1、课时素养检测九平面向量数量积的坐标表示(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.已知向量a=(1,0),b=(cos ,sin ),则|a+b|的取值范围是()A.0, B.1, C.1,2D.,2【解析】选D.|a+b|=.因为,所以cos 0,1.所以|a+b|,2.2.已知=(-3,1),=(0,5),且,(O为坐标原点),则点C的坐标是()A.B.C.D.【解析】选B.设C(x,y),则=(x,y).又=(-3,1),所以=-=(x+3,y-1).因为,所以5(x+3)-0(y-1)=0,所以x=-3.因为=(0
2、,5),所以=-=(x,y-5),=-=(3,4).因为,所以3x+4(y-5)=0,所以y=,所以C点的坐标是.【补偿训练】已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且ab=,则b=()A.B.C.D.(1,0)【解析】选B.方法一:设b=(x,y),其中y0,则ab=x+y=.由解得即b=.方法二:利用排除法.D中,y=0,所以D不符合题意;C中,向量不是单位向量,所以C不符合题意;A中,向量使得ab=2,所以A不符合题意.3.若a=(x,2),b=(-3,5),且a与b的夹角是钝角,则实数x的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选C.x应满足(x,2)(-3,5),且x-,所以
3、x.4.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则ABC的形状是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【解析】选A.由题设知=(8,-4),=(2,4),=(-6,8),所以=28+(-4)4=0,即.所以BAC=90,故ABC是直角三角形.【补偿训练】已知向量=,=,则ABC=()A.30B.45C.60D.120【解析】选A.因为=+=,=1,所以cosABC=,即ABC=30.5.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上有一点P,使有最小值,则点P的坐标是()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)【解析】选C.设P(x,0),则=(
4、x-2,-2),=(x-4,-1),所以=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,故当x=3时,最小,此时点P的坐标为(3,0).6.(多选题)设向量a=(1,0),b=,则下列结论中不正确的是()A.|a|=|b|B.ab=C.a-b与b垂直D.ab【解析】选ABD.由题意知|a|=1,|b|=,ab=1+0=,(a-b)b=ab-|b|2=-=0,故a-b与b垂直.由题意易得ab错误.二、填空题(每小题4分,共8分)7.已知a=(2,1),b=(m,6),向量a与向量b的夹角是锐角,则实数m的取值范围是_.【解析】因为向量a与向量b的夹角是锐角,所以cos =0,所以
5、ab=2m+60,得m-3,又当a与b同向时,=,所以m=12.所以m-3且m12.答案:m-3且m128.(双空题) (2020北京高考)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足=(+),则|=_;=_.【解析】如图建系,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),所以=(2,0),=(2,2),=(2,1),P(2,1),=(-2,1),|=,又=(0,-1),所以=-1.答案:-1【补偿训练】 (2019浙江高考)已知正方形ABCD的边长为1,当每个i(i=1,2,3,4,5,6)取遍1时,|1+2+3+4+5+6|的最小值是_,最大值是_.【解析】1+2+3+4+5+6=(
6、1-3+5-6)+(2-4+5+6)要使|1+2+3+4+5+6|的值最小,只需要|1-3+5-6|=|2-4+5+6|=0,此时只需要取1=1,2=-1,3=1,4=1,5=1,6=1,此时|1+2+3+4+5+6|min=0,|1+2+3+4+5+6|2=|(1-3+5-6)+(2-4+5+6)|2=(1-3+5-6)2+(2-4+5+6)2(|1|+|3|+|5-6|)2+(|2|+|4|+|5+6|)2=(2+|5-6|)2+(2+|5+6|)2=8+4(|5-6|+|5+6|)+(5-6)2+(5+6)2=8+4+2+2=12+4=12+4=20,等号成立当且仅当1,-3,5-6均非
7、负或者均非正,并且2,-4,5+6均非负或者均非正.比如1=1,2=1,3=-1,4=-1,5=1,6=1,则|1+2+3+4+5+6|max=2.答案:02三、解答题(每小题14分,共28分)9.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=2,且ca,求c的坐标;(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角.【解析】(1)设c=(x,y),因为|c|=2,所以=2,所以x2+y2=20.由ca和|c|=2,可得解得或故c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)因为(a+2b)(2a-b),所以(a+2b)(2a-b)=0,即2a2+3ab-2b2=
8、0,所以25+3ab-2=0,整理得ab=-,所以cos =-1.又0,所以=.10.平面内有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1),点M为直线OP上的一个动点.(1)当取得最小值时,求点M的坐标;(2)在点M满足(1)题的条件下,求AMB的余弦值.(提示:建立的目标函数)【解析】(1)设=(x,y).因为点M在直线OP上,所以向量与共线,又=(2,1),所以x=2y,所以=(2y,y),所以=-=(1-2y,7-y),同样,=-=(5-2y,1-y),于是=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8,所以当y=2时,有最小值-8,此时M(4
9、,2).(2)=(-3,5),=(1,-1),所以|=,|=,=-8,所以cosAMB=-.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共12分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.若a=(2,1),b=(3,4),则向量a在向量b方向上的投影为()A.2B.2C.D.10【解析】选B.a=(2,1),b=(3,4),则ab=23+14=10,|b|=5,则向量a在向量b方向上的投影为=2.【补偿训练】已知向量a=(1,),b=(3,m),若向量b在a方向上的投影为3,则实数m=()A.3B.-3C.D.-3【解析】选C.根据题意得=3,解得m=.2.若a=(2,-3
10、),b=(x,2x)且3ab=4,则x等于()A.3B.C.-D.-3【解析】选C.因为3ab=3(2,-3)(x,2x)=(6,-9)(x,2x)=6x-18x=-12x=4,所以x=-.3.(多选题)已知=(4,2),=(k,-2),若ABC为直角三角形,则k等于()A.1B.6C.2D.3【解析】选AB.=-=(k,-2)-(4,2)=(k-4,-4),若A为直角,则=4k-4=0,所以k=1.若B为直角,则=(-4,-2)(k-4,-4)=-4k+16+8=0,所以k=6.若C为直角,则=0,即(-k,2)(4-k,4)=0,方程无解,综上知k的值为1或6.二、填空题(每小题4分,共2
11、0分)4.(2019全国卷)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos (是a,b的夹角)=_.【解析】cos (是a,b的夹角)=-.答案:-5.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=_.【解析】因为向量a=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m+4,2m+2),所以ac=m+4+2(2m+2)=5m+8,bc=4(m+4)+2(2m+2)=8m+20.因为c与a的夹角等于c与b的夹角,所以=,即=,所以=,解得m=2.答案:26.已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上
12、的动点,则|+3|的最小值为_.【解析】如图所示,以直线DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,设CD=a,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设P(0,b)(0ba),则=(2,-b),=(1,a-b),所以+3=(5,3a-4b),所以|+3|=5,所以|+3|的最小值为5.答案:57.(2019天津高考)在四边形ABCD中,ADBC,AB=2,AD=5,A=30,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则=_.【解析】方法一:如图,过点B作AE的平行线交AD于F,因为ADBC,所以四边形AEBF为平行四边形.因为AE=BE,故四边形AEBF为菱形.因为BAD=3
13、0,AB=2,所以AF=2,即=.因为=-=-,所以=(-)=-=25-12-10=-1.方法二:建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),D.因为ADBC,BAD=30,所以ABE=30,因为AE=BE,所以BAE=30,所以直线BE的斜率为,其方程为y=(x-2),直线AE的斜率为-,其方程为y=-x.由得x=,y=-1,所以E(,-1).所以=(,-1)=-1.答案:-1【补偿训练】(2019江苏高考)如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若=6,则的值是_.【解析】如图,过点D作DFCE,交AB于点F,由BE=2EA,D为BC的中点,知B
14、F=FE=EA,AO=OD.6=3(-)=(+)(-)=(+)=-+=,得=,即|=|,故=.答案:8.(双空题)设非零向量a与b的夹角是,且|a|=|a+b|,则当t=_时,取得最小值是_.【解析】因为非零向量a与b的夹角是.且|a|=|a+b|,所以|a|2=|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a|b|cos,所以|b|2-|a|b|=0,所以|b|=|a|,所以=t2-2t+=(t-1)2+,所以当t=1时,取最小值=.答案:1三、解答题(共38分)9.(12分)已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且ab,ac.(1)求b与c;(2)若m=2a-b,n=a+c,
15、求向量m,n的夹角的大小.【解析】(1)因为ab,所以3x=49,所以x=12.因为ac,所以34+4y=0,所以y=-3,所以b=(9,12),c=(4,-3).(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1).设m,n的夹角为,则cos =-.因为0,所以=,即m,n的夹角为.10.(12分)已知=(4,0),=(2,2),=(1-)+(2).(1)求及在上的投影;(2)证明:A,B,C三点共线,且当=时,求的值;(3)求|的最小值.【解析】(1)=8,设与的夹角为,则cos =,所以在上的投影为|cos =4=2.(2)=-=
16、(-2,2),=-=(1-)-(1-)=(-1),所以A,B,C三点共线.当=时,-1=1,所以=2.(3)|2=(1-)2+2(1-)+2=162-16+16=16+12,所以当=时,|取到最小值,为2.11.(14分)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;(2)设实数t满足(-t)=0,求t的值.【解析】(1)方法一:由题设知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4).所以|+|=2,|-|=4.故所求的两条对角线的长分别为4,2.方法二:设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则E为BC的中点,E(0,1),又E(0,1)为AD的中点,所以D(1,4).故所求的两条对角线的长分别为BC=4,AD=2.(2)由题设知=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)=0,得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以t=-.或者:=t,=(3,5),t=-.
