1、4平面向量的坐标考纲定位重难突破1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.重点：1.平面向量坐标的定义及坐标表示2.平面向量坐标表示的向量运算难点：向量与坐标关系的理解.授课提示：对应学生用书第45页自主梳理1平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，如图，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得x iyj，因此ax iyj.我们把实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)2平面向量线性运
2、算的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则类别坐标运算语言表述向量的加法坐标表示ab(x1x2，y1y2)向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差向量的减法坐标表示ab(x1x2，y1y2)实数与向量积坐标表示a(x1，y1)实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积有向线段的坐标表示设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标3.向量平行的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)当ab时，有x1y2x2y10.(2)当ab且b不平行于坐标轴，即x20，y20时
3、，有.即若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行双基自测1给出下列说法：相等向量的坐标相同；平面上一个向量对应平面上唯一的坐标；一个坐标对应唯一的一个向量；平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应其中正确说法的个数是()A1B2C3 D4解析：由向量坐标的定义得一个坐标可对应无数个相等的向量，故错误，易知正确，故选C.答案：C2若向量a(3,2)，b(0，1)，则向量2ba的坐标是()A(3，4) B(3,4)C(3,0) D(3，4)解析：2ba2(0，1)(3,2)(03，22)(3,0)答案：C3已知向量a(4,2)，
4、向量b(x,3)且ab，则x等于_解析：ab，432x0，x6.答案：6授课提示：对应学生用书第45页探究一平面向量的坐标运算典例1已知a(1,2)，b(3,4)，求向量ab，ab,3a4b的坐标解析ab(1,2)(3,4)(2,6)；ab(1,2)(3,4)(4，2)；3a4b3(1,2)4(3,4)(15，10)1向量的坐标运算主要是用加、减、数乘运算法则进行2若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则1已知点A(1,2)，B(2,8)及，.求点C，D和的坐标解析：A(1,2)，B(2,8)，(2,8)(1,2)(3,6)，(1,2)
5、，(1,2)则(1,2)(1,2)(0,4)，(1,2)(1,2)(2,0)C，D的坐标分别为(0,4)和(2,0)因此(2，4)探究二平面向量线性运算的坐标表示典例2(1)已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，则_，_，_，_，2_.(2)已知向量a(1,2)，b(2，3)，c(3，2)，则a2b_，(2ab)(b2c)_.解析(1)因为A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)所以(7,5)(4,6)(3，1)；(1,8)(4,6)(3,2)；(3，1)(3,2)(0,1)；(3，1)(3,2)(6，3)；22(3，1)(3,2)(6，2).(2)由a(1,2)，b(2，
6、3)，c(3，2)，得a2b(1,2)2(2，3)(14,26)(5,8)(2ab)(b2c)2a2b2c2(abc)2(123,232)2(6,3)(12,6)答案(1)(3，1)(3,2)(0,1)(6，3)(2)(5,8)(12,6)(1)向量线性运算的坐标表示，实际上是相应坐标对应实数的加、减、乘运算要注意三角形法则及平行四边形法则的应用熟练掌握公式是解题的关键(2)若已知向量用坐标表示，则计算向量的结果仍用坐标表示2已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求点M，N的坐标及的坐标解析：由已知
7、得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，解得(3)3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)，M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)(9，18)探究三向量共线的坐标运算典例3已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？解析kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，当kab与a3b平行时，存在唯一实数，使kab(a3b)即(k3,2k2
8、)(10，4)，所以解得k.当k时，kab与a3b平行，这时kabab(a3b)，因为0，所以kab与a3b反向两平面向量共线的条件有以下两种形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(a0)的条件是x1y2x2y10；若ab(a0)，则ba(为实数)3设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1,3)，B(2，2)，C(4,1)(1)若，求D点的坐标；(2)设向量a，b，若向量kab与a3b平行，求实数k的值解析：(1)设D(x，y)因为，所以(2，2)(1,3)(x，y)(4,1)，化为(1，5)(x4，y1)，所以解得所以D(5，4)(2)因为a(1，5)，b(4,1)(2，2)(2
9、,3)，所以kabk(1，5)(2,3)(k2，5k3)，a3b(1，5)3(2,3)(7,4)因为向量kab与a3b平行，所以7(5k3)4(k2)0，解得k.向量共线的应用典例(本题满分12分)在AOB中，已知点O(0,0)，A(0，5)，B(4,3)，AD与BC相交于点M，求点M的坐标解析设点C坐标为(xC，yC)，因为点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，所以(0,5)，(4,3)因为(xC，yC)，所以点C. 同理点D.2分设点M的坐标为(x，y)，则(x，y5)而，因为A，M，D三点共线，所以与共线所以x2(y5)0，即7x4y20.6分而，因为C，M，B三点共线，所以与共线
10、所以x40，即7x16y20.10分解得所以点M的坐标为.12分规范与警示(1)在处根据条件正确地得到两点坐标是成功解题的关键，也可能因解不出造成失分在处正确地运用了AD与BC交于点M的条件，否则无法继续求解造成失分在处正确地运用了向量共线的性质定理得到向量共线的坐标表示，否则将功败垂成(2)解题时，准确地计算有关向量的坐标是正确答题的前提，如本例，只有正确地求出相应向量的坐标，才能顺利地完成解题；解题时，两向量共线的坐标运算是解决三点共线的关键，如本例，对两向量共线的坐标运算掌握不熟练将造成本题错解；在求点或向量的坐标时要注意方程思想的应用，如本例，充分应用向量共线、向量相等等条件作为列方程的依据，是解题的保证
