由题意可知，则即；（2）设点，由题意可知，则，得动点的轨迹方程为.若为圆的标准方程，则，即.【点睛】本题考查点到直线距离公式，以及求轨迹方程，属于中档题.15如图，在正半轴上的点有一只电子狗，点有一个机器人，它们运动的速度确定，且电子狗的速度是机器人速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点，那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这一点叫失败点，若.（1）求失败点组成的区域；（2）电子狗选择正半轴上的某一点，若电子狗在线段上获胜，问点应在何处？【答案】（1）以为圆心，2为半径的圆上和圆内所有点；（2）应在轴正半轴上.【分析】（1）设失败点为，则，不妨设机器人速度为，则电子狗速度为，由题意得 ，代入坐标计算求解即可（2）设，由题意有 ，代入坐标计算求解即可【详解】（1）设失败点为，则，不妨设机器人速度为，则电子狗速度为，由题意得 ，即，即失败点为的轨迹为以为圆心，2为半径的圆上和圆内所有点故失败点组成的区域为：以为圆心，2为半径的圆上和圆内所有点（2）设，由题意有，则，即，所以应在轴正半轴上点【点睛】本题考查方程组法求点的轨迹方程，解决此题关键是理解题意，列出不等关系
